07导数的应用【2022届新高考一模试题分类汇编】一、解答题1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若，求证：.【解析】(1)因为，所以①若，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增②若，则，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增；③若，则，在上单调递增；④若，则，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.(2)因为，所以，即，设则，易知在上单调递增试卷第8页，共8页学科网（北京）股份有限公司,因为，所以，所以存在，使得所以，在上单调递减，在上单调递增所以设，则，在上单调递增，所以所以，即.2．（2022·四川泸州·二模（文））已知函数.(1)求证：；(2)若函数无零点，求a的取值范围.【解析】(1)，则当时，，当时，，故在上为增函数，在上减函数，故即.(2)，故，当时，在定义域上无零点;当时，，故，所以当时，，当时，，故在上为增函数，在上减函数，因为函数无零点，故，即；当时，因为，所以，即，所以在定义域上无零点.综上，的取值范围是.3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中.试卷第8页，共8页学科网（北京）股份有限公司,(1)讨论的单调性；(2)若在区间内恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)的定义域为，.当时，，在上单调递减；当时，由，有，此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)原不等式等价于在上恒成立.令，则只需在上恒大于0即可.又∵，故在处必大于等于0.令，，可得.当时，，∴当时，在上单调递增，∴，故也在上单调递增，∴，即在上恒大于0.综上，.4．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，求a的取值范围．试卷第8页，共8页学科网（北京）股份有限公司,【解析】(1)时，，则，则切线斜率，又，所以切线方程为．(2)令，则原函数等价转化为，其中，则，①当时，，则在上单调递减，符合题意．②当时，，则在上单调递减，不妨设，则，不满足，舍去；③当时，由得，且在上单调递减，若，则，单增；若，则，单减，所以，令，则，可知，时，则，单减；时，则，单增．又时，，符合题意，又时，注意到，由得，综上所述，a的取值范围是．5．（2022·陕西武功·二模（文））已知函数（且）.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调区间.【解析】(1)∵，∴，∴，又，∴.∴所求切线方程为.(2)由题意知，函数的定义域为，由（1）知，∴，易知，试卷第8页，共8页学科网（北京）股份有限公司,①当时，令，得或；令，得.②当时，，令，得；令，得或.③当时，.④当时，，令，得；令，得或.综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，函数在上单调递减；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，函数函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.6．（2022·安徽六安·一模（文））已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若时，恒成立，求的取值范围.【解析】(1)的定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得：，所以在上单调递增；令，解得：，所以在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减.当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)设，则有当时，在上单调递增，所以满足题意；当时，，且，使时，单调递减，使得不合题意.的取值范围为.7．（2022·河南焦作·一模（文））已知函数，．(1)若是的极值点，求曲线在处的切线方程；试卷第8页，共8页学科网（北京）股份有限公司,(2)证明：当时，．【解析】(1)由题意得：，，因为是的极值点，所以，所以．所以，又，所以曲线在处的切线方程为．(2)因为，则，所以，设，则，该函数为定义域上的增函数，且x=1时，函数值为零.故当时，，当时，，所以，故，即．8．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，求证：当时，．【解析】(1)的定义域为R，，当时，，则在R上为增函数；当时，，当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数．(2)由及，得．设，则．设，则，当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以是的极小值点，也是的最小值点，因为，，所以，又，所以存在，使得，试卷第8页，共8页学科网（北京）股份有限公司,所以当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，所以为的极大值，为的极小值，因为，所以当时，（当且仅当时取等号），故当时，．9．（2022·海南·模拟预测）已知函数.(1)求在区间上的最大值和最小值；(2)设，若当时，，求实数a的取值范围.【解析】(1)解：由条件得，当时，有，，，所以，即在上单调递减，因此在区间上的最大值为，最小值为.(2)解：由题意得，所以，若，当时，有，所以在上单调递增，所以，符合题意.若，令，则，当时，，所以在上单调递减.又因为，，所以在上存在一个零点，当时，，即，所以单调递减，此时，不符合题意.试卷第8页，共8页学科网（北京）股份有限公司,综上可知，a的取值范围是.10．（2022·安徽马鞍山·一模（文））已知函数（为自然对数的底数）．(1)若时，求的单调区间；(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．【解析】(1)若时，，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.(2)由题意可知，即求成立的的取值范围，因为，，所以，所以（当且仅当时取等号），即，即求对任意成立的的取值范围，当时，，此时在上单调递增，且有，不满足；当时，易知，显然成立；当时，令，得，令，得，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为．试卷第8页，共8页学科网（北京）股份有限公司