2022新高考数学人教A版一轮总复习训练10.2二项式定理专题检测（带解析）
ID：58600
2021-10-30
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§10.2 二项式定理专题检测1.(2020山西大同开学学情调研,6)若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )A.210 B.180 C.160 D.175答案 B ∵的展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴展开式中共有11项,n=10.∴展开式的通项为Tr+1=()10-r·=(-1)r·2r·.令5-=0,得r=2,∴常数项是T2+1=22·=180,故选B.2.(2018辽宁鞍山鞍钢三模,8)已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2=( )A.18 B.24 C.36 D.56答案 B (2x-1)4=[1+2(x-1)]4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,∴a2=·22=24,故选B.3.(2020四川五校联考,6)(3x3+x4)的展开式中x2的系数为( )A.-1280 B.4864 C.-4864 D.1280答案 A 的展开式的通项为Tr+1=28-r·,所以x2项为3x3+x4·26·=-1280x2,故选A.4.(2018海南国兴中学3月模拟,7)设(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,其中x,ai∈R,i=0,1,…,6,则a1+a3+a5=( )A.16 B.32 C.64 D.128答案 B 令x=1,则26=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=64,令x=-1,则(1-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=0,∴2(a1+a3+a5)=64,∴a1+a3+a5=32.故选B.5.(2019广东佛山二模,8)已知(1+x)(n∈N*,n<10)的展开式中没有常数项,则n的最大值是( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 B ∵(1+x)(n∈N*,n<10)的展开式中没有常数项,∴的展开式中没有x-1项和常数项.∵的展开式的通项为Tr+1=·xn-3r,故n-3r≠0,且n-3r≠-1,即n≠3r,且n≠3r-1,∴n≠3,6,9,且n≠2,5,8,故n的最大值为7,故选B.思路分析 先将问题转化成二项展开式中没有常数项和x-1项,利用二项展开式的通项求出第r+1项,再根据x的指数不能为0和-1,求得n的最大值.6.(2017山西晋中一模,9)若a=2(x+|x|)dx,则在的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有( )A.13项 B.14项 C.15项 D.16项答案 C a=2(x+|x|)dx=2(x-x)dx+22xdx=18.则的展开式的通项为Tr+1=()18-r=(-1)r·(r=0,1,2,…,18).只有r=0,6,12,18时,x的幂指数是整数,因此x的幂指数不是整数的项共有19-4=15项.故选C.7.(2018安徽马鞍山二模,10)二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )A.3 B.5 C.6 D.7答案 D 根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n=20,∴的展开式的通项为Tr+1=·(x)20-r·=()20-r··,要使x的指数是整数,需r是3的倍数,∴r=0,3,6,9,12,15,18,∴x的指数是整数的项共有7项.故选D.
思路分析 根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值,再利用展开式的通项求得x的指数是整数的项数.规律总结 (a+b)n的展开式中二项式系数最大问题的处理依据:若n为偶数,则第项的二项式系数最大,为;若n为奇数,则第,项的二项式系数最大,为,.8.(2016全国百所名校联考,6)(1-)6(1-)4的展开式中,x2的系数是( )A.-75 B.-45 C.45 D.75答案 B (1-)6(1-)4=(1-6+15x-20x+15x2-6x2+x3)·(1-4+6-4x+),∴(1-)6(1-)4的展开式中,x2的系数是15·(-4)+15=-45.故选B.思路分析 把(1-)6和(1-)4利用二项式定理分别展开,进而可得(1-)6(1-)4的展开式中x2的系数.9.(2018重庆万州二模,15)已知二项式的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是 . 答案 -84解析 由二项式的展开式中所有二项式系数的和是128,得2n=128,∴n=7,∴=,Tr+1=·(2x2)7-r·=(-1)r·27-r··x14-3r.令14-3r=-1,得r=5.∴展开式中含项的系数是-4×=-84.思路分析 由已知可得n的值,写出二项展开式的通项,由x的指数为-1求得r,进而求含项的系数.易错警示 注意二项式系数与项的系数的区别,以及二项式系数之和与所有项的系数之和的区别.10.(2017江西赣州十四县联考,14)若的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-B),则展开式中x2的系数为 . 答案 解析 易得A=1,B=,C==,所以有4=9,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在中,因为通项Tr+1=x8-r=·x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为.11.(2018湖南长沙第二次模拟,14)若x10-x5=a0+a1(x-1)++…+a10(x-1)10,则a5= . 答案 251解析 令x-1=t,则x=t+1,x10-x5=(t+1)10-(t+1)5=a0+a1t+a2t2+…+a10t10,a5为t5的系数,其中(t+1)10的展开式中t5的系数为,(t+1)5的展开式中t5的系数为,则a5=-=252-1=251.12.若(1-4x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020·x2020,则++…+= . 答案 0解析 取x=0,则a0=1;取x=,则(-1)2020=a0+++…+,所以++…+=1-a0=0.
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§10.2 二项式定理专题检测1.(2020山西大同开学学情调研,6)若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )A.210 B.180 C.160 D.175答案 B ∵的展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴展开式中共有11项,n=10.∴展开式的通项为Tr+1=()10-r·=(-1)r·2r·.令5-=0,得r=2,∴常数项是T2+1=22·=180,故选B.2.(2018辽宁鞍山鞍钢三模,8)已知(2x-1)4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,则a2=( )A.18 B.24 C.36 D.56答案 B (2x-1)4=[1+2(x-1)]4=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4,∴a2=·22=24,故选B.3.(2020四川五校联考,6)(3x3+x4)的展开式中x2的系数为( )A.-1280 B.4864 C.-4864 D.1280答案 A 的展开式的通项为Tr+1=28-r·,所以x2项为3x3+x4·26·=-1280x2,故选A.4.(2018海南国兴中学3月模拟,7)设(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,其中x,ai∈R,i=0,1,…,6,则a1+a3+a5=( )A.16 B.32 C.64 D.128答案 B 令x=1,则26=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=64,令x=-1,则(1-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=0,∴2(a1+a3+a5)=64,∴a1+a3+a5=32.故选B.5.(2019广东佛山二模,8)已知(1+x)(n∈N*,n<10)的展开式中没有常数项,则n的最大值是( )A.6 B.7 C.8 D.9答案 B ∵(1+x)(n∈N*,n<10)的展开式中没有常数项,∴的展开式中没有x-1项和常数项.∵的展开式的通项为Tr+1=·xn-3r,故n-3r≠0,且n-3r≠-1,即n≠3r,且n≠3r-1,∴n≠3,6,9,且n≠2,5,8,故n的最大值为7,故选B.思路分析 先将问题转化成二项展开式中没有常数项和x-1项,利用二项展开式的通项求出第r+1项,再根据x的指数不能为0和-1,求得n的最大值.6.(2017山西晋中一模,9)若a=2(x+|x|)dx,则在的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有( )A.13项 B.14项 C.15项 D.16项答案 C a=2(x+|x|)dx=2(x-x)dx+22xdx=18.则的展开式的通项为Tr+1=()18-r=(-1)r·(r=0,1,2,…,18).只有r=0,6,12,18时,x的幂指数是整数,因此x的幂指数不是整数的项共有19-4=15项.故选C.7.(2018安徽马鞍山二模,10)二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )A.3 B.5 C.6 D.7答案 D 根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大,得n=20,∴的展开式的通项为Tr+1=·(x)20-r·=()20-r··,要使x的指数是整数,需r是3的倍数,∴r=0,3,6,9,12,15,18,∴x的指数是整数的项共有7项.故选D.
思路分析 根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值,再利用展开式的通项求得x的指数是整数的项数.规律总结 (a+b)n的展开式中二项式系数最大问题的处理依据:若n为偶数,则第项的二项式系数最大,为;若n为奇数,则第,项的二项式系数最大,为,.8.(2016全国百所名校联考,6)(1-)6(1-)4的展开式中,x2的系数是( )A.-75 B.-45 C.45 D.75答案 B (1-)6(1-)4=(1-6+15x-20x+15x2-6x2+x3)·(1-4+6-4x+),∴(1-)6(1-)4的展开式中,x2的系数是15·(-4)+15=-45.故选B.思路分析 把(1-)6和(1-)4利用二项式定理分别展开,进而可得(1-)6(1-)4的展开式中x2的系数.9.(2018重庆万州二模,15)已知二项式的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是 . 答案 -84解析 由二项式的展开式中所有二项式系数的和是128,得2n=128,∴n=7,∴=,Tr+1=·(2x2)7-r·=(-1)r·27-r··x14-3r.令14-3r=-1,得r=5.∴展开式中含项的系数是-4×=-84.思路分析 由已知可得n的值,写出二项展开式的通项,由x的指数为-1求得r,进而求含项的系数.易错警示 注意二项式系数与项的系数的区别,以及二项式系数之和与所有项的系数之和的区别.10.(2017江西赣州十四县联考,14)若的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-B),则展开式中x2的系数为 . 答案 解析 易得A=1,B=,C==,所以有4=9,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在中,因为通项Tr+1=x8-r=·x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为.11.(2018湖南长沙第二次模拟,14)若x10-x5=a0+a1(x-1)++…+a10(x-1)10,则a5= . 答案 251解析 令x-1=t,则x=t+1,x10-x5=(t+1)10-(t+1)5=a0+a1t+a2t2+…+a10t10,a5为t5的系数,其中(t+1)10的展开式中t5的系数为,(t+1)5的展开式中t5的系数为,则a5=-=252-1=251.12.若(1-4x)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020·x2020,则++…+= . 答案 0解析 取x=0,则a0=1;取x=,则(-1)2020=a0+++…+,所以++…+=1-a0=0.
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