2022新高考数学人教A版一轮总复习训练9.5抛物线专题检测（带解析）
ID：58594
2021-10-30
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§9.5 抛物线专题检测【3年模拟】1.(2020四川天府名校10月联考,7)若抛物线y2=2px(p≠0)的准线为圆x2+y2+4x=0的一条切线,则抛物线的方程为( )A.y2=-16x B.y2=-8xC.y2=16x D.y2=8x答案 C 抛物线y2=2px(p≠0)的准线为x=-,且准线垂直于x轴,圆x2+y2+4x=0的垂直于x轴的切线方程为x=-4和x=0,又p≠0,∴=4,即p=8.故抛物线的方程为y2=16x.故选C.2.若动点P与定点F(1,1)和直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线答案 D 因为定点F(1,1)在直线l:3x+y-4=0上,所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线,就是经过定点F与直线l:3x+y-4=0垂直的直线.故选D.易错警示 定点F不在直线上时满足条件的点的轨迹是抛物线.3.(2018重庆一模,6)已知抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于( )A. B. C. D.1答案 B 因为抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),所以2=2p×12,解得p=1,则抛物线的方程为y=2x2,即x2=y,其焦点坐标为,准线方程为y=-,
∴该抛物线的焦点到准线的距离等于,故选B.4.(2020湖南张家界民族中学第二次月考,16)已知直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切于点A,F是抛物线的焦点,直线AF交抛物线于另一点B,则|BF|= . 答案 解析 联立消去y得x2-8x-4b=0,∵直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切,∴Δ=64+16b=0,∴b=-4.由x2-8x+16=0,得x1=x2=4,∴A(4,4),又∵F(0,1),∴直线AF的方程为y=x+1,与x2=4y联立,消去y得x2-3x-4=0,∴x1=4,x2=-1,∴B,∴|BF|=yB+=+1=.5.(2020山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p= ,+= .(本题第一空2分,第二空3分) 答案 2;1解析 ∵抛物线y2=2px的焦点为F(1,0),∴=1,∴p=2.当AB与x轴垂直时,|AF|=|BF|=2,从而+=1;当AB与x轴不垂直时,设直线AB的斜率为k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AB的方程为y=k(x-1),联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1x2=1,从而+=+===1.综上,+=1.6.(2017江苏六市联考,6)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3,则点P的横坐标是 . 答案 2解析 设P(m,n),由y2=4x得准线方程为x=-1,由抛物线的定义得1+m=3,所以m=2.7.(2018江苏溧水高级中学高三期初模拟)已知点F为抛物线y2=4x的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5,则直线AF的斜率为 . 答案 解析 由抛物线定义得xA+1=5,故xA=4,又点A位于第一象限,因此yA=4,又F(1,0),从而kAF==.8.(2019江苏南通中学质检)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为 . 答案 -解析 由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为=-.
9.(2018天津南开中学第三次月考,13)已知M为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,若以M为圆心经过原点的圆与x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,则p的值为 . 答案 4解析 ∵M为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,以M为圆心经过原点的圆与x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,∴抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),∴准线方程为x=-2,可得=2,解得p=4.10.(2019江苏栟茶中学期中)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3,求此抛物线方程.解析 设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线y=2x-4代入y2=ax,得4x2-(a+16)x+16=0,由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32.x1+x2=,x1x2=4,所以|AB|===3,所以5=45,所以a=4或a=-36.故所求的抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.11.(2019北京石景山期末,18)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),其焦点为F.M为抛物线上除了原点外的任一点,过M的直线l与x轴,y轴分别交于A,B.(1)求抛物线C的方程以及焦点坐标;(2)若△BMF与△ABF的面积相等,求证:直线l是抛物线C的切线.
解析 (1)因为抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),所以22=2p,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0).(2)证明:因为△BMF与△ABF的面积相等,A、B、M三点共线,所以|BM|=|AB|,所以B为AM的中点.设M(x0,y0)(x0y0≠0),则A(-x0,0).所以直线l的方程为y=(x+x0),与抛物线y2=4x联立,消去x得y2-y+4x0=0,Δ=-16x0=-16x0=0,所以直线l是抛物线C的切线.12.(2020北京清华大学中学生标准学术能力11月测试,20)如图,斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB、x轴于M、P,已知P(4,0).(1)求M点的横坐标;(2)求△PAB的面积(用k表示).解析 本题考查直线与抛物线的位置关系,通过直线与抛物线的位置关系考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,体现数学运算的核心素养.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=,y0=,又=4x1,=4x2,
∴k===,而kMP=,则由k·kMP=-1得x0-4=-2,即x0=2.(2)设直线AB的方程为x=m(y-y0)+2,即x=my-my0+2,其中m=(k≠0),与抛物线方程y2=4x联立得y2-4my+4my0-8=0,∵Δ=16m2-4(4my0-8)>0,y0==2m,∴m2<2,则y1+y2=4m,y1y2=4my0-8,∴|AB|=|y1-y2|=·,而P到直线AB的距离d=,∴S△PAB=d|AB|=2|my0+2|.又由于m==,且m2<2,∴k2>,∴S△PAB=2(2m2+2)=4(m2+1)=·,k2>.13.(2020贵州六盘水期末)已知抛物线y2=4x的焦点是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率e=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,且线段PQ的中点为M,直线l'是线段PQ的垂直平分线,若l'与x轴交于点N(n,0),求n的取值范围.解析 (1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以椭圆C中c=1,
椭圆的离心率e===,解得a=,所以b2=a2-c2=2-1=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由题意,将y=代入椭圆方程得+=1,解得x=±,所以-0)外一点P作抛物线的两条切线,切点为M,N,F为抛物线的焦点,证明:
(1)|PF|2=|MF|·|NF|;(2)∠PMF=∠FPN.证明 本题考查抛物线方程及性质;考查学生数学运算的能力和数形结合的思想;考查了数学运算的核心素养.(1)设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),易求得切线PM:x1x=p(y+y1),切线PN:x2x=p(y+y2),因为点P在两条切线上,所以x1x0=p(y0+y1),x2x0=p(y0+y2).故点M、N均在直线xx0=p(y+y0)上,于是lMN:xx0=p(y+y0),联立⇒y2+2y+=0,由根与系数的关系得y1+y2=2,y1y2=,又|MF|=y1+,|NF|=y2+,所以|MF|·|NF|=y1y2+(y1+y2)+=+-py0+=+=|PF|2.(2)由=,=,=,知·=x0x1+=x0x1+y0y1-(y0+y1)+=y0y1+(y0+y1)+=.所以cos∠PFM==,同理cos∠PFN=,故cos∠PFM=cos∠PFN,所以∠PFM=∠PFN,由(1)知|PF|2=|MF|·|NF|,所以△PMF∽△NPF,
所以∠PMF=∠FPN.15.(2017新疆乌鲁木齐二模,20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点H,过H作直线l交抛物线于A,B两点,且|BF|=2|AF|.(1)求直线AB的斜率;(2)若△ABF的面积为,求抛物线的方程.解析 (1)设A(xA,yA),过A,B两点作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,易知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∵|BF|=2|AF|,∴|BB1|=2|AA1|,∴A为HB的中点,又O是HF的中点,∴AO是△BHF的中位线,∴|AO|=|BF|=|AF|,而F,∴xA=,∴=2p·=,yA=±p,∴A,而H,∴kAB=kAH==±.(2)∵A为HB的中点,O是HF的中点,∴S△ABF=S△AHF=2S△AHO=2×|OH|·|yA|=p2,∴p2=,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x.16.(2018辽宁锦州模拟,21)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l:y=kx+a(a>0)与抛物线C交于A,B两点.(1)若直线l过焦点F,且与圆x2+(y-1)2=1交于D,E(其中A,D在y轴同侧),求证:|AD|·|BE|是定值;(2)设抛物线C在A和B点处的切线交于点P,试问:y轴上是否存在点Q,使得四边形APBQ为菱形?若存在,请说明理由,并求此时直线l的斜率和点Q的坐标.
解析 抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2=4y与y=kx+a,得x2-4kx-4a=0,则Δ=16(k2+a)>0,且x1+x2=4k,x1·x2=-4a.(1)证明:若直线l过焦点F,则a=1,则x1+x2=4k,x1·x2=-4.由条件可知圆x2+(y-1)2=1的圆心为F(0,1),半径为1,由抛物线的定义有|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,则|AD|=|AF|-1=y1,|BE|=|BF|-1=y2,|AD|·|BE|=y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-4k2+4k2+1=1,即|AD|·|BE|为定值,定值为1.(2)当直线l的斜率为0,且Q(0,3a)时,四边形APBQ为菱形.理由如下:设Q(0,y0),由x2=4y有y=x2,则y'=x,若四边形APBQ为菱形,则AQ∥BP,BQ∥AP,则kAQ==x2,kBQ==x1,即y1-y0=x1x2,y2-y0=x1x2,则y1=y2,∴k=0,此时直线AB:y=kx+a=a,则y0=-x1x2+y1=-·(-4a)+a=3a.所以Q(0,3a).17.(2019陕西西安中学高三期中,20)已知动点M到点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求点M的轨迹C的方程;(2)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1,l2分别交曲线C于点A,B和M,N.设线段AB,MN的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.解析 (1)由题意可知动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,根据抛物线的定义可知,点M的轨迹C是抛物线,且=1,∴抛物线方程为y2=4x,即点M的轨迹C的方程为y2=4x.(2)证明:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为.由题意可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0.因为直线l1与曲线C交于A,B两点,所以x1+x2=2+,y1+y2=k(x1+x2-2)=,所以点P的坐标为.由题知,直线l2的斜率为-,同理可得点Q的坐标为(1+2k2,-2k),当k≠±1时,有1+≠1+2k2,此时直线PQ的斜率kPQ==,所以,直线PQ的方程为y+2k=(x-1-2k2),整理得yk2+(x-3)k-y=0.所以直线PQ恒过定点(3,0).当k=±1时,直线PQ的方程为x=3,也过点(3,0).
所以直线PQ恒过定点(3,0).18.(2019浙江名校新高考研究联盟第一次联考,21)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(-2,8),且|MF|=4.(1)求抛物线的方程;(2)设A,B是抛物线上的两点,当F为△ABM的垂心时,求直线AB的方程.解析 (1)由题意得|MF|==4,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(5分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为F是△ABM的垂心,所以MF⊥AB,所以kMF·kAB=-1,故kAB=,(7分)所以设直线AB的方程为x=2y+n,与y2=8x联立得y2-16y-8n=0.令Δ>0,有n>-8.y1+y2=16,y1y2=-8n.(10分)因为F是△ABM的垂心,所以MA⊥FB.即x1x2-2x1+2x2-4+y1y2-8y2=0①,同理,x1x2-2x2+2x1-4+y1y2-8y1=0②,①+②得2x1x2-8+2y1y2-8(y1+y2)=0.(13分)所以n2-8n-68=0,解得n=4±2,又因为n>-8,所以直线AB的方程为x-2y-4±2=0.(15分)19.(2018浙江名校协作体联考,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0),且抛物线C在点P(1,f(1))
处的切线斜率为.直线l与抛物线交于不同的两点A,B,且直线AP垂直于直线BP.(1)求证:直线l过定点,并求出定点坐标;(2)直线BP交y轴于点M,直线AP交x轴于点N,求的最大值.解析 (1)证明:y=,y'=x.当x=1时,得=,∴p=2.∴抛物线的方程为x2=4y.设A(2t1,),B(2t2,),∵AP⊥BP,P,∴kAP·kBP=·=-1,∴t1t2+(t1+t2)+=0(*),又∵kAB==,∴直线AB的方程为y-=(x-2t1),即2y=(t1+t2)x-2t1t2,将(*)式代入直线AB的方程得(t1+t2)(x+1)+-2y=0,令x+1=0,-2y=0,解得直线AB过定点.
(2)设直线BM的方程为y-=k(x-1),不妨设k>0,联立得x2-4kx+4k-1=0,Δ=16k2-16k+4>0,根据根与系数的关系得xB+xP=4k,∴xB=4k-1,由于AP⊥BP,同理可得xA=--1,又∵xN=+1,xM=0,∴|AP||BP|=|xP-xA|·|xB-xP|=·(4k-2)=,|MP||NP|=|xP-xM|·|xN-xP|=,∴=×==16=-32+50≤50,∴的最大值为50.
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§9.5 抛物线专题检测【3年模拟】1.(2020四川天府名校10月联考,7)若抛物线y2=2px(p≠0)的准线为圆x2+y2+4x=0的一条切线,则抛物线的方程为( )A.y2=-16x B.y2=-8xC.y2=16x D.y2=8x答案 C 抛物线y2=2px(p≠0)的准线为x=-,且准线垂直于x轴,圆x2+y2+4x=0的垂直于x轴的切线方程为x=-4和x=0,又p≠0,∴=4,即p=8.故抛物线的方程为y2=16x.故选C.2.若动点P与定点F(1,1)和直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线答案 D 因为定点F(1,1)在直线l:3x+y-4=0上,所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线,就是经过定点F与直线l:3x+y-4=0垂直的直线.故选D.易错警示 定点F不在直线上时满足条件的点的轨迹是抛物线.3.(2018重庆一模,6)已知抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于( )A. B. C. D.1答案 B 因为抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),所以2=2p×12,解得p=1,则抛物线的方程为y=2x2,即x2=y,其焦点坐标为,准线方程为y=-,
∴该抛物线的焦点到准线的距离等于,故选B.4.(2020湖南张家界民族中学第二次月考,16)已知直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切于点A,F是抛物线的焦点,直线AF交抛物线于另一点B,则|BF|= . 答案 解析 联立消去y得x2-8x-4b=0,∵直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切,∴Δ=64+16b=0,∴b=-4.由x2-8x+16=0,得x1=x2=4,∴A(4,4),又∵F(0,1),∴直线AF的方程为y=x+1,与x2=4y联立,消去y得x2-3x-4=0,∴x1=4,x2=-1,∴B,∴|BF|=yB+=+1=.5.(2020山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p= ,+= .(本题第一空2分,第二空3分) 答案 2;1解析 ∵抛物线y2=2px的焦点为F(1,0),∴=1,∴p=2.当AB与x轴垂直时,|AF|=|BF|=2,从而+=1;当AB与x轴不垂直时,设直线AB的斜率为k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AB的方程为y=k(x-1),联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1x2=1,从而+=+===1.综上,+=1.6.(2017江苏六市联考,6)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3,则点P的横坐标是 . 答案 2解析 设P(m,n),由y2=4x得准线方程为x=-1,由抛物线的定义得1+m=3,所以m=2.7.(2018江苏溧水高级中学高三期初模拟)已知点F为抛物线y2=4x的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5,则直线AF的斜率为 . 答案 解析 由抛物线定义得xA+1=5,故xA=4,又点A位于第一象限,因此yA=4,又F(1,0),从而kAF==.8.(2019江苏南通中学质检)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为 . 答案 -解析 由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为=-.
9.(2018天津南开中学第三次月考,13)已知M为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,若以M为圆心经过原点的圆与x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,则p的值为 . 答案 4解析 ∵M为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,以M为圆心经过原点的圆与x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,∴抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),∴准线方程为x=-2,可得=2,解得p=4.10.(2019江苏栟茶中学期中)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3,求此抛物线方程.解析 设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线y=2x-4代入y2=ax,得4x2-(a+16)x+16=0,由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32.x1+x2=,x1x2=4,所以|AB|===3,所以5=45,所以a=4或a=-36.故所求的抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.11.(2019北京石景山期末,18)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),其焦点为F.M为抛物线上除了原点外的任一点,过M的直线l与x轴,y轴分别交于A,B.(1)求抛物线C的方程以及焦点坐标;(2)若△BMF与△ABF的面积相等,求证:直线l是抛物线C的切线.
解析 (1)因为抛物线C:y2=2px经过点P(1,2),所以22=2p,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0).(2)证明:因为△BMF与△ABF的面积相等,A、B、M三点共线,所以|BM|=|AB|,所以B为AM的中点.设M(x0,y0)(x0y0≠0),则A(-x0,0).所以直线l的方程为y=(x+x0),与抛物线y2=4x联立,消去x得y2-y+4x0=0,Δ=-16x0=-16x0=0,所以直线l是抛物线C的切线.12.(2020北京清华大学中学生标准学术能力11月测试,20)如图,斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB、x轴于M、P,已知P(4,0).(1)求M点的横坐标;(2)求△PAB的面积(用k表示).解析 本题考查直线与抛物线的位置关系,通过直线与抛物线的位置关系考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,体现数学运算的核心素养.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=,y0=,又=4x1,=4x2,
∴k===,而kMP=,则由k·kMP=-1得x0-4=-2,即x0=2.(2)设直线AB的方程为x=m(y-y0)+2,即x=my-my0+2,其中m=(k≠0),与抛物线方程y2=4x联立得y2-4my+4my0-8=0,∵Δ=16m2-4(4my0-8)>0,y0==2m,∴m2<2,则y1+y2=4m,y1y2=4my0-8,∴|AB|=|y1-y2|=·,而P到直线AB的距离d=,∴S△PAB=d|AB|=2|my0+2|.又由于m==,且m2<2,∴k2>,∴S△PAB=2(2m2+2)=4(m2+1)=·,k2>.13.(2020贵州六盘水期末)已知抛物线y2=4x的焦点是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率e=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,且线段PQ的中点为M,直线l'是线段PQ的垂直平分线,若l'与x轴交于点N(n,0),求n的取值范围.解析 (1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以椭圆C中c=1,
椭圆的离心率e===,解得a=,所以b2=a2-c2=2-1=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由题意,将y=代入椭圆方程得+=1,解得x=±,所以-<m<.①当直线l的斜率存在,且不为0时,设斜率为k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则两式相减得=-(-),即-=·,因为=k,==,所以-=,所以k=-m(m≠0),则直线l'的斜率为-=,则直线l'的方程为y-=(x-m),将y=0代入,可得0-=(x-m),解得x=,即n=,所以N,因为-<m<且m≠0,所以-<n<且n≠0.②当直线l的斜率为0时,直线l的方程为y=,直线l'的方程为x=0,l'与x轴的交点为(0,0),即n=0.③当直线l的斜率不存在时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),可得y1+y2=0,不符合题意,舍去.综上所述,n的取值范围为.14.(2020浙江“七彩阳光”联盟期初联考,21)过抛物线x2=2py(p>0)外一点P作抛物线的两条切线,切点为M,N,F为抛物线的焦点,证明:
(1)|PF|2=|MF|·|NF|;(2)∠PMF=∠FPN.证明 本题考查抛物线方程及性质;考查学生数学运算的能力和数形结合的思想;考查了数学运算的核心素养.(1)设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),易求得切线PM:x1x=p(y+y1),切线PN:x2x=p(y+y2),因为点P在两条切线上,所以x1x0=p(y0+y1),x2x0=p(y0+y2).故点M、N均在直线xx0=p(y+y0)上,于是lMN:xx0=p(y+y0),联立⇒y2+2y+=0,由根与系数的关系得y1+y2=2,y1y2=,又|MF|=y1+,|NF|=y2+,所以|MF|·|NF|=y1y2+(y1+y2)+=+-py0+=+=|PF|2.(2)由=,=,=,知·=x0x1+=x0x1+y0y1-(y0+y1)+=y0y1+(y0+y1)+=.所以cos∠PFM==,同理cos∠PFN=,故cos∠PFM=cos∠PFN,所以∠PFM=∠PFN,由(1)知|PF|2=|MF|·|NF|,所以△PMF∽△NPF,
所以∠PMF=∠FPN.15.(2017新疆乌鲁木齐二模,20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点H,过H作直线l交抛物线于A,B两点,且|BF|=2|AF|.(1)求直线AB的斜率;(2)若△ABF的面积为,求抛物线的方程.解析 (1)设A(xA,yA),过A,B两点作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,易知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∵|BF|=2|AF|,∴|BB1|=2|AA1|,∴A为HB的中点,又O是HF的中点,∴AO是△BHF的中位线,∴|AO|=|BF|=|AF|,而F,∴xA=,∴=2p·=,yA=±p,∴A,而H,∴kAB=kAH==±.(2)∵A为HB的中点,O是HF的中点,∴S△ABF=S△AHF=2S△AHO=2×|OH|·|yA|=p2,∴p2=,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x.16.(2018辽宁锦州模拟,21)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l:y=kx+a(a>0)与抛物线C交于A,B两点.(1)若直线l过焦点F,且与圆x2+(y-1)2=1交于D,E(其中A,D在y轴同侧),求证:|AD|·|BE|是定值;(2)设抛物线C在A和B点处的切线交于点P,试问:y轴上是否存在点Q,使得四边形APBQ为菱形?若存在,请说明理由,并求此时直线l的斜率和点Q的坐标.
解析 抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2=4y与y=kx+a,得x2-4kx-4a=0,则Δ=16(k2+a)>0,且x1+x2=4k,x1·x2=-4a.(1)证明:若直线l过焦点F,则a=1,则x1+x2=4k,x1·x2=-4.由条件可知圆x2+(y-1)2=1的圆心为F(0,1),半径为1,由抛物线的定义有|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,则|AD|=|AF|-1=y1,|BE|=|BF|-1=y2,|AD|·|BE|=y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-4k2+4k2+1=1,即|AD|·|BE|为定值,定值为1.(2)当直线l的斜率为0,且Q(0,3a)时,四边形APBQ为菱形.理由如下:设Q(0,y0),由x2=4y有y=x2,则y'=x,若四边形APBQ为菱形,则AQ∥BP,BQ∥AP,则kAQ==x2,kBQ==x1,即y1-y0=x1x2,y2-y0=x1x2,则y1=y2,∴k=0,此时直线AB:y=kx+a=a,则y0=-x1x2+y1=-·(-4a)+a=3a.所以Q(0,3a).17.(2019陕西西安中学高三期中,20)已知动点M到点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求点M的轨迹C的方程;(2)过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1,l2分别交曲线C于点A,B和M,N.设线段AB,MN的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点.解析 (1)由题意可知动点M到定点F(1,0)的距离等于M到定直线x=-1的距离,根据抛物线的定义可知,点M的轨迹C是抛物线,且=1,∴抛物线方程为y2=4x,即点M的轨迹C的方程为y2=4x.(2)证明:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为.由题意可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0.因为直线l1与曲线C交于A,B两点,所以x1+x2=2+,y1+y2=k(x1+x2-2)=,所以点P的坐标为.由题知,直线l2的斜率为-,同理可得点Q的坐标为(1+2k2,-2k),当k≠±1时,有1+≠1+2k2,此时直线PQ的斜率kPQ==,所以,直线PQ的方程为y+2k=(x-1-2k2),整理得yk2+(x-3)k-y=0.所以直线PQ恒过定点(3,0).当k=±1时,直线PQ的方程为x=3,也过点(3,0).
所以直线PQ恒过定点(3,0).18.(2019浙江名校新高考研究联盟第一次联考,21)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(-2,8),且|MF|=4.(1)求抛物线的方程;(2)设A,B是抛物线上的两点,当F为△ABM的垂心时,求直线AB的方程.解析 (1)由题意得|MF|==4,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(5分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为F是△ABM的垂心,所以MF⊥AB,所以kMF·kAB=-1,故kAB=,(7分)所以设直线AB的方程为x=2y+n,与y2=8x联立得y2-16y-8n=0.令Δ>0,有n>-8.y1+y2=16,y1y2=-8n.(10分)因为F是△ABM的垂心,所以MA⊥FB.即x1x2-2x1+2x2-4+y1y2-8y2=0①,同理,x1x2-2x2+2x1-4+y1y2-8y1=0②,①+②得2x1x2-8+2y1y2-8(y1+y2)=0.(13分)所以n2-8n-68=0,解得n=4±2,又因为n>-8,所以直线AB的方程为x-2y-4±2=0.(15分)19.(2018浙江名校协作体联考,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0),且抛物线C在点P(1,f(1))
处的切线斜率为.直线l与抛物线交于不同的两点A,B,且直线AP垂直于直线BP.(1)求证:直线l过定点,并求出定点坐标;(2)直线BP交y轴于点M,直线AP交x轴于点N,求的最大值.解析 (1)证明:y=,y'=x.当x=1时,得=,∴p=2.∴抛物线的方程为x2=4y.设A(2t1,),B(2t2,),∵AP⊥BP,P,∴kAP·kBP=·=-1,∴t1t2+(t1+t2)+=0(*),又∵kAB==,∴直线AB的方程为y-=(x-2t1),即2y=(t1+t2)x-2t1t2,将(*)式代入直线AB的方程得(t1+t2)(x+1)+-2y=0,令x+1=0,-2y=0,解得直线AB过定点.
(2)设直线BM的方程为y-=k(x-1),不妨设k>0,联立得x2-4kx+4k-1=0,Δ=16k2-16k+4>0,根据根与系数的关系得xB+xP=4k,∴xB=4k-1,由于AP⊥BP,同理可得xA=--1,又∵xN=+1,xM=0,∴|AP||BP|=|xP-xA|·|xB-xP|=·(4k-2)=,|MP||NP|=|xP-xM|·|xN-xP|=,∴=×==16=-32+50≤50,∴的最大值为50.
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