模块卷(二)时间:120分钟　分值:150分集合、常用逻辑用语、函数、导数、不等式一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020课标Ⅰ理,2,5分)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=(　　)A.-4　　B.-2　　C.2　　D.4答案　B　由已知可得A={x|-2≤x≤2},B=,又∵A∩B={x|-2≤x≤1},∴-=1,∴a=-2.故选B.2.命题“∀n∈N*,∃x0∈R,使得n2<x0”的否定形式是　(　　)A.∀n∈N*,∃x0∈R,使得n2≥x0B.∀n∈N*,∀x0∈R,使得n2≥x0C.∃n∈N*,∃x0∈R,使得n2≥x0D.∃n∈N*,∀x∈R,使得n2≥x答案　D　先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选D.3.(2020河南洛阳二模,9)函数f(x)=lnx-ax在x=2处的切线与直线ax-y-1=0平行,则实数a=(　　)A.-1　　B.　　C.　　D.1答案　B　对函数求导,得f'(x)=-a,切线斜率k=f'(2)=-a=a,所以a=.故选B. 4.(2020北京东城一模,4)下列函数中,与函数y=的定义域和值域都相同的是(　　)A.y=x2+2x,x>0　　B.y=|x+1|C.y=10-x　　D.y=x+答案　C　本题考查函数的定义域与值域,考查学生灵活运用函数的三要素解决问题的能力,体现数学运算的核心素养.函数y=的定义域是R,值域是(0,+∞).对于A选项,函数y=x2+2x,x>0的定义域与值域都是(0,+∞),故A选项不符合题意;对于B选项,函数y=|x+1|的定义域是R,值域是[0,+∞),故B选项不符合题意;对于C选项,函数y=10-x的定义域是R,值域是(0,+∞),故C选项符合题意;对于D选项,函数y=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故D选项不符合题意.故选C.5.(2021届浙江五校联考)设A、B、C三点不共线,则“与的夹角是钝角”是“|+|<||”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案　C　设与的夹角是θ,||=c,||=b,||=a,已知A、B、C三点不共线,则“|+|<||”⇔c2+b2+2bccosθ<a2⇔cosθ<0,且θ≠π⇔与的夹角是钝角.∴“与的夹角是钝角”是“|+|<||”的充要条件.故选C.6.已知偶函数y=f(x),x∈R满足f(x)=x2-3x(x≥0).若函数g(x)=则y=f(x)-g(x)的零点个数为(　　)A.1　　B.3　　C.2　　D.4答案　B　本题考查分段函数零点个数的判断.y=f(x)-g(x)的零点个数即为方程f(x)=g(x)的根的个数,即函数y=f(x)和y=g(x)图象的交点个数,作出两函数图象,如图所示,由图象可知共有3个交 点,故选B.7.(2019黑龙江牡丹江一模,8)设函数f(x)=+a,若f(x)为奇函数,则不等式f(x)>-的解集为(　　)A.(0,ln2)　　B.(-∞,ln2)C.(-∞,ln3)　　D.(0,ln3)答案　C　函数f(x)=+a的定义域为R,因为f(x)为奇函数,所以有f(0)=+a=0,解得a=-,则f(x)=-.由y=ex+1为增函数,得f(x)=-在R上为减函数,且f(ln3)=-=-,则f(x)>-⇒f(x)>f(ln3)⇒x<ln3,即不等式的解集为(-∞,ln3),故选C.8.(2020湖南长沙明德中学月考,11)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=ex(2x+1)+f(x),f(0)=-2,则不等式f(x)<4ex的解集为(　　)A.(-2,3)　　B.(-3,2)C.(-∞,-3)∪(2,+∞)　　D.(-∞,-2)∪(3,+∞)答案　B　令G(x)=,则G'(x)==2x+1,∴可设G(x)=x2+x+c,∵G(0)=f(0)=-2,∴c=-2,∴G(x)==x2+x-2,则f(x)<4ex等价于<4,即x2+x-2<4,解得-3<x<2,所以不等式的解集为(-3,2).故选B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分. 9.(2020山东百师联盟测试五,1)下列命题是真命题的是(　　)A.若ab>0,a>b,则<B.若a,b∈R,则a(a-b)≥(a-2b)b恒成立C.若>,则ab>b2D.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd>0答案　ABD　ab>0,则>0,又因为a>b,所以<,故A正确.a,b∈R,a(a-b)-(a-2b)b=a2-ab-ab+2b2=(a-b)2+b2≥0,即a(a-b)≥(a-2b)b,故B正确.>,当a=1,b=0时,ab=b2,故C不正确.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd>0,D正确.故选ABD.10.(2021届广东珠海一中模拟)已知f(x)是可导的函数,且f'(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则下列不等关系正确的是(　　)A.f(1)<ef(0),f(2020)<e2020f(0)B.f(1)>ef(0),f(1)>e2f(-1)C.f(1)<ef(0),f(1)<e2f(-1)D.f(1)>ef(0),f(2020)>e2020f(0)答案　AC　设g(x)=,则g'(x)=,∵f'(x)<f(x),∴g'(x)<0,即g(x)在R上单调递减,∴g(1)<g(0),即<,即f(1)<ef(0),g(2020)<g(0),即<,即f(2020)<e2020f(0),g(1)<g(-1),即<,即f(1)<e2f(-1). ∴选项A和C正确,选项B和D错误.故选AC.11.(2021届湖北荆州中学模拟)关于函数f(x)=的性质,下列命题中正确的是(　　)A.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)的值域为(0,+∞)C.方程f(x)=x有且只有一个实根D.函数f(x)的图象是中心对称图形答案　ACD　函数f(x)=的定义域为R,所以A正确;函数y=4x的值域为(0,+∞),所以0<<,故函数f(x)的值域是,所以B不正确;如图,作出函数f(x)的图象和直线y=x,可知方程f(x)=x有且只有一个实根,所以C正确;因为f(x+1)+f(-x)=+=+=,∴f(x)的图象关于点对称,所以D正确.故选ACD.12.(2021届海南华侨中学模拟)已知函数f(x)=ex+e-x+|x|.则下面结论正确的是(　　)A.f(x)是奇函数B.f(x)在[0,+∞)上为增函数C.若x≠0,则f>e2+2D.若f(x-1)<f(-1),则0<x<2 答案　BCD　已知函数f(x)=ex+e-x+|x|,其定义域为R,f(-x)=e-x+ex+|-x|=e-x+ex+|x|=f(x),故函数f(x)为偶函数,故选项A错误;当x>0时,f(x)=ex+e-x+x,f'(x)=ex-e-x+1>0,所以函数f(x)为增函数,故选项B正确;当x>0时,由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f≥f(2)=e2+e-2+2>e2+2,又函数y=x+为奇函数,当x<0时,-x-≥2,f=-f>e2+2,综上,当x≠0时,f>e2+2,故选项C正确;因为函数f(x)为偶函数,所以由f(x-1)<f(-1),得f(|x-1|)<f(|-1|),则|x-1|<1,解得0<x<2,故选项D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山西临汾模拟,14)不等式ax2+x+1>0的解集为(m,1),则m+a=　　　　. 答案　-解析　本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系,考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.由不等式ax2+x+1>0的解集为(m,1),得x=1是方程ax2+x+1=0的根,即a+1+1=0,解得a=-2, 则不等式为-2x2+x+1>0,解得-<x<1,则有m=-,则有m+a=-.14.(2020浙江五校联考,13)不等式23x-1<的解集是　　　　;不等式log2(3x-1)<lo4的解集是　　　　. 答案　{x|x<0};解析　∵=22x-1,∴23x-1<22x-1,∴3x-1<2x-1,解得x<0.∵lo4=-log24=log2,∴log2(3x-1)<log2,即3x-1<,且3x-1>0,解得<x<.15.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为　　　　. 答案　解析　本题考查分段函数及函数的周期性.∵f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(15)=f(-1)=,f=cos=,∴f(f(15))=f=.16.(2020福建泉州五中模拟)已知函数f(x)=x(aex-e-x)为偶函数,函数g(x)=f(x)+xe-x,则a=　; 若g(x)>mx-e对x∈(0,+∞)恒成立,则m的取值范围为　　　　. 答案　1;(-∞,2e) 解析　根据题意,函数f(x)=x(aex-e-x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x)(ae-x-ex)=x(aex-e-x),变形可得a=1,则f(x)=x(ex-e-x),g(x)=f(x)+xe-x=xex,g(x)>mx-e对x∈(0,+∞)恒成立,即xex>mx-e对x∈(0,+∞)恒成立,又由x∈(0,+∞),变形可得m<ex+,设h(x)=ex+,x>0,其导数h'(x)=ex-,在区间(0,1)上,h'(x)<0,h(x)为减函数,在区间(1,+∞)上,h'(x)>0,h(x)为增函数,则在区间(0,+∞)上,h(x)≥h(1)=2e,若m<ex+对x∈(0,+∞)恒成立,则有m<2e,故m的取值范围为(-∞,2e).故答案为1,(-∞,2e).四、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2020山东枣庄期中,17)非空集合A={x|x2-(3a+1)x+2(3a-1)<0},集合B={x|x2-(a2+a+2)x+a3+2a<0}.(1)当a=3时,求A∩B;(2)p:x∈A,q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.解析　本题考查了集合的运算及充分、必要条件与集合间的关系,通过求解一元二次不等式,考查学生对含参数一元二次不等式知识的掌握程度,考查了数学运算的核心素养.(1)当a=3时,A={x|x2-10x+16<0}={x|(x-2)(x-8)<0}={x|2<x<8},B={x|x2-14x+33<0}={x|(x-3)(x-11)<0}={x|3<x<11},故A∩B={x|3<x<8}. (2)A={x|(x-2)[x-(3a-1)]<0},B={x|(x-a)[x-(a2+2)]<0}.∵a2+2-a=+>0,∴a2+2>a.∴B={x|a<x<a2+2}.∵q是p的必要条件,∴A⊆B.①当a=1时,3a-1=2,A=⌀,不符合题意;②当a>1时,3a-1>2,A={x|2<x<3a-1},要使A⊆B,则有∴1<a≤2;③当a<1时,3a-1<2,A={x|3a-1<x<2},要使A⊆B,则有∴≤a<1.综上所述,实数a的取值范围是∪(1,2].18.(2017课标Ⅲ文,21,12分)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0, 故f(x)在单调递增,在单调递减.(2)证明:由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln++1≤0.设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln++1≤0,即f(x)≤--2.19.(2020北京东城一模,19)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(1,e)上的最大值为-3,求a的值;(3)若不等式f(x)≤x恒成立,求a的取值范围.解析　本题考查导数的几何意义、导数的应用、导数与函数的最值、恒成立问题,考查学生解决问题的能力,渗透逻辑推理、数学运算的核心素养.(1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,则f'(x)=-1+,∴k=f'(1)=0,又f(1)=-1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-1)=0,即y=-1.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a+=,若a≥0,f'(x)>0,f(x)在(1,e)上单调递增,无最大值.若a<0,当0<x<-时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>-时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 函数f(x)在(1,e)上取得最大值-3,则1<-<e,即-1<a<-,且f=-3,则a=-e2<-1,∴a无解.(3)不等式f(x)≤x恒成立,则ax+lnx≤x恒成立,即a≤1-恒成立,设g(x)=1-(x>0),则g'(x)=(x>0),令g'(x)=0,解得x=e.故当0<x<e时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>e时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)min=g(e)=1-,∴a≤1-.20.(2020浙江杭州期末,19)已知函数f(x)=x2+k|x-1|-2.(1)当k=1时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若k≤-2,试判断方程f(x)=-1的根的个数.解析　本题考查函数单调区间的求法,考查方程根的个数,分类讨论是关键,属于中档题.(1)k=1时,f(x)=x2+|x-1|-2=因为y=x2+x-3在[1,+∞)上单调递增,且y=x2-x-1在上单调递增,f(x)的图象在(-∞,+∞)上连续,所以f(x)的单调递增区间为.(2)显然,x=1为方程f(x)=-1的根.当x>1时,由f(x)=-1得x2+kx-k-1=0,即(x-1)(x+1+k)=0,解得x=-1-k;当x<1时,由f(x)=-1得x2-kx+k-1=0,即(x-1)(x+1-k)=0,解得x=k-1.因为当k<-2时,所以此时方程有三个不等实根:k-1,1,-k-1; 当k=-2时,所以此时方程有两个不等实根:k-1,1.21.(2021届天津南开中学月考)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点,求实数m的取值范围.解析　(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,所以f'(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),所以切线的斜率k=f'(1)=2,则切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)g(x)=2lnx-x2+m,则g'(x)=-2x=.因为x∈,所以当g'(x)=0时,x=1.当<x<1时,g'(x)>0;当1<x<e时,g'(x)<0.故g(x)在x=1处取得极大值,g(1)=m-1.又g=m-2-,g(e)=m+2-e2,g(e)-g=4-e2+<0,则g(e)<g,所以g(x)在上的最小值是g(e).则g(x)在上有两个零点的条件是解得1<m≤2+,所以实数m的取值范围是.22.(2020浙江杭州二中开学考,22)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x-log2 +1.(1)求f(x)在R上的解析式;(2)若x∈[0,1],函数g(x)=2f(x)+1+m·2x-2m,是否存在实数m,使得g(x)的最小值为?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.不妨设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x-log2+1,所以f(x)=-f(-x)=x+log2-1=x+log2(2x+1)-1.又0-log2+1=0,所以f(x)=(2)存在.化简得f(x)=当x=0时,0+log2(20+1)-1=0满足,所以当x∈[0,1]时,f(x)=x+log2(2x+1)-1,所以g(x)=+m·2x-2m=+m·2x-2m=2x·(2x+1)+m·2x-2m=(2x)2+(m+1)2x-2m,令t=2x,t∈[1,2],所以h(t)=t2+(m+1)t-2m,所以函数g(x)在x∈[0,1]上的最小值为即函数h(t)在[1,2]上的最小值为,又函数h(t)的图象的对称轴为直线t=-,当-<1,即m>-3时,函数h(t)在区间[1,2]上是增函数,所以h(t)min=h(1)=2-m=,解得m=. 当1≤-≤2,即-5≤m≤-3时,h(t)min==,化简得m2+10m+2=0,解得m=-5+或m=-5-.因为-5+>-3,-5-<-5,所以此时m∈⌀.当->2,即m<-5时,函数h(t)在区间[1,2]上是减函数,所以h(t)min=h(2)=6≠,故m∈⌀.综上所述,存在实数m=,使得g(x)的最小值为.