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2022届新高考数学试题一模分类汇编17 等差数列等比数列(解析版)
ID:86028 2022-05-12 10页1111 750.99 KB
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17等差数列等比数列【2022届新高考一模试题分类汇编】一、单选题1.(2022·广西崇左·模拟预测(文))已知等差数列的公差为1,为其前项和,若,则(       )A.B.1C.D.2【答案】D【解析】依题意.故选:D2.(2022·陕西周至·一模(文))已知等差数列满足,则(       )A.B.C.D.【答案】B【解析】由等差中项的性质可得,故.故选:B.3.(2022·陕西周至·一模(文))意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”(斐波那契数列):1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,在实际生活中,很多花朵(如梅花,飞燕草等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足:,,,若,则k等于(       )A.12B.13C.89D.144【答案】A【解析】由斐波那契数列的性质可得:所以k等于12,故选:A4.(2022·江西·模拟预测(理))已知是数列的前项和,且满足,,则(       )A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知可得,当时,由可得,两式作差可得,则,所以,数列从第二项开始成以为公比的等比数列,则.故选:D.5.(2022·河南开封·二模(理))已知公差为1的等差数列中,,若该数列的前n项和,则n=(       )A.10B.11C.12D.13,【答案】D【解析】设等差数列的首项为,公差为,则,又因为,所以,则,故,解得:.故选:D.6.(2022·陕西·一模(理))若等差数列和的前n项的和分别是和,且,则(       )A.B.C.D.【答案】B【解析】因为等差数列和的前n项的和分别是和,且,所以.故选:B.7.(2022·宁夏银川·一模(文))设是等差数列的前n项和,若,则(       )A.198B.388C.776D.2021【答案】B【解析】由得:,即,所以.故选:B.8.(2022·吉林长春·模拟预测(理))已知数列是等比数列,是等差数列,若,,则(       )A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】因为数列是等比数列,所以,由,即,因为是等差数列,所以,故选:D9.(2022·河南·模拟预测(理))已知数列,都是等差数列,,,且,则的值为(       )A.-17B.-15C.17D.15【答案】D【解析】因为数列,都是等差数列,设数列,的公差分别为,,又,,且,则,即,所以,故选:D.10.(2022·江西南昌·一模(理))已知数列的前项和为,,,则(       )A.12B.C.D.【答案】D【解析】因为,取,则有,所以是首项、公比都为2的等比数列,所以.故选:D11.(2022·北京·模拟预测)已知公差不为零的等差数列,首项,若,,成等比数列,记(,),则数列(       )A.有最小项,无最大项B.有最大项,无最小项C.无最大项,无最小项D.有最大项,有最小项【答案】D【解析】设的公差为,则,解得,,当时,有最小值,当时有最大值.故选:D12.(2022·福建漳州·二模)已知是数列的前n项和,,,,记且,则(     )A.171B.278C.351D.395【答案】C【解析】由,,是首项为1,公差为2的等差数列,是首项为2,公差为2的等差数列,是首项为3,公差为2的等差数列,.故选:C.13.(2022·安徽·芜湖一中一模(理))已知是各项均为正数的等比数列,若是与的等差中项,且,则(       )A.B.16C.D.32,【答案】B【解析】设各项均为正数的等比数列的公比为,则由等比数列{}满足是与的等差中项,因为,即,得或(舍),由,得,解得,所以.故选:B.14.(2022·福建龙岩·一模)已知函数,记等差数列的前n项和为,若,,则(       )A.B.C.2022D.4044【答案】A【解析】因为是奇函数,因为,,所以,所以,所以,所以.故选:A15.(2022·吉林白山·一模(理))十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.因以兔子繁殖为例子而引入,故又称该数列为“兔子数列”.下面关于斐波那契数列的说法不正确的是(       )A.是奇数B.C.D.【答案】B【解析】因为的项具有2奇1偶,3项一周期的周期性,所以是奇数,所以A正确;因为,所以B错误;因为,所以C正确;因为,所以D正确.故选:B.二、多选题16.(2022·湖北·一模)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家经过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M,则下列说法正确的是(       )A.地震释放的能量为1015.3焦耳时,地震里氏震级约为七级B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍,C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为n(n=1,2,···,9,10),地震释放的能量为an,则数列{an}是等比数列【答案】ACD【解析】对于A:当时,由题意得,解得,即地震里氏震级约为七级,故A正确;对于B:八级地震即时,,解得,所以,所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍,故B错误;对于C:六级地震即时,,解得,所以,即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍,故C正确;对于D:由题意得(n=1,2,···,9,10),所以,所以所以,即数列{an}是等比数列,故D正确;故选:ACD17.(2022·海南·模拟预测)“外观数列”是一类有趣的数列,该数列由正整数构成,后一项是前一项的“外观描述”.例如:取第一项为,将其外观描述为“个”,则第二项为;将描述为“个”,则第三项为;将描述为“个,个”,则第四项为;将1描述为“个,个,个”,则第五项为,,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述,给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列,下列说法正确的是(       )A.若,则从开始出现数字B.若,则的最后一个数字均为C.不可能为等差数列或等比数列D.若,则均不包含数字【答案】BD【解析】对于A,,即“个”,,即“个,个”,,即“个,个”,故,A错;对于B,若,即“个”,,即“个,个”,,即“个,个”,,,以此类推可知,的最后一个数字均为,若,则,,,,以此类推可知,的最后一个数字均为.,综上所述,若,则的最后一个数字均为,B对;对于C,取,则,此时数列既是等差数列,又是等比数列,C错;对于D,,则,,,,若数列中,中为第一次出现数字,则中必出现了个连续的相同数字,如,则在的描述中必包含“个,个”,即,显然的描述是不合乎要求的,若或,同理可知均不合乎题意,故不包含数字,D对.故选:BD.18.(2022·福建龙岩·一模)已知数列的前n项和为,,则下列选项正确的是(       )A.数列的奇数项构成的数列是等差数列B.数列的偶数项构成的数列是等比数列C.D.【答案】BC【解析】因为,,所以,,,,,,,,,,,,可以看出:偶数项为常数列,可看作是以1为公比的等比数列,奇数项不是等差数列,,,,,,故选:BC.19.(2022·全国·模拟预测)已知等比数列满足,公比,且,,则(       ),A.B.当时,最小C.当时,最小D.存在,使得【答案】AC【解析】对A,∵,,∴,又,,∴,故A正确.对B,C,由等比数列的性质,,故,,∵,∴,∵,,,∴,,∴,故当时,最小,B错误,C正确;对D,当时,,故,故D错误.故选:AC20.(2022·湖北·一模)已知三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形,SA平面ABC,P为平面ABC内部一动点(包括边界).若SA=,SP与侧面SAB,侧面SAC,侧面SBC所成的角分别为,点P到AB,AC,BC的距离分别为,那么(       )A.为定值B.为定值C.若成等差数列,则为定值D.若成等比数列,则为定值【答案】BCD【解析】如图,作,由题意,根据等面积法可得,即,得,所以为定值,B正确;因为SA平面ABC,所以,又因为,,所以平面,平面,设点到平面的距离为,由等体积法可知,,即,得,因为,若成等差数列,即,所以为定值,C正确;若成等比数列,即,所以为定值,D正确;故选:BCD,三、填空题21.(2022·河北唐山·一模)记是公差不为的等差数列的前项和,若,,则________.【答案】##【解析】设等差数列的公差为,由得:,解得:,.故答案为:.22.(2022·陕西周至·一模(文))在《庄子·天下》中提到:“一尺之锤,日取其半,万世不竭”,蕴含了无限分割、等比数列的思想,体现了古人的智慧.如图,正方形的边长为,取正方形各边的中点、、、,作第二个正方形,然后再取正方形各边的中点、、、,作第三个正方形,依此方法一直继续下去,记第一个正方形的面积为,第二个正方形的面积为,,第个正方形的面积为,则前个正方形的面积之和为______________.【答案】【解析】设第个正方形的边长为,由题意可得,且,故数列是以为首项,以为公比的等比数列,,所以,,且,所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,因此,前个正方形的面积之和为.故答案为:.23.(2022·吉林长春·模拟预测(理))已知数列中,,,且,其中,则______.【答案】【解析】因为,所以当时,有,得:,因为,,所以,显然,即,于是有,于是当时,,所以数列是以为周期的周期数列,因为,所以,故答案为:24.(2022·江西南昌·一模(理))已知数列,,,,,是数列的前项和,则___________.【答案】674【解析】,则当为奇数时,,当为偶数时,,,,,,,,,,,当时,是以1,1,0进行周期循环.当时,数列每3项的和为2,余下的再单独相加.故答案为:674,25.(2022·安徽·芜湖一中一模(理))已知数列的通项公式为,其前n项和为Sn,则_________________.【答案】【解析】的最小正周期为3,则;;.∴,所以.故答案为:.
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