04指对幂函数【2022届新高考一模试题分类汇编】一、单选题1．（2022·黑龙江·一模（理））已知，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以.因为，即.因为，.所以.故选：B2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（文））已知实数a，b满足，，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故,即，故，即，故，令，则，故，即有，所以，即，即，故，故，故选：A.3．（2022·河南·模拟预测（理））在数列中，，，且对任意m，，，则实数的取值范围是(       )A．B．C．D．【答案】A【解析】.∵，且对任意，故，学科网（北京）股份有限公司,∴，∴，此时对任意﹒当时，，，，由指数函数的单调性知，的偶数项单调递减，奇数项单调递增，且，故的最大值为，最小值为，由题意，的最大值及最小值分别为和，由及，解得﹒综上所述，的取值范围为.故选：A﹒4．（2022·全国·模拟预测）开普勒（JohannesKepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（       ）A．0.66aB．0.70aC．0.76aD．0.96a【答案】C【解析】设金星运行轨道的半长轴为，金星和地球的公转周期分别为，，由开普勒定律得.因为，所以，即.因为函数在上单调递增，且，且，所以，因此，故选：C.5．（2022·全国·模拟预测）已知是函数的零点，则的值（       ）A．为正数B．为负数C．等于0D．无法确定正负【答案】B【解析】由题可知单调递增（增函数+增函数=增函数），且，，则，所以所以.故选：B6．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则（       ）学科网（北京）股份有限公司,A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是上的增函数，且，，所以，又，所以，所以，故选：A.7．（2022·广东汕头·一模）已知，，，则以下不等式正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，因为，所以，所以故选：C8．（2022·河北·模拟预测）设，，则，，的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知条件得∵，∴.故选:.9．（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.取，，得，故A选项不正确；学科网（北京）股份有限公司,取，，得，所以，故B选项不正确；取，，得，故C选项不正确；当时，则，所以，所以，当时，则，，所以，当时，，所以，综上得D选项正确，故选：D.10．（2022·全国·模拟预测）分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n次分形”（）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n的最小值是（       ）（取，）A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】图1线段长度为1，图2线段长度为，图3线段长度为，…，“n次分形”后线段长度为，所以要得到一个长度不小于20的分形图，只需满足，则，即得，解得，所以至少需要11次分形.故选：C.11．（2022·全国·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，.又在上单调递增，所以.又，所以，故选：C.12．（2022·贵州铜仁·模拟预测（理））年月日，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻天和核心舱，中国空间站开启有人长期驻留时代，而中国征服太空的关健是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量.在未来，假设人类设计的某火箭达到公里/秒，从学科网（北京）股份有限公司,提高到，则速度增量增加的百分比约为（       ）（参考数据：，）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，速度的增量为，当时，速度的增量为，所以，.故选：B.13．（2022·四川·三模（理））青少年视力是社会普遍关心的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用小数记录法和五分记录法记录视力数据．小数记录法的数据E和五分记录法的数据F满足，已知某同学视力的小数记录法记录的数据为0.9，则其视力的五分记录法的数据约为（       ）．A．4.6B．4.7C．4.8D．4.9【答案】D【解析】，两边取常用对数得：，四个选项中，最接近结果的是D选项.故选：D14．（2022·贵州铜仁·模拟预测（理））已知，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，又，而，故，综上，.故选：B15．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．经过9个“半衰期”后，死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】设生物组织死亡前碳14的含量为1，经过1个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余量为，经过n个半衰期后，死亡生物组织内的碳14的剩余为，当时，．故选：C．学科网（北京）股份有限公司,16．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（       ）（参考数据：，）A．B．C．D．【答案】D【解析】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；两边取常用对数，得；；所以.故选：D.17．（2022·山西临汾·一模（理））2019年在阿塞拜疆举行的联合国教科文组织第43届世界遗产大会上，随着木槌落定，良渚古城遗址成功列人《世界遗产名录》，这座见证了中华五千多年文明史的古城迎来了在世界文明舞台上的“高光时刻”，标志着良渚是实证中华五千多年文明史的圣地，得到了世界的广泛认同.2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检查测出碳14的残留量约为初始值的55.2%，已知死亡生物体内碳14的含量y与生物死亡年数x之间符合，其中k为死亡生物碳14的初始量.据此推断，此水坝大约是距2010年之前（　　）年建造的.参考数据∶A．4912B．4930C．4954D．4966【答案】D【解析】依题意，两边乘以得，两边取以为底的对数得，，，，.故选：D学科网（北京）股份有限公司,18．（2022·陕西武功·二模（理））北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的关系式为，若火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（       ）（参考数据：）A．1.005B．0.005C．0.0025D．0.002【答案】B【解析】由题意将v＝10km/s，代入v＝2000，可得10＝2000，则，即，解得．故选：B19．（2022·江西九江·一模（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等与亮度来描述．古希腊天文学家、数学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．两颗星的星等与亮度满足普森公式：，星等为的星，其亮度为．已知织女星的星等为0.04，牛郎星的星等为0.77，则织女星与牛郎星的亮度之比（       ）．（参考数据：，）A．0.5248B．0.5105C．1.9055D．1.9588【答案】D【解析】织女星的星等为，亮度为，牛郎星的星等为，亮度为，则有，即，即.故选：D．20．（2022·山西晋中·模拟预测（理））中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽增大到原来的倍，信噪比学科网（北京）股份有限公司,从1000提升到16000，则比原来大约增加了（       ）（附：）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，所以比原来大约增加了.故选：D.二、多选题21．（2022·全国·模拟预测）已知，且，则（       ）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因为是上的增函数，，所以，故A正确；，故，故B正确；，故，故C错误；取，，满足，，但，故D错误.故选：AB22．（2022·山东济宁·一模）已知函数，若，，，则（       ）A．在上恒为正B．在上单调递减C．a，b，c中最大的是aD．a，b，c中最小的是b【答案】AC【解析】A：当时，，所以，故A正确；B：函数的定义域为，，令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，所以在上恒成立，即函数在上单调递增，故B错误；C：由选项A可知，当时，所以，因为，所以，即；学科网（北京）股份有限公司,当时，，得，因为，，所以，，即，所以中最大的是a，故C正确；D：，所以，由选项B可知函数在上单调递增，所以，即，由选项C可知，有，所以中最小的是c，故D错误；故选：AC23．（2022·山东菏泽·一模）下列结论正确的有（       ）A．若，则B．若，则C．若（其中e为自然对数的底数），则D．若，则【答案】AD【解析】由可得，即,而是增函数，所以成立，故A正确；由可得，故，所以不成立，如，故B错误；当时，满足，，故不成立，故C错误；由可知，所以，而在上单调递增，所以，故D正确.故选：AD.24．（2022·湖南永州·二模）已知定义在的偶函数，其周期为4，当时，，则（       ）A．B．的值域为C．在上为减函数D．在上有8个零点学科网（北京）股份有限公司,【答案】AB【解析】，所以选项A正确；当时，是增函数，所以当时，函数的值域为，由于函数是偶函数，所以函数的值域为.所以选项B正确；当时，是增函数，又函数的周期是4，所以在上为增函数，所以选项C错误；令，所以，由于函数的周期为4，所以，，所以在上有6个零点,所以该选项错误.故选：AB25．（2022·全国·模拟预测）若正实数满足，则下列结论正确的有（       ）A．B．C．D．【答案】AC【解析】设，则在为减函数，因为所以，因为所以，所以，即，从而所以A正确，B错误；而所以所以，所以C正确，D错误.故选：AC.学科网（北京）股份有限公司