08利用导数解决函数能成立恒成立问题【2022届新高考一模试题分类汇编】一、解答题1．（2022·全国·高二课时练习）在①在定义域内单调递减，②当时，恒成立这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.已知函数，.(1)若___________，求实数的取值范围；(2)函数，其中为的导函数，求的最值.【解析】(1)若选①，的定义域为，因为在上单调递减，所以在上恒成立.因为，所以，即在上恒成立.令，其中，则，令，得.当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的取值范围为；若选②，因为当时，恒成立，所以，即在上恒成立.令，则，令，得.当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围为.(2)解：因为，所以.令，则，所以在上单调递减，且，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,故，无最小值.2．（2019·黑龙江·鸡西实验中学高三阶段练习（理））设为实数，函数，.(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.【解析】(1)解：函数的定义域为，，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增故函数的极大值为，极小值为.(2)解：对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则且不恒为零，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（文））已知函数．(1)若是函数的极值点，求实数a的值；(2)若对任意的恒成立，其中是的导函数，求a能取到的最大正整数值．【解析】(1)，因为是函数的极值点，所以，即，解得，则，令，则，当时，，所以函数在上递减，即函数在上递减，又，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,则当时，，当时，，所以是函数的极值点，所以；(2)，则对任意的恒成立，令，则，因为，所以，当时，，所以函数在上递增，所以恒成立，所以，当时，时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以，因为对任意的恒成立，所以恒成立，令，则在上恒成立，所以函数在上递减，又，，所以使成立的最大整数为7，综上所述，a能取到的最大正整数值为7.4．（2022·山西吕梁·高三开学考试（理））已知函数，.(1)若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数的值；(2)若对，恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)由题意，函数，可得，所以，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,又由函数，可得，所以，因为在点处的切线与在点处的切线互相平行，可得，又因为，所以.(2)由得，即，即，设，则，，由，设，可得，所以时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故，所以实数的取值范围为.5．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知函数的图象经过坐标原点，且．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，，求的取值范围．【解析】(1)由题意，得，因为，所以．当时，，的定义域为，．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,(2)若，即，等价于，即等价于．设，则，当时，，则在上单调递减，因为当且时，，，由，得，所以当时，恒成立．因此，，即，即当时，，即恒成立．，因为，所以在上单调递增，又因为，且，所以当时，，即，解得，故的取值范围是．6．（2022·江苏扬州·高二开学考试）已知函数.(1)若函数的最大值为，求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)的定义域为，且.①若，则在上递增，此时，不合题意，舍去.②若，则在上递增，在上递减.所以，令，得.综上得：.(2)因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立.令，则，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,令，则，所以在上递减.①若，则，即，所以在上递减，所以符合题意.［注：也可以通过，得到］②若，则，，，［注：“取点”方法不唯一，例如］又，在上单调递减，所以存在唯一实数，使得.当时，，即，所以在上递增，所以，不合题意.综上，实数的取值范围是.7．（2022·全国·模拟预测）已知函数.(1)当时，讨论的单调性.(2)是否存在实数a，使得当时，恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知，①若，则，当或时，，当时，，在，上单调递增，在上单调递减；②若，则，，在上单调递增；③若，则，当或时，，当时，，在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)设，则，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,设，则，设，则，在上单调递增，，在上单调递增，，当时，，在上单调递增，.当时，，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，设，易知在上单调递增，，即，∴存在，使，当时，，在上单调递减，此时，，不符合题意综上，存在实数a，使得当时，恒成立，且实数a的取值范围为.8．（2022·广东汕头·一模）已知函数（且为常数）.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为，则.令，则，由，可得，列表如下：减极小值增试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,所以，.①当时，即当时，对任意的，且不恒为零，此时函数在上单调递增，则函数无极值点；②当时，令，则，由，可得，列表如下：减极小值增且当时，；当时，.作出函数与函数的图象如下图所示：（i）当时，直线与函数的图象有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知，当或时，；当时，.此时，函数有个极值点；（ii）当时，由图可知，直线与函数的图象有一个交点，设其横坐标为，且，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,当时，；当时，.此时函数只有个极值点.综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数有个极值点；当时，函数只有个极值点.(2)解：不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，令，其中，则，令，其中，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，因为，，故存在，使得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，因为，则，因为，则，因为函数在上单调递增，由可得，故，可得，试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,所以，，故.9．（2022·山东济宁·一模）已知函数（且）.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)当时，，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即.(2)因为①当时，与恒成立矛盾，不合题意.②当时，，在上单调递减.因为，，所以，使得，即.所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.因为，所以.所以，即，解得.因为，所以设，.则，所以在上单调递增.所以，即.所以.10．（2022·山东·模拟预测）已知函数，.(1)若，求的单调区间；试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司,(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)当时，，则.当时，因为，且，所以，所以，单调递减.当时，因为，且，所以，所以，单调递增.所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)恒成立等价于恒成立，令，则.①当时，在区间上恒成立，符合题意；②当时，，令，，即在上单调递增，，则存在，使得，此时，即，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.令，得.因为，所以.综上，实数a的取值范围为.试卷第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司