2011年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入括号内，每小题3分，共24分）1.国家统计局发布的第六次全国人口普查公报显示，我国总人口约为1 370 000 000人，1 370 000 000用科学记数法表示为（）A.13.7×108B.1.37×108C.1.37×109D.1.371×10-92.下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（）A.B.C.D.3.不等式12x-1≥0的解集在数轴上表示为(    )A.B.C.D.4.如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC=70∘，则∠EOF等于（）A.10∘B.20∘C.30∘D.70∘5.下列因式分解正确的是（）A.x3-x=x(x2-1)B.x2+3x+2=x(x+3)+2C.x2-y2=(x-y)2D.x2+2x+1=(x+1)26.有①、②、③、④、⑤五张不透明卡片，它们除正面的运算式不同外，其余完全相同，将卡片正面朝下，洗匀后，从中随机抽取一张，抽到运算结果正确的卡片的概率是(    )A.15B.25C.35D.457.在同一个直角坐标系中，函数y=kx和y=kx(k≠0)的图象的大致位置是（）A.B.C.D.8.某乡镇决定对一段长6 000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修建的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（）A.6000x+4=6000x(1+50%)B.6000x=6000(1-50%)x-4C.6000x-4=6000x(1+50%)D.6000x=6000(1-50%)x+4二、填空题（每题3分，共24分）9.8的平方根是________．10.函数y=x-1x-2的自变量的取值范围是________．11.数学小组五名同学在一次测试中的数学成绩分别为98，96，97，100，99，则该小组五名同学该次测试数学成绩的方差为________．第17页共18页◎第18页共18页 12.现有一圆心角为120∘，半径为9cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则围成的圆锥的高为________cm．13.如图所示，以边长为2的等边△ABO的顶点O为坐标原点，点B在x轴上，则经过点A的反比例函数的表达式为________．14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE // AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为________．15.如图，▱ABCD中，E、F分别为AD、BC上的点，且DE=2AE，BF=2FC，连接BE、AF交于点H，连接DF、CE交于点G，则S四边形EHFGS平行四边形ABCD=________．16.如图，从内到外，边长依次为2，4，6，8，…的所有正六边形的中心均在坐标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12…表示，那么顶点A62的坐标是________．三、（每小题8分，共16分）17.化简求值：x-2x-1+1x2-2x+1÷xx-1，从0，1，2三个数中选择一个合适的数值作为x值代入求值．18.如图：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1的顶点均在格点上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系．（1）画出四边形ABCD沿y轴正方向平移4格得到的四边形A2B2C2D2，并求出点D2的坐标．（2）画出四边形A1B1C1D1绕点O逆时针方向旋转90∘后得到的四边形A3B3C3D3，并求出A2、B3之间的距离．四、（每小题10分，共20分）19.为迎接中国共产党建党90周年，某校举办“红歌伴我成长”歌咏比赛活动，参赛同学的成绩分别绘制成频数分布表和频数分布直方图（均不完整）如下：第17页共18页◎第18页共18页 分数段频数频率80≤x<8590.1585≤x<90m0.4590≤x<95■■95≤x<1006n（1）求m，n的值分别是多少；（2）请在图中补全频数分布直方图；（3）比赛成绩的中位数落在哪个分数段？20.如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径的⊙O经过点C，E是⊙O上的一点，且∠BEC=45∘．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=8cm，sin∠BCE=45，求⊙O的半径．五、（每小题10分，共20分）21.数学学习小组在学习“轴对称现象”内容时，老师让同学们寻找身边的轴对称现象，小张同学拿出三张拼图模板，它们的正面与背面完全一样，形状如图：（1）小张从这三张模板中随机抽取一张，抽到的是轴对称图形的概率是多少？（2）小李同学也拿出同样的三张模板，他们分别从自己的三张模板中随机取出一个，则可以拼出一个轴对称图形的概率是多少？（用画树状图或列表法求解，模板名称可用字母表示）22.某段限速公路m上规定小汽车的行驶速度不得超过70千米/时，如图所示，已知测速站C到公路m的距离CD为303米，一辆在该公路上由北向南匀速行驶的小汽车，在A处测得测速站在汽车的南偏东30∘方向，在B处测得测速站在汽车的南偏东60∘方向，此车从A行驶到B所用的时间为3秒．（1）求从A到B行驶的路程；（2）通过计算判断此车是否超速？六、（每小题10分，共20分）23.某工厂第一次购买甲种原料60盒和乙种原料120盒共用21 600元，第二次购买甲种原料20盒和乙种原料100盒共用16 800元．（1）求甲、乙两种原料每盒价钱各为多少元；（2）该工厂第三次购买时，要求甲种原料比乙种原料的2倍少200盒，且购买两种原料的总量不少于1 010盒，总金额不超过89 200元，请你通过计算写出本次购买甲、乙两种原料的所有方案．24.已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．求证：DE=DF．七、（本题12分）25.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为5，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B(-1, 0)，C、D两点在抛物线y=12x2+bx+c上．（1）求此抛物线的表达式；（2）正方形ABCD沿射线CB以每秒5个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B1点，试判断B1点是否在抛物线上，并说明理由；（3）正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A2B2C2D2，A2点在x轴正半轴上，求正方形AB第17页共18页◎第18页共18页 CD的平移距离．八、（本题14分）26.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为(8, 8)，顶点A的坐标为(-6, 0)，边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A-B-C-F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒．（1）求直线EF的表达式及点G的坐标；（2）点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式；（3）在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第17页共18页◎第18页共18页 参考答案与试题解析2011年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入括号内，每小题3分，共24分）1.C2.C3.C4.B5.D6.A7.B8.C二、填空题（每题3分，共24分）9.±2210.x≥1且x≠211.212.6213.y=-3x14.6015.2916.(-11, -113)三、（每小题8分，共16分）17.解：原式=x-2x-1+1(x-1)2×x-1x=x-2x-1+1(x-1)x=x-1x，当x=2时，原式=12．18.解：（1）如图．D2(1, 3)．（2）如图．A2B3=22+62=210．四、（每小题10分，共20分）19.解：（1）根据统计表中，频数与频率的比值相等，即有 m0.45=90.15=6n解可得：m=27，n=0.1；（2）图为：；（3）根据中位数的求法，先将数据按从小到大的顺序排列，读图可得：共60人，第30、31名都在85分∼90分，故比赛成绩的中位数落在85分∼90分．20.解：（1）相切．理由如下：第17页共18页◎第18页共18页 连接OC，如图，∵∠BEC=45∘，∴∠BOC=90∘，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB // CD．∴∠OCD=∠BOC=90∘，∴OC⊥CD．∴CD为⊙O的切线；（2）连接AE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90∘，∵∠EAB=∠BCE，sin∠BCE=45，∴sin∠EAB=45，∴BEAB=45，∵BE=8，∴AB=10，∴AO=12AB=5，∴⊙O的半径为5 cm．五、（每小题10分，共20分）21.解：(1)23（2）树状图法略，列表法如下：小张小李ABCA(A, A)(A, B)(A, C)B(B, A)(B, B)(B, C)C(C, A)(C, B)(C, C)一共有9种结果，每种结果出现的可能性是相同的，而其中可以拼成轴对称图案的结果有5种，分别是(A, A)，(B, B)，(C, C)，(B, C)，(C, B)，所以可以拼成一个轴对称图案的概率是59．22.从A到B行驶的路程为60米．（2）∵从A到B的时间为3秒，∴小汽车行驶的速度为v=603=20（米/秒）=72（千米/时）．∵72千米/时>70千米/时，∴小汽车超速．六、（每小题10分，共20分）23.甲、乙两种原料的价钱分别为40元/盒、160元/盒．（2）设购买乙种原料m盒，则购买甲种原料为(2m-200)盒，由题意，得40(2m-200)+160m≤89200m+(2m-200)≥1010，解得40313≤m≤405．∵m取整数，∴m=404或m=405，当m=404时，2m-200=608；当m=405时，2m-200=610；所以购买方案为①购买甲种原料608盒，乙种原料404盒；②购买甲种原料610盒，乙种原料405盒．24.证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，∵D为AB中点，∠AEC=90∘，∠BFC=90∘，∴EM=12AC，FN=12BC，∵D是△ABC中AB边上的中点，∴DN是△ABC的中位线．∴DN=12AC，∴EM=DN=12AC，FN=MD=12BC，∵DN // CM且DN=CM，第17页共18页◎第18页共18页 ∴四边形MDNC为平行四边形，∴∠CMD=∠CND．∵∠EMC=∠FNC=90∘，∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，即∠EMD=∠FND，∴△EMD≅△DNF(SAS)．∴DE=DF．七、（本题12分）25.解：（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．∵正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠AOB=90∘，即∠OBC+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90∘．∴∠OBC=∠BAO．在Rt△BCE和Rt△ABO中，∵∠OBC=∠BAO，BC=AB，∠CEB=∠BOA=90∘，∴Rt△BCE≅Rt△ABO(AAS)．∴CE=BO，BE=AO．∵B(-1, 0)，∴BO=1．∵AB=5，∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO=AB2-BO2=5-1=2．∴CE=1，BE=2．∴OE=BE-BO=1．∴C(1, -1)．同理可得△ADF≅△ABO．∴DF=AO=2，AF=BO=1．∴OF=AO-AF=2-1=1．∴D(2, 1)．将C(1, -1)、D(2, 1)分别代入y=12x2+bx+c中，可得-1=12×1+b+c1=12×4+2b+c解得b=12c=-2∴此抛物线的表达式为y=12x2+12x-2．（2）点B1在抛物线上．理由：根据题意，得1秒后点B移动的长度为，5×1=5，则BB1=5．如图，过点B1作B1N⊥x轴于点N．在Rt△ABO与Rt△BNB1中，∵∠AOB=∠BNB1=90∘，∠2=∠B1BN=90∘-∠ABO，AB=B1B，∴Rt△ABO≅Rt△BB1N．∴B1N=BO=1，NB=AO=2．∴NO=NB+BO=2+1=3．∴B1(-3, 1)．将点B1(-3, 1)代入y=12x2+12x-2中，可得点B1(-3, 1)在抛物线上．（3）如图，设正方形ABCD沿射线BC平移后的图形为正方形A2B2C2D2．∵∠OBC=∠BAO，∠BB2A2=∠AOB，∴△A2BB2∽△BAO．∴BB2A2B2=AOBO．∵AO=2，BO=1，A2B2=5，即BB25=21，∴BB2=25．∴正方形ABCD平移的距离为25．八、（本题14分）26.解：（1）∵C(8, 8)，DC // x轴，点F的横坐标为3，∴OD=CD=8．∴点F的坐标为(3, 8)，∵A(-6, 0)，∴OA=6，∴AD=10，过点第17页共18页◎第18页共18页 E作EH⊥x轴于点H，则△AHE∽△AOD．又∵E为AD的中点，∴AHAO=AEAD=EHDO=12．∴AH=3，EH=4．∴OH=3．∴点E的坐标为(-3, 4)，设过E、F的直线为y=kx+b，∴3k+b=8-3k+b=4∴k=23b=6∴直线EF为y=23x+6，令x=0，则y=6，即点G的坐标为(0, 6)．（2）延长HE交CD的延长线于点M，则EM=EH=4．∵DF=3，∴S△DEF=12×3×4=6，且S平行四边形ABCD=CD⋅OD=8×8=64．①当点P在AB上运动时，如图3，S=S平行四边形ABCD-S△DEF-S△APE-S四边形PBCF．∵AP=t，EH=4，∴S△APE=12×4t=2t，S四边形PBCF=12(5+8-t)×8=52-4t．∴S=64-6-2t-(52-4t)，即：S=2t+6．②当点P在BC边上运动时，S=S平行四边形ABCD-S△DEF-S△PCF-S四边形ABPE．过点P作PN⊥CD于点N．∵∠C=∠A，sin∠A=ODAD=45，∴sin∠C=45．∵PC=18-t，∴PN=PC⋅sin∠C=45(18-t)．∵CF=5，∴S△PCF=12×5×45(18-t)=36-2t．过点B作BK⊥AD于点K．∵AB=CD=8，∴BK=AB⋅sin∠A=8×45=325．∵PB=t-8，∴S四边形ABPE=12(t-8+5)×325=165t-485．∴S=64-6-(36-2t)-(165t-485)，即S=-65t+1585．③当点P在CF上运动时，∵PC=t-18，∴PF=5-(t-18)=23-t．∵EM=4，∴S△PEF=12×4×(23-t)=46-2t第17页共18页◎第18页共18页 ．综上：S=2t+6,(0≤t<8)-65t+1585，(8≤t<18)46-2t,(18≤t<23)（3）存在．P1(5217, 2417)．P2(9117, 7617)．第17页共18页◎第18页共18页