09利用导数解决零点问题【2022届新高考一模试题分类汇编】一、解答题1．（2022·安徽·六安一中高二开学考试）已知函数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)当时，求在上的最小值；(3)当时，求函数在上零点的个数.【解析】(1)当时，，，，，所以切线方程为.(2)，当时，，当，即时，在上恒成立，故在是单调递减，当时，令，得，令，得，故在上递减，在上单调递增，，综上，时，，时，(3)由题设得，故，设，则，（i）当时，，即在上递减，又，，且的图像连续，故在上唯一零点，当时，，当时，，故在内单调递增，在上单调递减，又，，故，又的图像连续不断，故存在，使得，即此时有1个零点.（ii）当时，，在内递减，又，，的图像连续不断，故存在一个，使得；（ⅲ）当时，，，故，从而在上没有零点，综上，在试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,上有2个零点.2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数.【解析】(1)函数的定义域为，.当时，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.(2)令，得.令，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以；当时，，当时，，所以，所以函数的图象如图所示，由图可得，当时，直线与函数的图象没有交点，函数没有零点；当或时，直线与函数的图象有1个交点，函数有1个零点；当时，直线与函数的图象有2个交点，函数有2个零点.试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（理））已知函数.(1)若，求证：恒成立；(2)当时，求零点的个数.【解析】(1)当时，，，当时，；当时，，所以在上递减，在上递增，所以的最小值是，即恒成立.(2)因为，所以.①当时，.所以在上单调递减.因为，所以有且仅有一个零点.②当时，令，得，令，得.所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以在上有且仅有一个零点.因为，，且，所以，使得.所以在上有且仅有一个零点.综合以上知，当时，有两个零点.③当时，.令，得，令，得.所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值，且.所以有且仅有一个零点.综上所述，当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.4．（2022·全国·模拟预测）已知函数（其中，为参数）.试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,(1)求函数的单调区间；(2)若，函数有且仅有2个零点，求的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为，对求导得.当时，，所以在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增.(2)当时，，.令，则（舍去），令，则，所以在上单调递增.又，，且函数在上的图象是连续不断的曲线，所以根据零点存在性定理，存在唯一，使得，并且当时，，当时，，所以当时，，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以.因为函数有且只有2个零点，所以必须有，即.下面证明当时，函数有且只有2个零点.因为，，且在上单调递增且连续，所以在上有且只有1个零点.因为，令，则.因为，所以，，显然在上单调递增，所以，又，所以在上有且只有1个零点.综上，.5．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数.试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,(1)当时，求的单调区间；(2)若有三个不同的零点，求a的取值范围.【解析】(1)当时，，，当x<1时，；当x>1时，，在上单调递减，在上单调递增.(2)由有三个不同的零点，有三个不同的根，又不是方程的根，有三个不同的根，令，，即与有三个不同的交点，，在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，的极小值为，又为过点的直线，斜率为，由与有三个不同的交点，且，直线的斜率，，即a的取值范围为.6．（2022·天津红桥·高二期末）已知函数，其中为常数，．(1)求单调区间；(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．(1)定义域为，因为，若，，所以单调递减区间为，若，,当时，，当时，，所以单调递减区间为，单调递增区间为．(2)证明：若且对任意，都有，则在处取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，则单调性相同，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,单调递减区间为，单调递增区间为，且，，，所以在(1e2，1)和上各有且仅有一个零点，所以在和各有且仅有一个零点，即方程有且只有两个实根．7．（2021·广东·福田外国语高中高三阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)若函数的图象与直线仅有一个公共点，求实数的取值范围.【解析】(1)，易得当或时，，当时，，∴函数的增区间是：，，减区间是：，当时函数取得极大值，当时，函数取得极小值；(2)画出函数图像，由图形知，当或时，与只有一个交点．故的范围或．8．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数在处的切线方程是．(1)求a，b的值；(2)若对于，曲线与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．【解析】(1)将切点坐标代入的，即，得，又因为试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,，直线的斜率为所以，得(2)由（1）知，因为曲线与曲线有唯一的公共点，所以方程有唯一解，即令，则，则即，当，时，，函数单调递增，易知与有且只有一个交点，满足题意；当，时，有两个根，且两根之和为，两根之积为，所以两根一个大于4，一个小于4，此时，函数先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使有唯一实数根，则大于极大值或小于极小值.记为极大值点，则，则恒成立，又，即则极大值因为，令得，又时，综上，要使对，曲线与曲线都有唯一的公共点，则，即；当为极小值点，则，则，又，所以恒成立，又，所以时，，所以单减，无最小值，所以不存在，使得恒成立，所以，的取值范围为9．（2022·广东高州·二模）已知函数．其中实数．(1)讨论函数的单调性；(2)求证：关于x的方程有唯一实数解．试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,【解析】（1）函数，则，当时，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得或，当或时，，则单调递增，当时，,则单调递减，所以在，上单调递增，在上单调递减；当时，令，解得或，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以在，上单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在单调递减.(2)证明由，得，令，则，当时，，故函数在上单调递增.，，故时，恰有1个零点.当时，令，则在上单调递增，因为，，令，可得时，单调递增，所以，故，则存在唯一的实数，使得，即，故在，上单调递增，在上单调递减，因为，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,，故当时，函数恰有1个零点.当时，，在上单调递增，又因为，，所以存在唯一实数，使得，即，故在，上单调递增，在上单调递减，因为，，故当时，函数只有个零点.当时，，由，解得，所以，令，，，故在上单调递增，，，当时，函数无零点.因此，当时，函数只有一个零点.即证当时，关于x的方程有唯一实数解10．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，求函数在内的零点个数.【解析】(1)以为，其定义域为，又，故当时，，在单调递增；试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,当时，令，可得，且令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减.综上所述：当，在单调递增；当，在单调递增，在单调递减.(2)因为，故可得，则，；下证恒成立，令，则，故在单调递减，又当时，，故在恒成立，即；因为，故，令，下证在恒成立，要证恒成立，即证，又，故即证，令，则，令，解得，此时该函数单调递增，令，解得，此时该函数单调递减，又当时，，也即；令，则，令，解得，此时该函数单调递减，令，解得，此时该函数单调递增，又当时，，也即；又，故恒成立，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,则在恒成立，又，故当时，恒成立，则在上的零点个数是.试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司