2021年山东省临沂市中考数学真题试卷解析版
ID：41217
2021-10-13
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2021年初中毕业生学业考试数学试卷山东省临沂市中考数学试卷一．选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．﹣的相反数是（ ）A．﹣B．﹣2C．2D．2．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（ ）A．5.5×106B．0.55×108C．5.5×107D．55×1063．计算2a3•5a3的结果是（ ）A．10a6B．10a9C．7a3D．7a64．如图所示的几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．5．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°6．方程x2﹣x＝56的根是（ ）A．x1＝7，x2＝8B．x1＝7，x2＝﹣8C．x1＝﹣7，x2＝8D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
7．不等式＜x+1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．8．计算（a﹣）÷（﹣b）的结果是（ ）A．﹣B．C．﹣D．9．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（ ）A．B．C．2D．310．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（ ）A．B．C．D．11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）A．110°B．120°C．125°D．130°12．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2
，根据题意可列方程为（ ）A．＝+B．+＝C．+＝D．＝+13．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．414．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15．分解因式：2a3﹣8a＝ ．16．比较大小：2 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．17．某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是 ．
18．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是 ．19．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是 （只填写序号）．①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．三．解答题（本大题共7小题，共63分）20．（7分）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．21．（7分）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：0.690.730.740.800.810.980.930.810.890.690.740.990.980.780.800.890.830.890.940.89
研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：分组频数0.65≤x＜0.7020.70≤x＜0.7530.75≤x＜0.8010.80≤x＜0.85a0.85≤x＜0.9040.90≤x＜0.9520.95≤x＜1.00b统计量平均数中位数众数数值0.84cd（1）表格中：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．22．（7分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
23．（9分）已知函数y＝（1）画出函数图象；列表：x… …y… .…描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．24．（9分）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．
25．（11分）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？26．（13分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
2021年山东省临沂市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．﹣的相反数是（ ）A．﹣B．﹣2C．2D．【分析】只有符号相反的两个数互为相反数,根据相反数的定义即可解答．【解答】解:﹣的相反数是,故选：D．2．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（ ）A．5.5×106B．0.55×108C．5.5×107D．55×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．故选：C．3．计算2a3•5a3的结果是（ ）A．10a6B．10a9C．7a3D．7a6【分析】根据单项式乘单项式的法则进行计算即可．【解答】解：2a3•5a3＝10a3+3＝10a6，故选：A．4．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．【分析】根据简单几何体三视图的画法可得答案．【解答】解：从正面看该几何体，由能看见的轮廓线用实线表示可得选项B中的图形符合题意，故选：B．5．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠ECD＝40°,由角平分线的定义得到∠BCD＝20°,最后根据两直线平行，内错角相等即可得解．【解答】解：∵AB∥CD，∠AEC＝40°，∴∠ECD＝∠AEC＝40°,∵CB平分∠DCE，∴∠BCD＝∠DCE＝20°,∵AB∥CD,∴∠ABC＝∠BCD＝20°,故选：B．6．方程x2﹣x＝56的根是（ ）A．x1＝7，x2＝8B．x1＝7，x2＝﹣8C．x1＝﹣7，x2＝8D．x1＝﹣7，x2＝﹣8【分析】利用因式分解法求解即可。
【解答】解：∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝8，故选：C．7．不等式＜x+1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得其解集，继而表示在数轴上即可．【解答】解：去分母，得：x﹣1＜3x+3，移项，得：x﹣3x＜3+1，合并同类项，得：﹣2x＜4，系数化为1，得：x＞﹣2，将不等式的解集表示在数轴上如下：故选：B．8．计算（a﹣）÷（﹣b）的结果是（ ）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据分式的减法和除法法则可以化简题目中的式子．【解答】解：（a﹣）÷（﹣b）＝÷＝＝﹣，
故选：A．9．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（ ）A．B．C．2D．3【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：由图可得，AB＝＝＝＝2，∵BC＝，∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝，故选：B．10．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把2盒不过期的牛奶记为A、B，2盒已过期的牛奶记为C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，∴至少有一盒过期的概率为＝，故选：D．
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）A．110°B．120°C．125°D．130°【分析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵AP、BP是⊙O切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ADB＝AOB＝55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．故选：C．12．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列方程为（ ）A．＝+B．+＝
C．+＝D．＝+【分析】若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，则B型扫地机器人每小时清扫（1+50%）xm2，根据“清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟”列出方程，此题得解．【解答】解：若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，则B型扫地机器人每小时清扫（1+50%）xm2，根据题意，得＝+．故选：D．13．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：∵a＞b，∴当a＞0时，a2＞ab，当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误；∵a＞b，∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，∴当|a|＜|b|时，a2＜b2，故②结论错误；∵a＞b，b＜0，∴a+b＞2b，故③结论错误；∵a＞b，b＞0，∴a＞b＞0，∴，故④结论正确；∴正确的个数是1个．故选：A．14．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．
如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【解答】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，...，∴再经过1620×4＝6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，此时32×＝1mg，故选：C．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15．分解因式：2a3﹣8a＝ 2a（a+2）（a﹣2） ．【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），故答案为：2a（a+2）（a﹣2）16．比较大小：2 ＜ 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
【解答】解：∵2＝，5＝，而24＜25，∴2＜5．故填空答案：＜．17．某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是 95.5 ．【分析】先根据统计图得出每组的人数，在根据加权平均数的计算公式即可．【解答】解：由统计图可知四个成绩的人数分别为3，2，5，10，∴，故答案为95.5．18．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是 （4，﹣1） ．【分析】由题意A,C关于原点对称，求出点C的坐标，再利用平移的性质求出点C1的坐标可得结论．【解答】解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，∴点A,点C关于原点对称，∵A(﹣1,1),∴C(1,﹣1),∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是(4,﹣1),
故答案为：（4，﹣1）．19．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是 ①③ （只填写序号）．①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．【分析】①根据两点确定一条直线进行判断．②利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．③根据菱形的性质进行判断．④根据矩形的性质进行判断．【解答】解：①在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故符合题意．②因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，故不符合题意．③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”，故符合题意；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故不符合题意．故答案是：①③．三．解答题（本大题共7小题，共63分）20．（7分）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．【分析】分别运用绝对值的性质和乘法公式展开再合并即可．【解答】解：原式＝+[（）²﹣+]﹣[（）²++]，
＝+(2﹣+)﹣(2++)，＝＝+2﹣+﹣2﹣﹣，＝﹣．21．（7分）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：0.690.730.740.800.810.980.930.810.890.690.740.990.980.780.800.890.830.890.940.89研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：分组频数0.65≤x＜0.7020.70≤x＜0.7530.75≤x＜0.8010.80≤x＜0.85a0.85≤x＜0.9040.90≤x＜0.9520.95≤x＜1.00b统计量平均数中位数众数数值0.84cd（1）表格中：a＝ 5 ，b＝ 3 ，c＝ 0.82 ，d＝ 0.89 ；（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．【分析】（1）根据所给数据计数即可得a、b的值，根据根据中位数和众数的定义求解可得c、d的值；（2）求出今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数所占得百分比即可得到结论；
（3）根据中位数进行判断即可．【解答】解：（1）由统计频数的方法可得，a＝5，b＝3，将A村家庭收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（0.81+0.83）÷2＝0.82，因此中位数是0.82，即c＝0.82，他们一季度家庭人均收入的数据出现最多的是0.89，因此众数是0.89，即d＝0.89，故答案为：5，3，0.82，0.89；（2）300×＝210（户），答：估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数有210户；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭，理由：该村300户家庭一季度家庭人均收入的中位数是0.82，0.83＞0.82，所以该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭．22．（7分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可．【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝＝4（m），
∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴，即，∴BD＝＝2.25（m），∴tan∠AOD＝tan70°＝，即≈2.75（m），解得：AB＝6m，∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．23．（9分）已知函数y＝（1）画出函数图象；列表：x… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y… ﹣1 ﹣3 0 3 1 .…描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可；（2）观察图像可得函数的最大值；（3）根据x1+x2＝0，得到x1和x2互为相反数，再分﹣1＜x1＜1，x1≤﹣1，x1≥1，分别验证y1+y2＝0．【解答】解：（1）列表如下：x．．．﹣3﹣2﹣101234．．．y．．．﹣1﹣3031．．．函数图像如图所示：（2）根据图像可知：当x＝1时，函数有最大值3；（3）∵(x1,x2)是函数图象上的点，x1+x2＝0，∴x1和x2互为相反数，当﹣1＜x1＜1时，﹣1＜x2＜1，∴y1＝3x1，y2＝3x2，∴y1+y2＝3x1+3x2＝3（x1+x2）＝0；当x1≤﹣1时，x2≥1，则y1+y2＝＝0；
同理：当x1≥1时，x2≤﹣1，y1+y2＝0，综上：y1+y2＝0．24．（9分）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADBADB＝∠CBDCBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEFDEF≌△BCFBCF，得到DE＝BCDE＝BC，证明四边形BCDEBCDE为平行四边形，再根据得到BCC＝CDCD，从而证明菱形．【解答】解：（1）连接BD，∵，∴∠ADBADB＝∠CBD，∴ADAD∥BCBC；（2）连接CD，∵ADAD∥BBC，∴∠EDFEDF＝∠CBFCB，
∵，∴BCC＝CDCD，∴BFBF＝DF，又∠DFE＝∠BFBFC，∴△DEFDEF≌△BCF（ASAa），∴DE＝BCDE＝BC，∴四边形BCDEBCDE是平行四边形，又BCBC＝CD，∴四边形BCDEBCDE是菱形．25．（11分）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v＝9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出当v＝10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．【解答】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，∵一次函数经过（0，16），（8，8），则，解得：，∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，令v＝9，则t＝7，∴当t＝7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），则，解得：，∴二次函数表达式为，令t＝7，则s＝＝87.5，∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；（2）∵当t＝0时，甲车的速度为16m/s，∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，∴当v＝10m/s时，两车之间距离最小，将v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6，将t＝6代入中，得s＝78，此时两车之间的距离为：10×6+20﹣78＝2m，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．26．（13分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？【分析】(1)由折叠的性质得出∠BAG＝∠GAF＝∠BAF,B,F关于AE对称,证出∠EAH
＝BAD＝45°,由等腰直角三角形的性质得出答案；(2)连接DH,DF,交AH于点N,由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,得出∠DHF＝90°,由勾股定理求出AE＝,证明△AEB∽△ABG,得出比例线段,,可求出AG,BG的长,则可求出答案．(3)方法一:连接BD,由锐角三角函数的定义求出,证明△BDF∽△CDH,由相似三角形的性质得出∠CDH＝∠BFD,则可得出答案．方法二:连接BD,证出点B,C,H,D四点共圆,则可得出结论．【解答】(1)证明:∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF,B,F关于AE对称,∴AG⊥BF,∴∠AGF＝90°,∵AH平分∠DAF,∴∠FAH＝∠FAD,∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝(∠BAF+∠FAD)＝∠BAD,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°,∴∠EAH＝∠BAD＝45°,∵∠HGA＝90°,∴GA＝GH；(2)解:如图1,连接DH,DF,交AH于点N,由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,
∴AH⊥DF,FN＝DN,∴DH＝HF,∠FNH＝∠DNH＝90°,又∵∠GHA＝45°,∴∠FNH＝45°＝∠NDH＝∠DHN,∴∠DHF＝90°,∴DH的长为点D到直线BH的距离,由(1)知AE2＝AB2+BE2,∴AE＝＝＝,∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°,∴∠AEB＝∠ABG,又∠AGB＝∠ABE＝90°,∴△AEB∽△ABG,∴,,∴AG＝＝,∴BG＝,由(1)知GF＝BG,AG＝GH,∴GF＝,GH＝,∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．即点D到直线BH的距离为；(3)不变．
理由如下:方法一:连接BD,如图2,在Rt△HDF中,,在Rt△BCD中,＝sin45°＝,∴,∵∠BDF+∠CDH＝45°,∠FDC+∠CDH＝45°,∴∠BDF＝∠CDH,∴△BDF∽△CDH,∴∠CDH＝∠BFD,∵∠DFH＝45°,∴∠BFD＝135°＝∠CHD,∵∠BHD＝90°,∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．方法二:∵∠BCD＝90°,∠BHD＝90°,∴点B,C,H,D四点共圆,∴∠BHC＝∠BDC＝45°,∴∠BHC的度数不变．
2021年山东省临沂市中考数学真题试卷解析版
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2021年初中毕业生学业考试数学试卷山东省临沂市中考数学试卷一．选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．﹣的相反数是（ ）A．﹣B．﹣2C．2D．2．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（ ）A．5.5×106B．0.55×108C．5.5×107D．55×1063．计算2a3•5a3的结果是（ ）A．10a6B．10a9C．7a3D．7a64．如图所示的几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．5．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°6．方程x2﹣x＝56的根是（ ）A．x1＝7，x2＝8B．x1＝7，x2＝﹣8C．x1＝﹣7，x2＝8D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
7．不等式＜x+1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．8．计算（a﹣）÷（﹣b）的结果是（ ）A．﹣B．C．﹣D．9．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（ ）A．B．C．2D．310．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（ ）A．B．C．D．11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）A．110°B．120°C．125°D．130°12．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2
，根据题意可列方程为（ ）A．＝+B．+＝C．+＝D．＝+13．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．414．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15．分解因式：2a3﹣8a＝ ．16．比较大小：2 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．17．某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是 ．
18．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是 ．19．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是 （只填写序号）．①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．三．解答题（本大题共7小题，共63分）20．（7分）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．21．（7分）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：0.690.730.740.800.810.980.930.810.890.690.740.990.980.780.800.890.830.890.940.89
研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：分组频数0.65≤x＜0.7020.70≤x＜0.7530.75≤x＜0.8010.80≤x＜0.85a0.85≤x＜0.9040.90≤x＜0.9520.95≤x＜1.00b统计量平均数中位数众数数值0.84cd（1）表格中：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．22．（7分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
23．（9分）已知函数y＝（1）画出函数图象；列表：x… …y… .…描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．24．（9分）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．
25．（11分）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？26．（13分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？
2021年山东省临沂市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．﹣的相反数是（ ）A．﹣B．﹣2C．2D．【分析】只有符号相反的两个数互为相反数,根据相反数的定义即可解答．【解答】解:﹣的相反数是,故选：D．2．2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．据测算，地球到火星的最近距离约为55000000km，将数据55000000用科学记数法表示为（ ）A．5.5×106B．0.55×108C．5.5×107D．55×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．故选：C．3．计算2a3•5a3的结果是（ ）A．10a6B．10a9C．7a3D．7a6【分析】根据单项式乘单项式的法则进行计算即可．【解答】解：2a3•5a3＝10a3+3＝10a6，故选：A．4．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．【分析】根据简单几何体三视图的画法可得答案．【解答】解：从正面看该几何体，由能看见的轮廓线用实线表示可得选项B中的图形符合题意，故选：B．5．如图，在AB∥CD中，∠AEC＝40°，CB平分∠DCE，则∠ABC的度数为（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠ECD＝40°,由角平分线的定义得到∠BCD＝20°,最后根据两直线平行，内错角相等即可得解．【解答】解：∵AB∥CD，∠AEC＝40°，∴∠ECD＝∠AEC＝40°,∵CB平分∠DCE，∴∠BCD＝∠DCE＝20°,∵AB∥CD,∴∠ABC＝∠BCD＝20°,故选：B．6．方程x2﹣x＝56的根是（ ）A．x1＝7，x2＝8B．x1＝7，x2＝﹣8C．x1＝﹣7，x2＝8D．x1＝﹣7，x2＝﹣8【分析】利用因式分解法求解即可。
【解答】解：∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝8，故选：C．7．不等式＜x+1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得其解集，继而表示在数轴上即可．【解答】解：去分母，得：x﹣1＜3x+3，移项，得：x﹣3x＜3+1，合并同类项，得：﹣2x＜4，系数化为1，得：x＞﹣2，将不等式的解集表示在数轴上如下：故选：B．8．计算（a﹣）÷（﹣b）的结果是（ ）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据分式的减法和除法法则可以化简题目中的式子．【解答】解：（a﹣）÷（﹣b）＝÷＝＝﹣，
故选：A．9．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（ ）A．B．C．2D．3【分析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：由图可得，AB＝＝＝＝2，∵BC＝，∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝，故选：B．10．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把2盒不过期的牛奶记为A、B，2盒已过期的牛奶记为C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，∴至少有一盒过期的概率为＝，故选：D．
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）A．110°B．120°C．125°D．130°【分析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵AP、BP是⊙O切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ADB＝AOB＝55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．故选：C．12．某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列方程为（ ）A．＝+B．+＝
C．+＝D．＝+【分析】若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，则B型扫地机器人每小时清扫（1+50%）xm2，根据“清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟”列出方程，此题得解．【解答】解：若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，则B型扫地机器人每小时清扫（1+50%）xm2，根据题意，得＝+．故选：D．13．已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：∵a＞b，∴当a＞0时，a2＞ab，当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误；∵a＞b，∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，∴当|a|＜|b|时，a2＜b2，故②结论错误；∵a＞b，b＜0，∴a+b＞2b，故③结论错误；∵a＞b，b＞0，∴a＞b＞0，∴，故④结论正确；∴正确的个数是1个．故选：A．14．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．
如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）A．4860年B．6480年C．8100年D．9720年【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．【解答】解：由图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，...，∴再经过1620×4＝6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，此时32×＝1mg，故选：C．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15．分解因式：2a3﹣8a＝ 2a（a+2）（a﹣2） ．【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），故答案为：2a（a+2）（a﹣2）16．比较大小：2 ＜ 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
【解答】解：∵2＝，5＝，而24＜25，∴2＜5．故填空答案：＜．17．某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图．这个班参赛学生的平均成绩是 95.5 ．【分析】先根据统计图得出每组的人数，在根据加权平均数的计算公式即可．【解答】解：由统计图可知四个成绩的人数分别为3，2，5，10，∴，故答案为95.5．18．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是（﹣1，1）、（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是 （4，﹣1） ．【分析】由题意A,C关于原点对称，求出点C的坐标，再利用平移的性质求出点C1的坐标可得结论．【解答】解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，∴点A,点C关于原点对称，∵A(﹣1,1),∴C(1,﹣1),∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是(4,﹣1),
故答案为：（4，﹣1）．19．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是 ①③ （只填写序号）．①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．【分析】①根据两点确定一条直线进行判断．②利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．③根据菱形的性质进行判断．④根据矩形的性质进行判断．【解答】解：①在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故符合题意．②因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，故不符合题意．③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”，故符合题意；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故不符合题意．故答案是：①③．三．解答题（本大题共7小题，共63分）20．（7分）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．【分析】分别运用绝对值的性质和乘法公式展开再合并即可．【解答】解：原式＝+[（）²﹣+]﹣[（）²++]，
＝+(2﹣+)﹣(2++)，＝＝+2﹣+﹣2﹣﹣，＝﹣．21．（7分）实施乡村振兴计划以来，我市农村经济发展进入了快车道，为了解梁家岭村今年一季度经济发展状况，小玉同学的课题研究小组从该村300户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下（单位：万元）：0.690.730.740.800.810.980.930.810.890.690.740.990.980.780.800.890.830.890.940.89研究小组的同学对以上数据进行了整理分析，得到下表：分组频数0.65≤x＜0.7020.70≤x＜0.7530.75≤x＜0.8010.80≤x＜0.85a0.85≤x＜0.9040.90≤x＜0.9520.95≤x＜1.00b统计量平均数中位数众数数值0.84cd（1）表格中：a＝ 5 ，b＝ 3 ，c＝ 0.82 ，d＝ 0.89 ；（2）试估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．【分析】（1）根据所给数据计数即可得a、b的值，根据根据中位数和众数的定义求解可得c、d的值；（2）求出今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数所占得百分比即可得到结论；
（3）根据中位数进行判断即可．【解答】解：（1）由统计频数的方法可得，a＝5，b＝3，将A村家庭收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（0.81+0.83）÷2＝0.82，因此中位数是0.82，即c＝0.82，他们一季度家庭人均收入的数据出现最多的是0.89，因此众数是0.89，即d＝0.89，故答案为：5，3，0.82，0.89；（2）300×＝210（户），答：估计今年一季度梁家岭村家庭人均收入不低于0.8万元的户数有210户；（3）该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭，理由：该村300户家庭一季度家庭人均收入的中位数是0.82，0.83＞0.82，所以该村梁飞家今年一季度人均收入为0.83万元，能超过村里一半以上的家庭．22．（7分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】利用勾股定理求出OM，证明△COM∽△BOD，求出BD，在△AOD中，利用三角函数的定义求出AB即可．【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴OM＝＝4（m），
∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，∴，即，∴BD＝＝2.25（m），∴tan∠AOD＝tan70°＝，即≈2.75（m），解得：AB＝6m，∴汽车从A处前行约6米才能发现C处的儿童．23．（9分）已知函数y＝（1）画出函数图象；列表：x… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y… ﹣1 ﹣3 0 3 1 .…描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可；（2）观察图像可得函数的最大值；（3）根据x1+x2＝0，得到x1和x2互为相反数，再分﹣1＜x1＜1，x1≤﹣1，x1≥1，分别验证y1+y2＝0．【解答】解：（1）列表如下：x．．．﹣3﹣2﹣101234．．．y．．．﹣1﹣3031．．．函数图像如图所示：（2）根据图像可知：当x＝1时，函数有最大值3；（3）∵(x1,x2)是函数图象上的点，x1+x2＝0，∴x1和x2互为相反数，当﹣1＜x1＜1时，﹣1＜x2＜1，∴y1＝3x1，y2＝3x2，∴y1+y2＝3x1+3x2＝3（x1+x2）＝0；当x1≤﹣1时，x2≥1，则y1+y2＝＝0；
同理：当x1≥1时，x2≤﹣1，y1+y2＝0，综上：y1+y2＝0．24．（9分）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC；（2）四边形BCDE为菱形．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADBADB＝∠CBDCBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEFDEF≌△BCFBCF，得到DE＝BCDE＝BC，证明四边形BCDEBCDE为平行四边形，再根据得到BCC＝CDCD，从而证明菱形．【解答】解：（1）连接BD，∵，∴∠ADBADB＝∠CBD，∴ADAD∥BCBC；（2）连接CD，∵ADAD∥BBC，∴∠EDFEDF＝∠CBFCB，
∵，∴BCC＝CDCD，∴BFBF＝DF，又∠DFE＝∠BFBFC，∴△DEFDEF≌△BCF（ASAa），∴DE＝BCDE＝BC，∴四边形BCDEBCDE是平行四边形，又BCBC＝CD，∴四边形BCDEBCDE是菱形．25．（11分）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v＝9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出当v＝10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．【解答】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，∵一次函数经过（0，16），（8，8），则，解得：，∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，令v＝9，则t＝7，∴当t＝7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），则，解得：，∴二次函数表达式为，令t＝7，则s＝＝87.5，∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；（2）∵当t＝0时，甲车的速度为16m/s，∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，∴当v＝10m/s时，两车之间距离最小，将v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6，将t＝6代入中，得s＝78，此时两车之间的距离为：10×6+20﹣78＝2m，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．26．（13分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？【分析】(1)由折叠的性质得出∠BAG＝∠GAF＝∠BAF,B,F关于AE对称,证出∠EAH
＝BAD＝45°,由等腰直角三角形的性质得出答案；(2)连接DH,DF,交AH于点N,由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,得出∠DHF＝90°,由勾股定理求出AE＝,证明△AEB∽△ABG,得出比例线段,,可求出AG,BG的长,则可求出答案．(3)方法一:连接BD,由锐角三角函数的定义求出,证明△BDF∽△CDH,由相似三角形的性质得出∠CDH＝∠BFD,则可得出答案．方法二:连接BD,证出点B,C,H,D四点共圆,则可得出结论．【解答】(1)证明:∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF,B,F关于AE对称,∴AG⊥BF,∴∠AGF＝90°,∵AH平分∠DAF,∴∠FAH＝∠FAD,∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝(∠BAF+∠FAD)＝∠BAD,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°,∴∠EAH＝∠BAD＝45°,∵∠HGA＝90°,∴GA＝GH；(2)解:如图1,连接DH,DF,交AH于点N,由(1)可知AF＝AD,∠FAH＝∠DAH,
∴AH⊥DF,FN＝DN,∴DH＝HF,∠FNH＝∠DNH＝90°,又∵∠GHA＝45°,∴∠FNH＝45°＝∠NDH＝∠DHN,∴∠DHF＝90°,∴DH的长为点D到直线BH的距离,由(1)知AE2＝AB2+BE2,∴AE＝＝＝,∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°,∴∠AEB＝∠ABG,又∠AGB＝∠ABE＝90°,∴△AEB∽△ABG,∴,,∴AG＝＝,∴BG＝,由(1)知GF＝BG,AG＝GH,∴GF＝,GH＝,∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．即点D到直线BH的距离为；(3)不变．
理由如下:方法一:连接BD,如图2,在Rt△HDF中,,在Rt△BCD中,＝sin45°＝,∴,∵∠BDF+∠CDH＝45°,∠FDC+∠CDH＝45°,∴∠BDF＝∠CDH,∴△BDF∽△CDH,∴∠CDH＝∠BFD,∵∠DFH＝45°,∴∠BFD＝135°＝∠CHD,∵∠BHD＝90°,∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．方法二:∵∠BCD＝90°,∠BHD＝90°,∴点B,C,H,D四点共圆,∴∠BHC＝∠BDC＝45°,∴∠BHC的度数不变．
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