2021年初中毕业生学业考试数学试卷江苏省连云港市中考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣3的相反数是（　　）A．3B．C．﹣3D．﹣2．下列运算正确的是（　　）A．3a+2b＝5abB．5a2﹣2b2＝3C．7a+a＝7a2D．（x﹣1）2＝x2+1﹣2x3．2021年5月18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据（　　）A．0.46×107B．4.6×107C．4.6×106D．46×1054．正五边形的内角和是（　　）A．360°B．540°C．720°D．900°5．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（　　）A．128°B．130°C．132°D．136°6．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象经过点（﹣1，1）；乙：函数图象经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（　　）A．y＝﹣xB．y＝C．y＝x2D．y＝﹣,7．如图，△ABC中，BD⊥AB，AD＝AC，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（　　）A．B．C．D．8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）A．3B．4C．5D．6二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是　　．10．计算：＝　　．11．分解因式：9x2+6x+1＝　　．12．若关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝　　．13．如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠OBC＝40°，则∠OAC＝　　°．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，AC＝8，BD＝6　　．,15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是　　元．16．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，则＝　　．三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：+|﹣6|﹣22．18．（6分）解不等式组：．19．（6分）解方程：﹣＝1．20．（8分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图．,根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是　　°；（3）这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为　　．21．（10分）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是　　；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．22．（10分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．23．（10分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案,24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，AB＝AD，AC平分∠BAD．（1）求证：AD是⊙C的切线；（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．25．（10分）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）26．（12分）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（3，0）．,（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．27．（14分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，如图1．求CF的长；（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，求点F所经过的路径长；（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时　　，点G所经过的路径长为　　．,2021年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣3的相反数是（　　）A．3B．C．﹣3D．﹣【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：∵互为相反数相加等于0，∴﹣3的相反数是2．故选：A．2．下列运算正确的是（　　）A．3a+2b＝5abB．5a2﹣2b2＝3C．7a+a＝7a2D．（x﹣1）2＝x2+1﹣2x【分析】由合并同类项法则及完全平方公式依次判断每个选项即可．【解答】解：A.3a和2b不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意；B.8a2和2b6不是同类项，不能合并，故选项B不符合题意；C.7a+a＝8a，C错误；D．（x﹣2）2＝x2﹣5x+1，D正确．故选：D．3．2021年5月18日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口数据（　　）A．0.46×107B．4.6×107C．4.6×106D．46×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值≥10时，n是正数．【解答】解：4600000＝4.6×104．故选：C．4．正五边形的内角和是（　　）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】根据多边形内角和为（n﹣2）×180°，然后将n＝5代入计算即可．,【解答】解：正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝6×180°＝540°，故选：B．5．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（　　）A．128°B．130°C．132°D．136°【分析】在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，又由折叠可知，∠GEF＝∠DEF，可求出∠DEG的度数，进而得到∠EGB的度数．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，由折叠可知∠GEF＝∠DEF＝64°，∴∠DEG＝128°，∴∠EGB＝∠DEG＝128°，故选：A．6．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图象经过点（﹣1，1）；乙：函数图象经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（　　）A．y＝﹣xB．y＝C．y＝x2D．y＝﹣【分析】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．【解答】解：把点（﹣1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，选项B不符合题意；又函数过第四象限，而y＝x7只经过第一、二象限；对于函数y＝﹣x，当x＞0时，与丙给出的特征不符合．,故选：D．7．如图，△ABC中，BD⊥AB，AD＝AC，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（　　）A．B．C．D．【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得＝＝，由AD＝AC，AB＝2，可求出CE的长，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，则∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积．【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，则CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，,∴S△BCD＝•BD•CE＝×＝．故选：A．8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）A．3B．4C．5D．6【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．【解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为＝AC，由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1、CM、N为所求点，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则A′N＝CM＝AM，故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+6为最小，则A′A＝＝2，,则△AMN的周长的最小值为3+1＝8，故选：B．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．一组数据2，1，3，1，2，4的中位数是　2　．【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列：1，1，8，2，3，7，处于中间位置的两个数是2，2，这组数据的中位数是（7+2）÷2＝8．故答案为：2．10．计算：＝　5　．【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．【解答】解：原式＝＝5．故答案为：5．11．分解因式：9x2+6x+1＝　（3x+1）2　．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝（3x+1）8，故答案为：（3x+1）612．若关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝　　．【分析】根据根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝8有两个相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣2×1×k＝0，解得：k＝．故答案为：．13．如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠OBC＝40°，则∠OAC＝　25　°．,【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC＝80°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．【解答】解：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°×2＝100°，∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝100°+30°＝130°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣∠AOB）＝，故答案为：25．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，AC＝8，BD＝6　　．【分析】根据菱形的性质和勾股定理，可以求得AD的长，然后根据等面积法即可求得OE,的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，∴AD＝＝＝5，又∵OE⊥AD，∴，∴，解得OE＝，故答案为：．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是　1264　元．【分析】设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得a＝b，用a表达出W，结合二次函数的性质得到结论．【解答】解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+5a+80﹣2b＝40+80，解a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（7+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）6+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝2时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．,故答案为：1264．16．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，则＝　　．【分析】过点E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以，得到DC＝2GE；再根据△GFE∽△DFB，得＝＝，所以，即＝．【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴点E是AC的中点，∴＝，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEC＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝7FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴，∴＝，故答案为：．,三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：+|﹣6|﹣22．【分析】根据立方根的定义，绝对值的代数意义，有理数的乘方计算即可．【解答】解：原式＝2+6﹣5＝4．18．（6分）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x﹣1≥x+8，得：x≥1，解不等式x+4＜6x﹣2，得：x＞2，∴不等式组的解集为x＞5．19．（6分）解方程：﹣＝1．【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得（x+5）2﹣4＝（x+8）（x﹣1），整理得2x﹣2＝0，解得x＝1．检验：当x＝8时，（x+1）（x﹣1）＝8，所以x＝1是增根，应舍去．∴原方程无解．20．（8分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的A、,B、C、D四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）扇形统计图中，D种粽子所在扇形的圆心角是　108　°；（3）这个小区有2500人，请你估计爱吃B种粽子的人数为　500　．【分析】（1）先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢A，C，D种粽子的人数积的可到喜欢B种粽子的人数；（2）先求出D种粽子所占的百分比，然后360°×百分比即可求出D种粽子所在扇形的圆心角；（3）根据样本估计总体即可．【解答】解：（1）抽样调查的总人数：240÷40%＝600（人），喜欢B种粽子的人数为：600﹣240﹣60﹣180＝120（人），补全条形统计图，如图所示；（2）×100%＝30%，360°×30%＝108°，故答案为：108；（3）1﹣40%﹣10%﹣30%＝20%，2500×20%＝500（人），故答案为：500．,21．（10分）为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是　　；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）∵已确定甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有8种结果，∴恰好选中乙的概率为：．故答案为：．（2）画树状图如下图：共有12种等可能的结果数，其中恰好有1名女生和6名男生的结果数为8，∴P（1女5男）＝＝．∴所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．22．（10分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．,（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，且AD＝BC，根据点C是BE的中点，得到BC＝CE，等量代换得AD＝CE，又因为AD∥CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC．∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．23．（10分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案,【分析】（1）根据2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元；（2）根据题意，可以写出费用和购买A型消毒液数量的函数关系，然后根据B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，可以得到A型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用．【解答】解：（1）设A型消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元，，解得，答：A型消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元；（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（90﹣a）瓶，依题意可得：w＝4a+9（90﹣a）＝﹣2a+810，∴w随a的增大而减小，∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，∴90﹣a≥a，解得a≤67，∴当x＝67时，w取得最小值，90﹣a＝23，答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶．24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB为半径作⊙C，D为⊙C上一点，AB＝AD，AC平分∠BAD．（1）求证：AD是⊙C的切线；（2）延长AD、BC相交于点E，若S△EDC＝2S△ABC，求tan∠BAC的值．,【分析】（1）根据SAS证明△BAC≌△DAC，所以∠ADC＝∠ABC＝90°，进而CD⊥AD，所以AD是⊙C的切线；（2）易证△EDC∽△EBA，因为S△EDC＝2S△ABC，且△BAC≌△DAC，所以S△EDC：S△EBA＝1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得：DC：BA＝1：，根据正切的定义即可求出tan∠BAC的值．【解答】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC．又∵'AB＝AD，AC＝AC，∴△BAC≌△DAC（SAS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴CD⊥AD，即AD是⊙C的切线；（2）由（1）可知，∠EDC＝∠ABC＝90°，又∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA．∵S△EDC＝2S△ABC，且△BAC≌△DAC，∴S△EDC：S△EBA＝1：3，∴DC：BA＝1：．∵DC＝CB，∴CB：BA＝3：．..tan∠BAC＝＝．,25．（10分）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【分析】（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于E，先根据三角函数的定义求出AE，继而得出DE，再根据三角函数的定义求出BE，继而得出BF，根据三角函数的定义得出CF，从而得出CH的长度；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，垂足为M，先根据三角函数的定义求出AM，继而得出DM，再根据三角函数的定义求出BM，继而得出BN，利用勾股定理求出ON，从而得出OH的长．【解答】解：（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，则AE⊥BF，由cos∠BAE＝，∴cos22°＝，∴，即AE＝4.2m，∴DE＝AE﹣AD＝4.5﹣8.4＝4.8（m），由sin∠BAE＝，,∴，∴，即BE＝1.8m，∴BF＝BE+EF＝5.8+1.8＝3（m），又，∴，即CF＝3m，∴CH＝CF+HF＝CF+DE＝4+4.3＝8.1（m），即C到岸边的距离为8.1m；（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，垂足为M，由cos∠BAM＝，∴，∴，即AM＝2.88m，∴DM＝AM﹣AD＝6.88﹣0.4＝7.48（m），由sin∠BAM＝，∴，∴，即BM＝3.84m，∴BN＝BM+MN＝3.84+2.2＝5.04（m），∴＝（m），∴OH＝ON+HN＝ON+DM＝4.58，即点O到岸边的距离为4.58m．26．（12分）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y,轴交于点C（3，0）．（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．【分析】（1）把点B坐标直接代入抛物线的表达式，可求m的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点C的坐标，设直线BC的表达式，把点B和点C的坐标代入函数表达式即可；（2）过点A作直线BC的平行线AP1，联立直线AP1与抛物线表达式可求出P1的坐标；设出直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线P3P4，联立直线表达式与抛物线表达式，可求出点P的坐标；（3）取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，可得△CDE≌△DAF，求出点D的坐标，联立求出点Q的坐标．【解答】解：（1）将B（3，0）代入y＝mx6+（m2+3）x﹣（6m+9），化简得，m2+m＝7，则m＝0（舍）或m＝﹣1，∴m＝﹣3，∴y＝﹣x2+4x﹣8．∴C（0，﹣3），设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，将代入B（6，0），﹣3），，解得，，∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3．（2）如图，过点A作AP3∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC,个单位3P3．由（1）得直线BC的表达式为y＝x﹣3，A（1∴直线AG的表达式为y＝x﹣6，联立，解得，或，∴P8（2，1），由直线AG的表达式可得G（﹣3，0），∴GC＝2，CH＝2，∴直线P3P4的表达式为：y＝x﹣5，联立，解得，，或，，∴P2（，），P6（，），；综上可得，符合题意的点P的坐标为：（2，（，），（，）；（3）如图，取点Q使∠ACQ＝45°，过点A作AD⊥CQ于点D，过点C作CE⊥DF,于点E，则△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∴△CDE≌△DAF（AAS），∴AF＝DE，CE＝DF．设DE＝AF＝a，则CE＝DF＝a+1，由OC＝2，则DF＝3﹣a，∴a+1＝3﹣a，解得a＝1．∴D（2，﹣7），﹣3），∴直线CD对应的表达式为y＝x﹣3，设Q（n，n﹣3）2+3x﹣3，∴n﹣3＝﹣n2+2n﹣3，整理得n2﹣n＝0．又n≠4，则n＝．∴Q（，﹣）．27．（14分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE＝1，如图1．求CF的长；,（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，求点F所经过的路径长；（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，其中点F、G都在直线AE上，如图4．当点E到达点B时　π　，点G所经过的路径长为　π　．【分析】（1）由题意可得△ABE≌△CBF，则CF＝AE＝1；（2）点E在点C处时，CF＝AC，点E在A处时，点F与点C重合．则点F运动的路径长＝AC＝3；（3）类比（2）的思路可知，点M在C处时，HN＝CD＝，点M在D处时，点N与点H重合．则点N所经过的路径的长＝CD＝；（4）类比（2）（3）可得，连接AC，BD，相交于点O，取AB的中点M，BC的中点N，连接MF，NH，当点E在B处时，点F，B，H重合，点G和点B重合；当点E在点C处时，点F和点O重合，点G与点C重合．【解答】解：（1）如图，∵△ABC和△BEF是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BF，∴∠ABE+∠CBE＝∠CBF+∠CBE，,∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴CF＝AE＝1；（2）如图2，连接CF，由（1）△ABE≌△CBF，∴CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠BCF＝∠ABC，∴CF∥AB，又点E在点C处时，CF＝AC，点E在A处时，点F与点C重合．∴点F运动的路径长＝AC＝2．（3）如图3，取BC的中点H，∴BH＝BC，∴BH＝AB，∵CD⊥AB，∴BD＝AB，∴BH＝BD，∵△ABC和△BMN是等边三角形，,∴BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°，∴∠DBM+∠MBH＝∠HBN+∠MBH，∴∠DBM＝∠HBN，∴△DBM≌△HBN（SAS），∴HN＝DM，∠BHN＝∠BDM＝90°，∴NH⊥BC，又点M在C处时，HN＝CD＝，点M在D处时，点N与点H重合．∴点N所经过的路径的长＝CD＝；（4）如图，连接AC，相交于点O，BC的中点N，NH，∴MF＝BM＝BN＝AB，点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上；∵∠ABC＝∠FBH＝90°，∴∠ABC﹣∠FBC＝∠FBH﹣∠FBC，即∠ABF＝∠CBH，∴△MBF≌△NBH（SAS），∴NH＝MF＝BM＝BN，∴点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上；∴当点E在B处时，点F，B，点G和点B重合；当点E在点C处时，点F和点O重合；∴点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上；∴点H所经过的路径长＝＝π；点G所经过的路径长＝＝．,故答案为：，．