§9.4 双曲线专题检测【3年模拟】1.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为( )A.-=1 B.-y2=1C.-=1 D.-=1答案 A 设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1,由点到直线的距离公式可得=1,解得k=±.又因为双曲线经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),将(2,1)代入可得-=1,由得故所求双曲线的标准方程为-=1.故选A.一题多解 设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),将(2,1)代入方程可得,4m-n=1①.双曲线的渐近线方程为y=±x,圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,可得=1,即=3②,由①②可得m=,n=,所以该双曲线的标准方程为-=1,故选A.解后反思 用待定系数法求双曲线的方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.
2.(多选题)已知双曲线的方程为-y2=1,则双曲线的( )A.离心率为B.渐近线方程为y=±xC.共轭双曲线为-x2=1D.焦点在曲线x2-|x|+ty2=0(t∈R)上答案 AD 由双曲线的方程为-y2=1,可得a=2,b=1,又c2=a2+b2,所以c==,所以双曲线的离心率为=,故A正确;双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故B错误;由双曲线的方程为-y2=1,得其共轭双曲线为y2-=1,故C错误;由双曲线的方程为-y2=1,得焦点为(±,0),代入曲线的方程x2-|x|+ty2=0(t∈R),满足方程,故D正确.故选AD.3.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是该双曲线上的一点,且|PF1|=10,则|PF2|=( )A.2或18 B.2 C.18 D.4答案 C 由已知得a=4,b=4,
又c2=a2+b2,所以c=8,因为|PF1|=10
b>0)的右焦点,A、B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,AF⊥BF,且AF的中点在双曲线C上,则C的离心率为( )A.-1 B. C. D.+1答案 A 本题考查双曲线的几何性质,通过双曲线的几何性质考查学生分析问题、处理问题的能力,体现直观想象、数学运算的核心素养.因为a>b>0,所以10,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1作
圆x2+y2=a2的切线,交双曲线右支于点M,若∠F1MF2=45°,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x答案 C 如图,设直线F1M与圆O的切点为A,连接OA,作F2B⊥F1M于点B.则|OA|=a,|F2B|=|BM|=2a,|F2M|=2a,|F1B|=2b.又点M在双曲线右支上,∴|F1M|-|F2M|=2a+2b-2a=2a,整理得b=a,即=,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.故选C.6.(2020浙江湖州期末,6)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l交双曲线于P,Q两点,若PQ长为5,则△PQF1的周长是( )A.13 B.18 C.21 D.26答案 D 本题主要考查双曲线的定义运用.若直线l与双曲线的两支均相交,则|PQ|≥2a=8,这与已知矛盾,所以l与双曲线的右支交于点P、Q.由双曲线的定义知所以△PQF1的周长为|PQ|+|PF1|+|QF1|=2|PQ|+4a=2×5+4×4=26,故选D.7.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),8)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,P是双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的内切圆半径为,则该双曲线的离心率为
( )A.-1 B. C. D.+1答案 C 由题意知即由①2+②2得2(+)=5a2+4ac+4c2,即8c2=5a2+4ac+4c2,故4e2-4e-5=0,解得e=(负的已舍),故选C.8.(2020北京十四中期中,10)双曲线-y2=1的渐近线方程为 . 答案 y=±x解析 由双曲线-y2=1得a=2,b=1,焦点在x轴上,∴双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x=±x.思路分析 由双曲线的方程确定双曲线的焦点所在坐标轴,以及a,b,从而确定双曲线的渐近线方程.9.(2020湖北武汉月考)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),过F1且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B,若(+)·=0,则C的离心率为 . 答案 解析 由(+)·=(+)·(-)=-=0得|BF2|=|BA|,根据双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,
所以|AF1|=|BF1|-|BA|=2a,因此|AF2|=2a+|AF1|=4a,因为直线AB的斜率为,所以∠AF1F2=60°,又|F1F2|=2c,所以cos60°===,即c2-ac-3a2=0,所以e2-e-3=0,解得e=或e=(舍,双曲线的离心率大于1).思路分析 先由(+)·=0,得出|BF2|=|BA|,再由双曲线的定义求出|AF1|=|BF1|-|BA|=2a,|AF2|=2a+|AF1|=4a,根据直线AB的斜率得到∠AF1F2=60°,由余弦定理列出方程求解,即可得出结果.10.(2018江苏高邮中学阶段考试,9)如图所示,F1和F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心、OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该双曲线的离心率为 . 答案 +1解析 由题意得|AF2|=|F1F2|·cos30°=c,|AF1|=|F1F2|·sin30°=c.由双曲线的定义得
|AF2|-|AF1|=2a,即2a=(-1)c,∴e===+1.11.(2018江苏扬州期末检测,10)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-6y+5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是 . 答案 解析 圆x2+y2-6y+5=0的标准方程为x2+(y-3)2=4,双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,由条件知圆心到渐近线的距离大于半径,从而有>2,∴3a>2c,∴e<,又e>1,∴10)的两条渐近线与圆O:x2+y2=2的四个交点依次为A,B,C,D.若矩形ABCD的面积为b,则b的值为 . 答案 解析 双曲线的渐近线方程为y=±bx,与圆的方程联立,解得由对称性知矩形ABCD的面积b=4|xy|=4,解得b=.解题关键 本题关键是抓住对称性,得到矩形ABCD的面积b=4|xy|.13.(2018南通高三调研,7)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C与双曲线x2-=1有公共的渐近线,且经过点P(-2,),则双曲线C的焦距为 .
答案 4解析 ∵双曲线C与双曲线x2-=1有公共的渐近线,∴设双曲线C的方程为x2-=λ(λ>0),∵双曲线C经过点P(-2,),∴λ=4-1=3.∴双曲线C的方程为-=1.∴双曲线C的焦距为2=4.方法归纳 与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ>0),此种方法比用基本量求a,b要简单.14.(2017安徽池州模拟,15)已知椭圆+=1的右焦点F到双曲线E:-=1(a>0,b>0)的渐近线的距离小于,则双曲线E的离心率的取值范围是 . 答案 (1,2)解析 椭圆+=1的右焦点F为(2,0),不妨取双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为bx+ay=0,则F到渐近线bx+ay=0的距离d=<,即有2b1,∴10)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线的右支于点B,则△F1AB的面积等于 . 答案 4解析 由题意知a=1,由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,∴|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,∴|BA|=|BF1|,∴△BAF1为等腰三角形,∵∠F1AF2=45°,∴∠ABF1=90°,∴△BAF1为等腰直角三角形.∴|BA|=|BF1|=|AF1|=×4=2.∴=|BA|·|BF1|=×2×2=4.16.(2017河南百校联盟质检,16)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为 .
答案 解析 由双曲线定义得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c-2a,因为F1A∥F2B,所以∠F2F1A+∠F1F2B=180°,所以cos∠F2F1A=-cos∠F1F2B,结合余弦定理得=-,所以2e2-3e-1=0,又e>1,所以e=.17.(2018浙江名校协作体联考,16)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F的直线l与双曲线的渐近线交于A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若=3,则此双曲线的离心率为 . 答案 解析 设渐近线l1的倾斜角为θ,且AB⊥l1,则由题意知tanθ=,且满足tan2θ=4tanθ,利用二倍角公式展开,知=4tanθ,故tan2θ=,所以=,即e2=,因此e=.18.(2018江苏启东中学月考)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解析 (1)由题意知c=,设椭圆方程为+=1(a>b>0),双曲线方程为-=1(m>0,n>0),则解得a=7,m=3.则b=6,n=2.故椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2===.
2022新高考数学人教A版一轮总复习训练9.4双曲线专题检测（带解析）
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§9.4 双曲线专题检测【3年模拟】1.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为( )A.-=1 B.-y2=1C.-=1 D.-=1答案 A 设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1,由点到直线的距离公式可得=1,解得k=±.又因为双曲线经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),将(2,1)代入可得-=1,由得故所求双曲线的标准方程为-=1.故选A.一题多解 设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),将(2,1)代入方程可得,4m-n=1①.双曲线的渐近线方程为y=±x,圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,可得=1,即=3②,由①②可得m=,n=,所以该双曲线的标准方程为-=1,故选A.解后反思 用待定系数法求双曲线的方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.
2.(多选题)已知双曲线的方程为-y2=1,则双曲线的( )A.离心率为B.渐近线方程为y=±xC.共轭双曲线为-x2=1D.焦点在曲线x2-|x|+ty2=0(t∈R)上答案 AD 由双曲线的方程为-y2=1,可得a=2,b=1,又c2=a2+b2,所以c==,所以双曲线的离心率为=,故A正确;双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故B错误;由双曲线的方程为-y2=1,得其共轭双曲线为y2-=1,故C错误;由双曲线的方程为-y2=1,得焦点为(±,0),代入曲线的方程x2-|x|+ty2=0(t∈R),满足方程,故D正确.故选AD.3.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是该双曲线上的一点,且|PF1|=10,则|PF2|=( )A.2或18 B.2 C.18 D.4答案 C 由已知得a=4,b=4,
又c2=a2+b2,所以c=8,因为|PF1|=10<a+c=12,所以点P在该双曲线左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=2×4+10=18,故选C.4.(2020北大附中周测,8)已知F为双曲线C:-=1(a>b>0)的右焦点,A、B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,AF⊥BF,且AF的中点在双曲线C上,则C的离心率为( )A.-1 B. C. D.+1答案 A 本题考查双曲线的几何性质,通过双曲线的几何性质考查学生分析问题、处理问题的能力,体现直观想象、数学运算的核心素养.因为a>b>0,所以1<e<,双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,由渐近线上的点A、B关于原点对称,AF⊥BF,可得AO=OB=OF=c.①当A(-a,b)时,F(c,0),可得AF的中点坐标为,所以-=1,即=5,解得e=+1(舍去)或e=-+1(舍去),②如图,当A(a,-b)时,F(c,0),可得AF的中点坐标为,所以-=1,即=5,解得e=-1或e=--1(舍去),故选A.思路分析 首先写出双曲线的渐近线方程,求得点A的坐标,然后求AF的中点,代入双曲线方程即可求解.5.(2020湖北黄冈中学期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1作
圆x2+y2=a2的切线,交双曲线右支于点M,若∠F1MF2=45°,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x答案 C 如图,设直线F1M与圆O的切点为A,连接OA,作F2B⊥F1M于点B.则|OA|=a,|F2B|=|BM|=2a,|F2M|=2a,|F1B|=2b.又点M在双曲线右支上,∴|F1M|-|F2M|=2a+2b-2a=2a,整理得b=a,即=,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.故选C.6.(2020浙江湖州期末,6)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l交双曲线于P,Q两点,若PQ长为5,则△PQF1的周长是( )A.13 B.18 C.21 D.26答案 D 本题主要考查双曲线的定义运用.若直线l与双曲线的两支均相交,则|PQ|≥2a=8,这与已知矛盾,所以l与双曲线的右支交于点P、Q.由双曲线的定义知所以△PQF1的周长为|PQ|+|PF1|+|QF1|=2|PQ|+4a=2×5+4×4=26,故选D.7.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),8)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,P是双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的内切圆半径为,则该双曲线的离心率为
( )A.-1 B. C. D.+1答案 C 由题意知即由①2+②2得2(+)=5a2+4ac+4c2,即8c2=5a2+4ac+4c2,故4e2-4e-5=0,解得e=(负的已舍),故选C.8.(2020北京十四中期中,10)双曲线-y2=1的渐近线方程为 . 答案 y=±x解析 由双曲线-y2=1得a=2,b=1,焦点在x轴上,∴双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x=±x.思路分析 由双曲线的方程确定双曲线的焦点所在坐标轴,以及a,b,从而确定双曲线的渐近线方程.9.(2020湖北武汉月考)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),过F1且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B,若(+)·=0,则C的离心率为 . 答案 解析 由(+)·=(+)·(-)=-=0得|BF2|=|BA|,根据双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,
所以|AF1|=|BF1|-|BA|=2a,因此|AF2|=2a+|AF1|=4a,因为直线AB的斜率为,所以∠AF1F2=60°,又|F1F2|=2c,所以cos60°===,即c2-ac-3a2=0,所以e2-e-3=0,解得e=或e=(舍,双曲线的离心率大于1).思路分析 先由(+)·=0,得出|BF2|=|BA|,再由双曲线的定义求出|AF1|=|BF1|-|BA|=2a,|AF2|=2a+|AF1|=4a,根据直线AB的斜率得到∠AF1F2=60°,由余弦定理列出方程求解,即可得出结果.10.(2018江苏高邮中学阶段考试,9)如图所示,F1和F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心、OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则该双曲线的离心率为 . 答案 +1解析 由题意得|AF2|=|F1F2|·cos30°=c,|AF1|=|F1F2|·sin30°=c.由双曲线的定义得
|AF2|-|AF1|=2a,即2a=(-1)c,∴e===+1.11.(2018江苏扬州期末检测,10)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-6y+5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是 . 答案 解析 圆x2+y2-6y+5=0的标准方程为x2+(y-3)2=4,双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,由条件知圆心到渐近线的距离大于半径,从而有>2,∴3a>2c,∴e<,又e>1,∴1<e<,∴离心率的取值范围是.评析 本题根据双曲线的渐近线与圆没有交点,即圆心到渐近线的距离大于半径找到基本量的关系,得到离心率的范围,是基础题.12.(2018江苏南京、盐城高三二模,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2-=1(b>0)的两条渐近线与圆O:x2+y2=2的四个交点依次为A,B,C,D.若矩形ABCD的面积为b,则b的值为 . 答案 解析 双曲线的渐近线方程为y=±bx,与圆的方程联立,解得由对称性知矩形ABCD的面积b=4|xy|=4,解得b=.解题关键 本题关键是抓住对称性,得到矩形ABCD的面积b=4|xy|.13.(2018南通高三调研,7)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C与双曲线x2-=1有公共的渐近线,且经过点P(-2,),则双曲线C的焦距为 .
答案 4解析 ∵双曲线C与双曲线x2-=1有公共的渐近线,∴设双曲线C的方程为x2-=λ(λ>0),∵双曲线C经过点P(-2,),∴λ=4-1=3.∴双曲线C的方程为-=1.∴双曲线C的焦距为2=4.方法归纳 与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ>0),此种方法比用基本量求a,b要简单.14.(2017安徽池州模拟,15)已知椭圆+=1的右焦点F到双曲线E:-=1(a>0,b>0)的渐近线的距离小于,则双曲线E的离心率的取值范围是 . 答案 (1,2)解析 椭圆+=1的右焦点F为(2,0),不妨取双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为bx+ay=0,则F到渐近线bx+ay=0的距离d=<,即有2b<c,∴4b2<3c2,∴4(c2-a2)<3c2,∴e<2,∵e>1,∴1<e<2.
失分警示 求双曲线离心率的范围时一定要注意离心率大于1的前提条件.15.(2018河北名校名师俱乐部二调,15)已知F1、F2分别是双曲线x2-=1(b>0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线的右支于点B,则△F1AB的面积等于 . 答案 4解析 由题意知a=1,由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,∴|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,∴|BA|=|BF1|,∴△BAF1为等腰三角形,∵∠F1AF2=45°,∴∠ABF1=90°,∴△BAF1为等腰直角三角形.∴|BA|=|BF1|=|AF1|=×4=2.∴=|BA|·|BF1|=×2×2=4.16.(2017河南百校联盟质检,16)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为 .
答案 解析 由双曲线定义得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c-2a,因为F1A∥F2B,所以∠F2F1A+∠F1F2B=180°,所以cos∠F2F1A=-cos∠F1F2B,结合余弦定理得=-,所以2e2-3e-1=0,又e>1,所以e=.17.(2018浙江名校协作体联考,16)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F的直线l与双曲线的渐近线交于A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若=3,则此双曲线的离心率为 . 答案 解析 设渐近线l1的倾斜角为θ,且AB⊥l1,则由题意知tanθ=,且满足tan2θ=4tanθ,利用二倍角公式展开,知=4tanθ,故tan2θ=,所以=,即e2=,因此e=.18.(2018江苏启东中学月考)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.
(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解析 (1)由题意知c=,设椭圆方程为+=1(a>b>0),双曲线方程为-=1(m>0,n>0),则解得a=7,m=3.则b=6,n=2.故椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2===.
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