冲刺2022届高考物理大题限时集训专题16电感感应之导体棒在导轨上运动问题【例题】如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值的电阻，质量，电阻的金属杆ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移时达到稳定状态，对应过程的图像如图乙所示。取g=10m/s2，导轨足够长。（，）求：（1）运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小；（2）从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，此过程金属杆上产生的焦耳热；（3）由图中信息计算0-1s内，导体棒滑过的位移。【答案】（1）b端电势高；5N；（2）1.47J；（3）0.85m【解析】（1）由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高当金属棒匀速运动时，由平衡条件得其中由乙图可知v=1.0m/s联立解得F=5N（2）从金属棒开始运动到达稳定，由动能定理得又克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热，代入数据解得\n两电阻产生的焦耳热与阻值成正比，故金属杆上产生的焦耳热为（3）进入匀强磁场导体棒做加速度减小的加速运动，由动量定理有又It=q由图可知代入数据解得q=0.85C由得x=0.85m情景示例：导轨和导体棒电阻不计，以水平光滑导轨为例过程分析v－t图像不受外力，初速度不为零设运动过程中某时刻棒的速度为v，加速度为a，a＝，a、v反向，导体棒做减速运动，v↓⇒a↓，当a＝0时，v＝0，导体棒做加速度减小的减速运动，最终静止外力为恒力，初速度为零设运动过程中某时刻棒的速度为v，加速度为a＝－，F恒定，a、v\n同向时，随v的增大，a减小，当a＝0时，v最大，vm＝外力为恒力，初速度不为零合力为零，做匀速直线运动F＝v↑⇒BLv↑⇒I↑⇒BIL↑⇒a↓⇒a＝0，做匀速直线运动F＞v↓⇒BLv↓⇒I↓⇒BIL↓⇒a↓⇒a＝0，做匀速直线运动F＜外力为变力，初速度为零，导体棒做匀加速直线运动由F－＝ma得F＝＋ma＝·t＋ma含容有外力，F恒定，v0＝0电容器持续充电F－BIL＝ma，I＝，ΔQ＝CΔU＝CBLΔv，a＝，得a＝，a恒定，I恒定，导体棒做匀加速直线运动双杆切割式分别隔离两导体棒，F－＝mPQaPQ，＝mMNaMN，aPQ减小，aMN\n增大，当aPQ＝aMN时二者一起匀加速运动，存在稳定的速度差【变式训练】如图所示，将两根质量均为的金属棒a、b分别垂直地放在足够长的水平导轨和上，左右两部分导轨间距分别为0.5m和1m，左右两部分导轨间有磁感应强度，方向相反的匀强磁场，两棒电阻与棒长成正比，不计导轨电阻，金属棒b开始时位于图中位置，金属棒a在NQ位置，金属棒b用绝缘细线绕过光滑定滑轮和一物块c相连，c的质量，c开始时距地面的高度。物块c由静止开始下落，触地后不反弹，物块c触地时两棒速率之比，物块c下落过程中b棒上产生的焦耳热为20J，设导轨足够长且两棒始终在磁场中运动，，整个过程中导轨和金属棒接触良好，且导轨光滑，求：（1）物块c触地时，b棒的速度大小；（2）从b开始运动到c落地的过程中通过b棒的电荷量；（3）从物块c触地后开始，到两棒匀速运动过程中系统产生的热量。【答案】（1）8m/s；（2）1.6C；（3）28.8J【解析】（1）金属棒a、b的有效长度分别为L和2L，电阻分别为R和2R，金属棒a、b串联，在任何时刻电流均相等，b棒产生的焦耳热Q2＝20J，根据焦耳定律Q＝I2Rt得a棒上产生的焦耳热为Q1＝10J\n根据能量守恒定律有根据题意有va∶vb＝1∶2解得va＝4m/s，vb＝8m/s（2）对a，由动量定理又解得a与b串联，相同时间通过的电量相等，所以从b开始运动到c落地的过程中通过b棒的电荷量为1.6C。（3）物块c触地后，a棒向左做加速运动，b棒向右做减速运动，两棒最终匀速运动时电路中电流为零，即两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设磁感应强度大小为B，则BLva′＝B·2Lvb′得va′＝2vb′对两棒分别应用动量定理，有解得联立以上各式解得va′＝6.4m/s，vb′＝3.2m/s根据能量守恒定律，从物块c触地到两棒匀速运动的过程中系统产生的热量为代入数据，解得Q3＝28.8J\n1．如图所示，两平行光滑导轨AEC、AE'C'的左端接有阻值为R的定值电阻，间距为L，其中AE、A’E'固定于同一水平面（图中未画出）上且与竖直面内的光滑圆弧形导轨EC、E’C’相切于E、E’两点。正方形DEE’D'区域内存在磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场。导体棒ab的质量为m，电阻为R、长度为L，ab棒在功率恒定、方向水平向右的推力作用下由静止开始沿导轨运动，经时间t后撒去推力，然后ab棒与另一根相同的导体棒cd发生碰撞并粘在一起，以速率v进入磁场，两导体棒穿过磁场区域后，恰好能到达CC’处。重力加速度大小为g，导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨的电阻。求：（1）该推力的功率P；（2）两导体棒通过磁场右边界EE’时的速度大小v'；（3）圆弧形导轨的半径r以及两导体棒穿过磁场的过程中定值电阻产生的焦耳热Q。【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）对ab，由动能定理可得碰撞过程，由动量守恒可得解得（2）从到受安培力，故由动量定理可得又而\n其中ab与cd并联后与R串联，故可得则又解得两导体棒通过磁场右边界时的速度大小为（3）由动能定理可得解得穿过磁场的过程中，根据能量守恒有又定值电阻产生的热量为解得2．如图所示，两根足够长的金属光滑导轨MN、PQ平行放置，导轨平面与水平面成θ=30°角，间距L=1.0m，导轨M、P两端接有阻值R=4.0Ω的电阻，质量m=0.20kg的金属棒ab垂直导轨放置，金属棒ab的电阻r=1.0Ω，导轨电阻均不计。整个装置放在磁感应强度B=2.0T的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上、金属棒ab由静止开始沿框架滑到刚开始匀速运动时，下滑的距离x=10m，取g=10m/s2。求：（1）金属棒匀速运动时，金属棒的速度大小v和两端的电压U；（2）导体棒从静止开始下滑到刚开始匀速运动，这一过程中通过电阻R上的电荷量q和电路中产生的热量Q。\n【答案】（1）1.25m/s，2.0V；（2）4C，9.84J【解析】（1）金属棒做匀速运动时，受力平衡mgsinθ=BILE=BLv解得v=1.25m/s金属棒的两端的电压U=IR=2.0V（2）通过电阻R上的电荷量，由可得解得q=4C电路中产生的热量Q等于此过程金属棒克服安培力所做的功，根据动能定理可得Q=WA=9.84J3．如图所示，质量M=0.3kg的U形光滑金属框abcd静置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直，且ab和dc边足够长，电阻不计，bc边的长度l=1.0m，电阻R1=0.4Ω。质量m=0.2kg的导体棒MN紧挨挡桩X、Y置于金属框上，导体棒的电阻R2=0.1Ω。装置始终处于分析竖直向下的磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc\n边保持平行。求：（1）用水平恒力F=1N向右拉动金属框，运动过程中，金属框最终的稳定速度大小；（2）对导体棒MN施加水平向左的瞬时冲量I=2N·s，导体棒从开始运动到稳定运动的过程中产生的焦耳热Q。【答案】（1）；（2）1.2J【解析】（1）金属框在恒力F的作用下先做加速度减小的变加速运动，最终稳定时拉力F与金属框所受安培力平衡。设金属框的最终的稳定速度大小为。稳定时电动势感应电流安培力根据二力平衡可得解得（2）设金属棒的初速度为由动量定理可得稳定时两者的速度为，由金属棒与金属框组成的系统动量守恒可得由能量守恒定律可得，整个回路中产生的焦耳热金属棒中产生的焦耳热\n4．两光滑金属导轨平行放置，右侧导轨水平，左侧导轨与水平面的夹角为37°，导轨间距m，匀强磁场均垂直导轨平面向上，磁感应强度大小均为T，导轨最右端连接电阻，一质量kg、电阻的导体棒垂直导轨放置，从某一位置处无初速释放。已知棒与导轨接触良好，其余电阻不计，导体棒到达HF前已匀速运动，棒由斜轨道进入水平轨道时的速度大小不变，水平导轨足够长，，重力加速度。求：（1）导体棒沿斜导轨下滑的最大速度；（2）导体棒在水平导轨上滑动的距离。【答案】（1）；（2）【解析】（1）设最大速度时导体棒受到的安培力为F，则解得（2）设导体棒在水平导轨上滑动x距离后速度减小到零，此过程安培力的平均值为，由动量定理\n联立可得带入数据可得5．如图所示，一平行金属导轨与水平面成角放置，导轨间的距离为L，在的上方区域内存在与导轨平面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨的下端接有阻值为R的电阻，在导轨的上端垂直于导轨放有一质量为m的导体棒，另有一质量为M的导体棒垂直于导轨，以大小为的速度沿导轨向上进入磁场区域，与导轨无摩擦，当进入和离开磁场时，导体棒恰好保持静止，两导体棒一直没有相撞。已知两导体棒的长度均为L，电阻均为R，导体棒与导轨接触良好，其余电阻不计。求：（1）导体棒恰好不受摩擦力时，导体棒速度的大小；（2）若上滑过程中所用的时间为t，此过程通过R的电荷量q；（3）离开磁场时速度的大小。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）导体棒ab恰好不受摩擦力时，由平衡条件得解得，通过导体棒ab的感应电流为根据闭合电路的欧姆定理，可得cd棒切割磁感线产生的感应电动势为\n联立方程，解得（2）cd棒上滑过程中，设通过R的平均感应电流为，则cd棒中的平均感应电流为，此过程中通过R的电荷量为对d棒上滑过程中，由动量定理可得联立方程，解得（3）当cd进入和离开磁场时，导体棒ab恰好保持静止，导体棒ab所受的摩擦力为最大静摩擦力，cd进入磁场时，感应电动势为由闭合电路欧姆定律得对ab由平衡条件得cd离开磁场时，有由闭合电路欧姆定律得对ab由平衡条件得联立方程，解得6．如图1所示，间距L=1m的足够长倾斜导轨倾角，导轨顶端连一电阻，左侧存在一面积S=0.6m2的圆形磁场区域B，磁场方向垂直于斜面向下，大小随时间变化如图2所示，右侧存在着方向垂直于斜面向下的恒定磁场B1=1T，一长为L=1m，电阻r=1Ω的金属棒ab与导轨垂直放置，t=0至t=1s，金属棒ab恰好能静止在右侧的导轨上，之后金属棒ab开始沿导轨下滑，经过足够长的距离进入EF，且在进入EF前速度已经稳定，最后停止在导轨上。已知EF\n左侧导轨均光滑，EF右侧导轨与金属棒间的动摩擦因数，取g=10m/s2，不计导轨电阻与其他阻力，sin37=0.6，cos37=0.8。求：（1）t=0至t=1s内流过电阻的电流和金属棒ab的质量；（2）金属棒ab进入EF时的速度大小；（3）金属棒ab进入EF后通过电阻R的电荷量。【答案】（1）；；（2）v=0.6m/s；（3）【解析】（1）根据法拉第电磁感应定律可得至内回路中的感应电动势为根据闭合电路欧姆定律可得t=0至t=1s内流过电阻的电流为设金属棒ab的质量为m，这段时间内金属棒ab受力平衡，即解得（2）设金属棒ab进入EF时的速度大小为v，此时回路中的感应电动势为回路中的电流为导体棒ab所受安培力大小为根据平衡条件可得解得v=0.6m/s\n（3）设金属棒ab从进入EF到最终停下的过程中，回路中的平均电流为，经历时间为t，对金属棒ab根据动量定理有其中且解得7．如图所示，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFGH矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为B的匀强磁场。在时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为；时刻，流经a棒的电流为0，此时b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b的质量分别为2m和m，电阻分别为R和2R。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，求：（1）时刻a棒加速度大小；（2）时间内，a棒产生的焦耳热。【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题知，时刻根据右手定则可知，a棒产生的感应电流方向是，b棒产生的感应电流方向是，即两个感应电流方向相同，所以回路中感应电动势为两杆产生的感应电动势之和。即回路中感应电流为对a棒，根据牛顿第二定律有\n解得（2）根据左手定则，可知a棒受到的安培力向左，b棒受到的安培力向右，由于流过a、b棒的电流一直相等，故两个力大小相等，则a棒与b棒组成的系统动量守恒。由题知，时刻流过a棒的电流为零时，说明a、b棒之间的磁通量不变，即a、b棒在时刻达到了共同速度，设为v。取向右为正方向，根据系统动量守恒有在时间内，对a、b棒组成的系统，根据能量守恒有解得回路中产生的总热量为对a、b棒，根据焦耳定律有因a、b棒流过的电流一直相等，所用时间相同，故a、b棒产生的热量与电阻成正比，即解得a棒产生的焦耳热为8．如图所示，足够长、间距为L的平行光滑金属导轨ab、de构成倾角为θ的斜面，上端接有阻值为R的定值电阻，足够长的平行光滑金属导轨bc、ef处于同一水平面内，倾斜导轨与水平导轨在b、e处平滑连接，且b、e处装有感应开关。倾斜导轨处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。距离b足够远处接有未闭合的开关S，在开关S右侧垂直导轨放置导体棒N，在倾斜导轨上距b、e足够远的位置放置导体棒M，现将导体棒M由静止释放，当导体棒M通过b、e处后瞬间感应开关自动断开。已知导体棒M的质量为m，电阻为R，导体棒N的质量为2m，电阻为2R，两导体棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，重力加速度为g，不计导轨电阻及空气阻力。（1）保持开关S断开，求导体棒M通过感应开关前瞬间的速度大小；（2）若固定导体棒N，导体棒M通过感应开关后瞬间闭合开关S，求导体棒M在水平导轨上运动的位移；\n（3）若不固定导体棒N，导体棒M通过感应开关后瞬间闭合开关S，求导体棒N上产生的焦耳热。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由题意可知导体棒M到达b、e前已做匀速直线运动，由法拉第电磁感应定律得由闭合电路欧姆定律得由平衡条件得解得（2）若固定导体棒N，导体棒M通过感应开关后瞬间闭合开关S，导体棒M、N构成回路，最终导体棒M静止，由法拉第电磁感应定律得由闭合电路欧姆定律得对导体棒M，由动量定理得解得（3）若不固定导体棒N，导体棒M通过感应开关后瞬间闭合开关S，导体棒M、N组成的系统动量守恒，最终它们共速，则\n由能量守恒定律得导体棒N上产生的焦耳热为解得9．如图所示，单匝线圈处于均匀减小的磁场中，磁通量变化率为k=3Wb/s，线圈电阻为R=1Ω，线圈通过开关导线与两根足够长的平行光滑水平金属轨道相连，轨道宽为L=1m，图中虚线右侧存在垂直轨道向下的匀强磁场，磁感应强度B=1T，轨道上静止放置有两根相同金属棒MN和PQ，质量均为m=0.1kg，电阻均为R=1Ω，其中MN在磁场外，PQ在磁场内且距离磁场虚线边界d0=lm，两部分磁场不会相互影响。不计连接线圈的电线和水平轨道的电阻，求∶（1）开关闭合瞬间，PQ棒的加速度。（2）断开开关，给MN一个向右的初速度v0=4m/s，求最终稳定时两金属棒的间距为多少？（3）断开开关，并在加一个水平向右的恒力F=1N在PQ上，若从PQ开始运动到达到最大速度的过程中PQ产生的焦耳热Q=0.4J，达到最大速度之后回路无电流，从此时刻起开始计时，磁感应强度应该如何变化？请推导出B与t的关系式。【答案】（1）10m/s2，方向向右；（2）0.6m；（3）【解析】（1）线圈产生的感应电动势闭合开关瞬间联立解得\nI=2A所以流过PQ金属棒的电流对PQ棒F=BI1L=1N由牛顿第二定律得F=ma解得a=10m/s2方向向右（2）对两金属棒系统，合力为0，根据动量守恒定律可得mv0=2mv解得v=2m/s对PQ棒，由动量定理可得即解得q=0.2C其中解得所以最终两棒间距（3）当F=F安时，达到最大速度F安=BIL\n解得v=2m/sE=BLv解得Q总=2Q=0.8J对PQ棒，由动能定理可得解得s=1m之后，棒要匀加速，则回路中没有感应电流，棒不受安培力，则任意时刻的磁通量相同，即解得（2021•湖北高考真题）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的图像如图（b）所示，当流过元件Z的电流大于或等于时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取，。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。（1）闭合开关S。，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。\n【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则由法拉第电磁感应定律得由欧姆定律得解得（2）由第（1）问得由于断开开关S后，当金属棒的速度达到最大时，元件Z两端的电压恒为此时定值电阻两端的电压为回路中的电流为\n又由欧姆定律得解得（3）开关S闭合，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为断开开关S的瞬间，元件Z两端的电压为则定值电阻两端的电压为电路中的电流为金属棒受到的安培力为对金属棒由牛顿第二定律得解得