2021年四川省乐山市中考数学试卷
ID：30383
2021-09-18
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2021年初中毕业生学业考试数学试卷四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1．（3分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作（ ）A．5元B．﹣5元C．﹣3元D．7元2．（3分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）类型健康亚健康不健康数据（人）3271A．32B．7C．D．3．（3分）某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为（ ）A．（元）B．（元）C．（元）D．（元）4．（3分）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）A．120°B．130°C．140°D．150°5．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（ ）A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝2x
6．（3分）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是（ ）A．B．C．D．7．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）A．3B．C．2D．8．（3分）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（ ）A．B．C．2D．9．（3分）如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（ ）
A．4B．C．D．510．（3分）如图，直线l1与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足∠APB＝∠ADB，则m+n的值为（ ）A．3﹣B．3或C．3+或3﹣D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11．（3分）（2021﹣π）0＝ ．12．（3分）因式分解：4a2﹣9＝ ．13．（3分）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳定？ （填“甲”或“乙”）14．（3分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A
点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝ 米．（结果保留根号）15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 ．16．（3分）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17．（9分）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1．18．（9分）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB．
19．（9分）已知﹣＝，求A、B的值．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．21．（10分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．22．（10分）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．
（1）求k的值；（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23．（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．24．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝ ；（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
2021年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1．（3分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作（ ）A．5元B．﹣5元C．﹣3元D．7元【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作﹣5元．故选：B．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．（3分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）类型健康亚健康不健康数据（人）3271A．32B．7C．D．【分析】根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率＝频数÷总数，进而得出答案．【解答】解：∵抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有32人，∴测试结果为“健康”的频率是：＝．故选：D．【点评】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的求法是解题关键．3．（3分）某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为（ ）A．（元）B．（元）C．（元）D．（元）【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8，即可解答．
【解答】解：根据题意，得：×8＝（元），故选：A．【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克商品的价格．4．（3分）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）A．120°B．130°C．140°D．150°【分析】先求出α的对顶角等于50°，再根据三角形的外角性质求出β的度数．【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故选：C．【点评】本题考查了对顶角和三角形外角的性质，比较简单，属于基础题．5．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（ ）
A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝2x【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出A（2，0），B（0，4），则AB的中点为（1，2），所以l2经过AB的中点，直线l2把△AOB平分，然后利用待定系数法求l2的解析式；【解答】解：如图，当y＝0，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0）；当x＝0，y＝﹣2x+4＝4，则B（0，4），∴AB的中点坐标为（1，2），∵直线l2把△AOB面积平分∴以l2经过AB的中点；∴直线l2过AB的中点，设直线l2的解析式为y＝kx，把（1，2）代入得2＝k，解得k＝2，∴l2的解析式为y＝2x，故选：D．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线l2过AB的中点是解题的关键．6．（3分）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是（ ）A．B．C．D．【分析】顺时针旋转90°后，找到从正面看到的图形即可．【解答】解：顺时针旋转90°后，从正面看第一列有一层，第二列有两层，故选：C．【点评】本题考查了三视图以及旋转的知识，考查了学生对立体图形的空间想象能力．7．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“
来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）A．3B．C．2D．【分析】分别求出阴影部分平行四边形，三角形的面积可得结论．【解答】解：由题意，阴影部分的平行四边形的面积＝2×1＝2，阴影部分的三角形的面积＝×2×1＝1，∴阴影部分的面积＝2+1＝3，故选：A．【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（3分）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（ ）A．B．C．2D．【分析】设AC交BD于O，根据已知可得AC＝2，而PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，即可得到答案．【解答】解：设AC交BD于O，如图：
∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，Rt△AOD中，OD＝AD＝1，OA＝＝，∴AC＝2OA＝2，Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP，Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，∴PE﹣PF＝，故选：B．【点评】本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC，把PE﹣PF转化为AC．9．（3分）如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（ ）A．4B．C．D．5【分析】设点P的坐标为（x，﹣x+6），由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），则AN＝＝，由AB＝10＝BN+AN，得到10＝+2+x，进而求解．【解答】解：设⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，连接PM、PN，
设圆的半径为x，则PN＝PM＝x，由题意知，OC＝AO＝6，则直线BA与y轴的夹角为45°，则CM＝MP＝x，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣x+6，则点P的坐标为（x，﹣x+6），由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），则AN＝＝，∵⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，故BN＝BM＝BC+CM＝2+x，在Rt△ABO中，OA＝6，OB＝8，则AB＝10＝BN+AN，即10＝+2+x，解得x＝1，故点P的坐标为（1，5），将点P的坐标代入y＝ax2得5＝a，故选：D．【点评】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．10．（3分）如图，直线l1与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足∠APB＝∠ADB，则m+n的值为（ ）
A．3﹣B．3或C．3+或3﹣D．3【分析】如图，作△ABD的外接圆⊙J,交直线l2于P,连接AP,PB,则∠APB＝∠ADB满足条件。想办法求出点P的坐标，可得结论。【解答】解：如图，作△ABD的外接圆⊙J,交直线l2于P,连接AP,PB,则∠APB＝∠ADB满足条件。由题意A(1,3),B(3,1),∵AC＝BC,∴C(2,2),∵CD⊥x轴，∴D(2,0),∵AD＝＝,AB＝＝2,BD＝＝,∴AD2＝AB2+BD2,∴∠ABD是直角三角形，∴J是AD的中点，J(,),∵直线OC的解析式为y＝x,∴P(m,n),∵PJ＝JA＝,OJ＝,∴OP＝﹣,∴m＝﹣,∴m＝n＝﹣,∴m+n＝3﹣,此时P(﹣,﹣),
根据对称性可知，点P关于点C的对称点P′(+,+),∴m+n＝3+,综上所述，m+n的值为3+或3﹣，故选：C．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11．（3分）（2021﹣π）0＝ 1 ．【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．【解答】解：（2021﹣π）0＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．12．（3分）因式分解：4a2﹣9＝ （2a+3）（2a﹣3） ．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）．故答案为：（2a+3）（2a﹣3）．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．13．（3分）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳定？ 甲 （填“甲”或“乙”）【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案．【解答】解：甲的平均成绩为＝＝7，乙的平均成绩为＝＝7，∴甲的方差为s甲2＝1.2，
乙的方差为s乙2＝2，∵s甲2＜s乙2，∴甲的成绩较稳定．故答案为：甲．【点评】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差．14．（3分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝ 米．（结果保留根号）【分析】设石碑的高度AB的长为x米，Rt△ABC和Rt△ABD中，分别用含x的代数式表示BC和BD，用CD＝5列方程，即可解得x，得到答案．【解答】解：设石碑的高度AB的长为x米，Rt△ABC中，BC＝＝x，Rt△ABD中，BD＝＝，∵CD＝5，∴BC﹣BD＝5，即x﹣＝5，解得x＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是用含x的代数式表示BC和BD．15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB
上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 2或 ．【分析】分∠ABC＝60、∠ABC＝30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【解答】解：（1）当∠ABC＝60°时，则BC＝AB＝2，当点P在线段AB上时，∵∠PCB＝30°，故CP⊥AB，则PC＝BCcos30°＝2×＝；当点P（P′）在AB的延长线上时，∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，则△P′BC为的等腰三角形则BP′＝BC＝2，（2）当∠ABC＝30°时，同理可得，PC＝2；故答案为2或．【点评】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．16．（3分）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．
【分析】当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到y＝﹣（n﹣3）（n+2），进而求解．【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，故BN最小，即BG最大时，tanα最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，则AM＝4，GC＝n+2，CM＝4﹣n，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴，即，∴y＝﹣（n﹣3）（n+2），
∵﹣＜0，故当n＝（3﹣2）＝时，y取得最大值，故n＝，故答案为：．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的性质，解直角三角形等，解题的关键是确定sinα的值最大时，即BG最大，题目综合性强，难度适中．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17．（9分）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1．【分析】根据题意列出关于x的一元一次不等式﹣＞1，先去分母，然后通过移项、合并同类项、化系数为1进行解答即可．【解答】解：依题意得：﹣＞1，去分母，得：3（x+3）﹣2（2x﹣1）＞6，去括号，得：3x+9﹣4x+2＞6，移项，得：3x﹣4x＞6﹣2﹣9，合并同类项，得：﹣x＞﹣5，系数化为1，得：x＜5．【点评】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．18．（9分）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB．【分析】先证明出△AOB≌△COD，进而得出OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出结论．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论的关键．19．（9分）已知﹣＝，求A、B的值．【分析】根据异分母分式的加减法法则把等式的左边进行计算，根据题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：﹣＝＝＝，∴，解得．【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．【分析】（1）由△＞0即可列不等式得到答案；（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣；（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．【点评】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．21．（10分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．【分析】（1）由加权平均数和众数的定义求解即可；（2）把零花钱多于15元的列式计算即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）这组数据的平均数＝
＝20.5（元），其中20元出现的次数最多，∴这组数据的众数为20元；（2）调查的20人中，身上的零花钱多于15元的有12人，估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：1000××20×20%+1000××25×20%+1000××30×20%+1000××40×20%＝3150（元）；（3）把捐款最多的两人记为A、B，另一个学校选出的两人记为C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，∴两人来自不同学校的概率为＝．【点评】本题考查了利用列表或树状图求概率、条形统计图、加权平均数以及众数等知识；用的的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（10分）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．（1）求k的值；（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．【分析】（1）由题意求得△POB的面积为2，作PM⊥y轴于M,证得△PBM∽ABO
,即可求得△PBM的面积为1，从而求得S△POM＝3,根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值；（2）由△PBM∽ABO,求得OA＝2,得到A为（2,0）,把x＝﹣1代入反比例函数解析式求得P的坐标，根据待定系数法求得直线AB解析式，然后解析式联立，解方程组求得Q的坐标，最后根据S△POQ＝S△POA+S△QOA即可求得。【解答】解：（1）∵AB＝2BP，且△AOB的面积为4，∴△POB的面积为2，作PM⊥y轴于M,∴PM∥OA,∴△PBM∽△ABO,∴＝()2,即,∴△PBM的面积为1，∴S△POM＝1+2＝3,∵S△POM＝|k|,∴|k|＝6，∵k＜0,∴k＝﹣6;(2)∵点P的横坐标为﹣1,∴PM＝1,∵△PBM∽△ABO,∴＝,即＝,∴OA＝2,∴A(2,0),把x＝﹣1代入y＝﹣得，y＝6,∴P(﹣1,6),设直线AB为y＝mx+n,把P、A的坐标代入得,解得,
∴直线AB为y＝﹣2x+4,解得或,∴Q(3,﹣2),∴S△POQ＝S△POA+S△QOA＝×2×6+×2＝8．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出△POM的面积；（2）求得Q点的坐标．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23．（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，由C（20，45）求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥，由反比例函数y＝可得y≥36时，x≤25，根据25﹣＝＞17，即可得到答案．【解答】解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝，将C（20，45）代入得：45＝，解得k＝900，∴反比例函数的解析式为y＝，当x＝45时，y＝＝20，∴D（45，20），∴A（0，20），即A对应的指标值为20；（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：，解得，∴AB的解析式为y＝x+20，当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，由（1）得反比例函数的解析式为y＝，当y≥36时，≥36，解得x≤25，
∴≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25﹣＝＞17，∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．【点评】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x＜10和20≤x≤45时的解析式．24．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，由CD＝DE，OC＝OA，可得∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，而ED⊥AD，可得∠OAC+∠E＝90°，故可证∠DCO＝90°，CD是⊙O的切线；（2）连接BC，设⊙O的半径为x，由tan∠DCE＝2，可得＝2，从而可用x的代数式表示DE和CD，再根据CD是⊙O的切线用切割线定理列方程，即可解得⊙O的半径．【解答】解：（1）连接OC，如图：∵CD＝DE，OC＝OA，∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，∴∠OCA+∠DCE＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接BC，如图：∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠E，∵tan∠DCE＝2，∴tanE＝2，∵ED⊥AD，Rt△EDA中，＝2，设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，∵BD＝1，∴AD＝2x+1，∴＝2，∴ED＝x+＝CD，∵CD是⊙O的切线，∴CD2＝BD•AD，∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、切割线定理的应用等，解题的关键是用切割线定理列方程．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝ 30° ；（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．【分析】（1）由AB＝AC，∠C＝60°，可得∠B＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，可得DE⊥AB，即可得到答案；（2）①根据题意补全图形即可；②由已知得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝60°，从而可得∠EAB＝∠DAC，△EAB≌△DAC（SAS），即可得CD＝BE；（3）连接AE，根据已知可证△ABC∽△ADE，∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，从而可得△EAB≌△DAC，CD＝BE，又＝＝k，即可得到AC＝k（BD+BE）．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴DE⊥AB，
∴∠BDE＝180°﹣60°﹣90°＝30°；故答案为：30°；（2）①补全图形如下：②CD＝BE，证明如下：∵AB＝AC，∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠EAD＝60°，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴CD＝BE；（3）AC＝k（BD+BE），证明如下：连接AE，如图：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠C，∴∠ABC＝∠ADE，∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC，＝，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，∵AB＝AC，∴AE＝AD，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴CD＝BE，∴BC＝BD+CD＝BD+BE，而＝＝k，∴＝k，即AC＝k（BD+BE）．【点评】本题考查等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．【分析】（1）把A,B代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论．（2）由题意，x＝1或x＝3时，y取得最大值1,由此构建方程求解即可．（3）把问题转化为不等式组，可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，﹣），∴,∴b＝﹣2a﹣1(a＞0)．(2)∵二次函数y＝ax2﹣(2a+1)x+,a＞0,在1≤x≤3时，y的最大值为1,∴x＝1时，y＝1x＝3时，y＝1,∴1＝a﹣(2a+1)+或1＝9a﹣3(2a+1)+,解得a＝﹣(舍弃）或a＝．∴a＝．(3)∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′,∴A′(2,),B′(4,﹣)．∵线段A′B′与抛物线y＝ax2﹣(2a+1)x++4a仅有一个交点,∴,解得，≤a≤．或不等式组无解，∴≤a≤．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．
2021年初中毕业生学业考试数学试卷四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1．（3分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作（ ）A．5元B．﹣5元C．﹣3元D．7元2．（3分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）类型健康亚健康不健康数据（人）3271A．32B．7C．D．3．（3分）某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为（ ）A．（元）B．（元）C．（元）D．（元）4．（3分）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）A．120°B．130°C．140°D．150°5．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（ ）A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝2x
6．（3分）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是（ ）A．B．C．D．7．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）A．3B．C．2D．8．（3分）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（ ）A．B．C．2D．9．（3分）如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（ ）
A．4B．C．D．510．（3分）如图，直线l1与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足∠APB＝∠ADB，则m+n的值为（ ）A．3﹣B．3或C．3+或3﹣D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11．（3分）（2021﹣π）0＝ ．12．（3分）因式分解：4a2﹣9＝ ．13．（3分）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳定？ （填“甲”或“乙”）14．（3分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A
点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝ 米．（结果保留根号）15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 ．16．（3分）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17．（9分）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1．18．（9分）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB．
19．（9分）已知﹣＝，求A、B的值．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．21．（10分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．22．（10分）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．
（1）求k的值；（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23．（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．24．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝ ；（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．
2021年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.1．（3分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作（ ）A．5元B．﹣5元C．﹣3元D．7元【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作+2，支出5元记作﹣5元．故选：B．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．（3分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）类型健康亚健康不健康数据（人）3271A．32B．7C．D．【分析】根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率＝频数÷总数，进而得出答案．【解答】解：∵抽取了40名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有32人，∴测试结果为“健康”的频率是：＝．故选：D．【点评】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的求法是解题关键．3．（3分）某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为（ ）A．（元）B．（元）C．（元）D．（元）【分析】先求出1千克商品的价格，再乘以8，即可解答．
【解答】解：根据题意，得：×8＝（元），故选：A．【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克商品的价格．4．（3分）如图，已知直线l1、l2、l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为（ ）A．120°B．130°C．140°D．150°【分析】先求出α的对顶角等于50°，再根据三角形的外角性质求出β的度数．【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故选：C．【点评】本题考查了对顶角和三角形外角的性质，比较简单，属于基础题．5．（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（ ）
A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝2x【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出A（2，0），B（0，4），则AB的中点为（1，2），所以l2经过AB的中点，直线l2把△AOB平分，然后利用待定系数法求l2的解析式；【解答】解：如图，当y＝0，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0）；当x＝0，y＝﹣2x+4＝4，则B（0，4），∴AB的中点坐标为（1，2），∵直线l2把△AOB面积平分∴以l2经过AB的中点；∴直线l2过AB的中点，设直线l2的解析式为y＝kx，把（1，2）代入得2＝k，解得k＝2，∴l2的解析式为y＝2x，故选：D．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线l2过AB的中点是解题的关键．6．（3分）如图是由4个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转90°后，其主视图是（ ）A．B．C．D．【分析】顺时针旋转90°后，找到从正面看到的图形即可．【解答】解：顺时针旋转90°后，从正面看第一列有一层，第二列有两层，故选：C．【点评】本题考查了三视图以及旋转的知识，考查了学生对立体图形的空间想象能力．7．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“
来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（ ）A．3B．C．2D．【分析】分别求出阴影部分平行四边形，三角形的面积可得结论．【解答】解：由题意，阴影部分的平行四边形的面积＝2×1＝2，阴影部分的三角形的面积＝×2×1＝1，∴阴影部分的面积＝2+1＝3，故选：A．【点评】本题考查七巧板，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（3分）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（ ）A．B．C．2D．【分析】设AC交BD于O，根据已知可得AC＝2，而PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，即可得到答案．【解答】解：设AC交BD于O，如图：
∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，Rt△AOD中，OD＝AD＝1，OA＝＝，∴AC＝2OA＝2，Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP，Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，∴PE﹣PF＝，故选：B．【点评】本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC，把PE﹣PF转化为AC．9．（3分）如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（ ）A．4B．C．D．5【分析】设点P的坐标为（x，﹣x+6），由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），则AN＝＝，由AB＝10＝BN+AN，得到10＝+2+x，进而求解．【解答】解：设⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，连接PM、PN，
设圆的半径为x，则PN＝PM＝x，由题意知，OC＝AO＝6，则直线BA与y轴的夹角为45°，则CM＝MP＝x，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣x+6，则点P的坐标为（x，﹣x+6），由点P、A的坐标得，PA＝（6﹣x），则AN＝＝，∵⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，故BN＝BM＝BC+CM＝2+x，在Rt△ABO中，OA＝6，OB＝8，则AB＝10＝BN+AN，即10＝+2+x，解得x＝1，故点P的坐标为（1，5），将点P的坐标代入y＝ax2得5＝a，故选：D．【点评】本题为几何和函数综合题，涉及一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．10．（3分）如图，直线l1与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足∠APB＝∠ADB，则m+n的值为（ ）
A．3﹣B．3或C．3+或3﹣D．3【分析】如图，作△ABD的外接圆⊙J,交直线l2于P,连接AP,PB,则∠APB＝∠ADB满足条件。想办法求出点P的坐标，可得结论。【解答】解：如图，作△ABD的外接圆⊙J,交直线l2于P,连接AP,PB,则∠APB＝∠ADB满足条件。由题意A(1,3),B(3,1),∵AC＝BC,∴C(2,2),∵CD⊥x轴，∴D(2,0),∵AD＝＝,AB＝＝2,BD＝＝,∴AD2＝AB2+BD2,∴∠ABD是直角三角形，∴J是AD的中点，J(,),∵直线OC的解析式为y＝x,∴P(m,n),∵PJ＝JA＝,OJ＝,∴OP＝﹣,∴m＝﹣,∴m＝n＝﹣,∴m+n＝3﹣,此时P(﹣,﹣),
根据对称性可知，点P关于点C的对称点P′(+,+),∴m+n＝3+,综上所述，m+n的值为3+或3﹣，故选：C．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，三角形的外接圆，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.11．（3分）（2021﹣π）0＝ 1 ．【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．【解答】解：（2021﹣π）0＝1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．12．（3分）因式分解：4a2﹣9＝ （2a+3）（2a﹣3） ．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：4a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）．故答案为：（2a+3）（2a﹣3）．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．13．（3分）如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩（环数）制作的折线统计图．你认为谁的成绩较为稳定？ 甲 （填“甲”或“乙”）【分析】方差小的较稳定，分别求出甲、乙方差，即可得到答案．【解答】解：甲的平均成绩为＝＝7，乙的平均成绩为＝＝7，∴甲的方差为s甲2＝1.2，
乙的方差为s乙2＝2，∵s甲2＜s乙2，∴甲的成绩较稳定．故答案为：甲．【点评】本题考查方差的应用，解题的关键是求出甲、乙的方差．14．（3分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度AB的长＝ 米．（结果保留根号）【分析】设石碑的高度AB的长为x米，Rt△ABC和Rt△ABD中，分别用含x的代数式表示BC和BD，用CD＝5列方程，即可解得x，得到答案．【解答】解：设石碑的高度AB的长为x米，Rt△ABC中，BC＝＝x，Rt△ABD中，BD＝＝，∵CD＝5，∴BC﹣BD＝5，即x﹣＝5，解得x＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是用含x的代数式表示BC和BD．15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB
上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为 2或 ．【分析】分∠ABC＝60、∠ABC＝30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【解答】解：（1）当∠ABC＝60°时，则BC＝AB＝2，当点P在线段AB上时，∵∠PCB＝30°，故CP⊥AB，则PC＝BCcos30°＝2×＝；当点P（P′）在AB的延长线上时，∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，则△P′BC为的等腰三角形则BP′＝BC＝2，（2）当∠ABC＝30°时，同理可得，PC＝2；故答案为2或．【点评】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．16．（3分）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．
【分析】当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到y＝﹣（n﹣3）（n+2），进而求解．【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，故BN最小，即BG最大时，tanα最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，则AM＝4，GC＝n+2，CM＝4﹣n，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴，即，∴y＝﹣（n﹣3）（n+2），
∵﹣＜0，故当n＝（3﹣2）＝时，y取得最大值，故n＝，故答案为：．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的性质，解直角三角形等，解题的关键是确定sinα的值最大时，即BG最大，题目综合性强，难度适中．三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.17．（9分）当x取何正整数值时，代数式与的值的差大于1．【分析】根据题意列出关于x的一元一次不等式﹣＞1，先去分母，然后通过移项、合并同类项、化系数为1进行解答即可．【解答】解：依题意得：﹣＞1，去分母，得：3（x+3）﹣2（2x﹣1）＞6，去括号，得：3x+9﹣4x+2＞6，移项，得：3x﹣4x＞6﹣2﹣9，合并同类项，得：﹣x＞﹣5，系数化为1，得：x＜5．【点评】本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．18．（9分）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB．【分析】先证明出△AOB≌△COD，进而得出OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出结论．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论的关键．19．（9分）已知﹣＝，求A、B的值．【分析】根据异分母分式的加减法法则把等式的左边进行计算，根据题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：﹣＝＝＝，∴，解得．【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．【分析】（1）由△＞0即可列不等式得到答案；（2）根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣；（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．【点评】本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．21．（10分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都愿捐出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．【分析】（1）由加权平均数和众数的定义求解即可；（2）把零花钱多于15元的列式计算即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）这组数据的平均数＝
＝20.5（元），其中20元出现的次数最多，∴这组数据的众数为20元；（2）调查的20人中，身上的零花钱多于15元的有12人，估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：1000××20×20%+1000××25×20%+1000××30×20%+1000××40×20%＝3150（元）；（3）把捐款最多的两人记为A、B，另一个学校选出的两人记为C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有8种，∴两人来自不同学校的概率为＝．【点评】本题考查了利用列表或树状图求概率、条形统计图、加权平均数以及众数等知识；用的的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（10分）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．（1）求k的值；（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．【分析】（1）由题意求得△POB的面积为2，作PM⊥y轴于M,证得△PBM∽ABO
,即可求得△PBM的面积为1，从而求得S△POM＝3,根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值；（2）由△PBM∽ABO,求得OA＝2,得到A为（2,0）,把x＝﹣1代入反比例函数解析式求得P的坐标，根据待定系数法求得直线AB解析式，然后解析式联立，解方程组求得Q的坐标，最后根据S△POQ＝S△POA+S△QOA即可求得。【解答】解：（1）∵AB＝2BP，且△AOB的面积为4，∴△POB的面积为2，作PM⊥y轴于M,∴PM∥OA,∴△PBM∽△ABO,∴＝()2,即,∴△PBM的面积为1，∴S△POM＝1+2＝3,∵S△POM＝|k|,∴|k|＝6，∵k＜0,∴k＝﹣6;(2)∵点P的横坐标为﹣1,∴PM＝1,∵△PBM∽△ABO,∴＝,即＝,∴OA＝2,∴A(2,0),把x＝﹣1代入y＝﹣得，y＝6,∴P(﹣1,6),设直线AB为y＝mx+n,把P、A的坐标代入得,解得,
∴直线AB为y＝﹣2x+4,解得或,∴Q(3,﹣2),∴S△POQ＝S△POA+S△QOA＝×2×6+×2＝8．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出△POM的面积；（2）求得Q点的坐标．五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.23．（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，由C（20，45）求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥，由反比例函数y＝可得y≥36时，x≤25，根据25﹣＝＞17，即可得到答案．【解答】解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝，将C（20，45）代入得：45＝，解得k＝900，∴反比例函数的解析式为y＝，当x＝45时，y＝＝20，∴D（45，20），∴A（0，20），即A对应的指标值为20；（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：，解得，∴AB的解析式为y＝x+20，当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，由（1）得反比例函数的解析式为y＝，当y≥36时，≥36，解得x≤25，
∴≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25﹣＝＞17，∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．【点评】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x＜10和20≤x≤45时的解析式．24．（10分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，由CD＝DE，OC＝OA，可得∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，而ED⊥AD，可得∠OAC+∠E＝90°，故可证∠DCO＝90°，CD是⊙O的切线；（2）连接BC，设⊙O的半径为x，由tan∠DCE＝2，可得＝2，从而可用x的代数式表示DE和CD，再根据CD是⊙O的切线用切割线定理列方程，即可解得⊙O的半径．【解答】解：（1）连接OC，如图：∵CD＝DE，OC＝OA，∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，∴∠OCA+∠DCE＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接BC，如图：∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠E，∵tan∠DCE＝2，∴tanE＝2，∵ED⊥AD，Rt△EDA中，＝2，设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，∵BD＝1，∴AD＝2x+1，∴＝2，∴ED＝x+＝CD，∵CD是⊙O的切线，∴CD2＝BD•AD，∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆综合知识，涉及切线判定、锐角三角函数、切割线定理的应用等，解题的关键是用切割线定理列方程．
六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，则∠BDE＝ 30° ；（2）若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，若＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．【分析】（1）由AB＝AC，∠C＝60°，可得∠B＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，可得DE⊥AB，即可得到答案；（2）①根据题意补全图形即可；②由已知得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝60°，从而可得∠EAB＝∠DAC，△EAB≌△DAC（SAS），即可得CD＝BE；（3）连接AE，根据已知可证△ABC∽△ADE，∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，从而可得△EAB≌△DAC，CD＝BE，又＝＝k，即可得到AC＝k（BD+BE）．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴DE⊥AB，
∴∠BDE＝180°﹣60°﹣90°＝30°；故答案为：30°；（2）①补全图形如下：②CD＝BE，证明如下：∵AB＝AC，∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠EAD＝60°，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴CD＝BE；（3）AC＝k（BD+BE），证明如下：连接AE，如图：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠C，∴∠ABC＝∠ADE，∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC，＝，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，∵AB＝AC，∴AE＝AD，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴CD＝BE，∴BC＝BD+CD＝BD+BE，而＝＝k，∴＝k，即AC＝k（BD+BE）．【点评】本题考查等边三角形性质及应用，解题的关键是掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代数式表示）；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c在1≤x≤3时，y的最大值为1，求a的值；（3）将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′．若线段A′B′与抛物线y＝ax2+bx+c+4a﹣1仅有一个交点，求a的取值范围．【分析】（1）把A,B代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论．（2）由题意，x＝1或x＝3时，y取得最大值1,由此构建方程求解即可．（3）把问题转化为不等式组，可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，经过点A（0，），B（2，﹣），∴,∴b＝﹣2a﹣1(a＞0)．(2)∵二次函数y＝ax2﹣(2a+1)x+,a＞0,在1≤x≤3时，y的最大值为1,∴x＝1时，y＝1x＝3时，y＝1,∴1＝a﹣(2a+1)+或1＝9a﹣3(2a+1)+,解得a＝﹣(舍弃）或a＝．∴a＝．(3)∵线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′,∴A′(2,),B′(4,﹣)．∵线段A′B′与抛物线y＝ax2﹣(2a+1)x++4a仅有一个交点,∴,解得，≤a≤．或不等式组无解，∴≤a≤．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．
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