§3.8　函数模型及函数的综合应用基础篇【基础集训】考点　函数模型及函数的综合应用1.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)A.　　B.C.　　D.-1答案　D2.(2021届江苏苏州开学初调研)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域产卵,记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3成正比,当v=1m/s时,鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当v=2m/s时,其耗氧量的单位数为(　　)A.1800　　B.2700　　C.7290　　D.8100答案　D3.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈(14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由. [教师专用题组]【基础集训】考点　函数模型及函数的综合应用1.动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,则动点P所走的图形可能是(　　)答案　D　对于A,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于B,在椭圆中,y与x的函数关系的图象不是对称的,不符合题意;对于C,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于D,当点P运动到AP是直径时,y最大,此时,x=,符合题意.故选D.2.(2019北京牛栏山一中期中,8)在股票买卖过程中,经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势,其中一种曲线是即时价格曲线y=f(x),一种曲线是平均价格曲线y=g(x).例如:f(2)=3表示开始交易后2小时的即时价格为3元,g(2)=4表示开始交易后2小时内所有成交股票的平均价格为4元.下列四个图中,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x).其中可能正确的是(　　) 答案　B　刚开始交易时,即时价格和平均价格应该相等,故A错误;开始交易后,平均价格应该跟随即时价格变动,即时价格与平均价格同增同减,且平均价格在任何时刻的变化幅度应该小于即时价格的变化幅度,当即时价格最低时,平均价格还没有达到最低值,平均价格的最小值大于即时价格的最小值,故C、D均错误,只有选项B满足条件,故选B.评析　考查函数的实际应用问题,要求学生学知识要学活,不能“僵化”的学习.本题同时重点考查识图、认图的能力.3.(2019北京八中10月月考,5)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/ml.如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/ml,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,他至少要经过　　　　小时才可以驾驶机动车(精确到小时)(　　) A.1　　B.2C.4　　D.6答案　C　设n小时后才可以驾驶机动车,由题意得0.3(1-50%)n≤0.02,∴≤,∴n≥4,即至少要经过4小时后才可以驾驶机动车.故选C.4.(2019陕西第一次模拟联考,16)定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且当x∈(0,1]时,f(x)=x,则下列四个命题中,正确的是　　　　　　(填序号). ①f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=0;②方程f(x)=log5|x|有5个根;③f(x)=④函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.答案　①②③④解析　定义在实数集R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,可得f(x+2)=-f(x)=f(-x),即有函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故④正确; 又f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故可得f(x)的周期为4,由x∈(0,1]时,f(x)=x,可得f(1)=1,又f(0)=0,f(2)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=504×(1+0-1+0)+1+0-1=0,故①正确;当x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],所以f(-x)=-x=-f(x),故f(x)=x(-1≤x<0),所以f(x)=x(-1≤x≤1),由f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=2-x(1≤x≤3),如图,作出y=f(x)的图象和y=log5|x|的图象,可得它们有五个交点,即方程f(x)=log5|x|有5个根,故②正确;由f(x)的周期为4,且-1≤x≤1时,f(x)=x,1≤x≤3时,f(x)=2-x,可得当-1+4k≤x≤4k+1,k∈Z时,f(x)=x-4k,1+4k≤x≤4k+3,k∈Z时,f(x)=2-x+4k,故③正确.故答案为①②③④.5.(1)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿　　　　千克. (2)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;②求羊群年增长量的最大值;③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.答案　(1) 解析　(1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k≠0,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k=,b=,所以y=x+,则当x=6时,y=.(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为,故空闲率为1-,由此可得y=kx(0<x<m);②由①,得y=-(x2-mx)=-+.即当x=时,y取得最大值;③由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄养量与年增长量的和小于最大蓄养量,即0<x+y<m.因为当x=时,ymax=,所以0<+<m,解得-2<k<2.又因为k>0,所以0<k<2.综合篇【综合集训】考法一　解函数应用题的方法1.(2019河南郑州模拟,7)某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表:记录时间累计里程(单位:千米)平均耗电量(单位:kW·h/千米)剩余续航里程(单位:千米)2019年1月1日40000.1252802019年1月2日41000.126146注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量=,剩余续航里程=下面对该车在两次记录时间段内行驶100千米的耗电量估计正确的是(　　) A.等于12.5　　B.在12.5到12.6之间C.等于12.6　　D.大于12.6答案　D2.(2021届湖南9月份百校联考,8)太阳是位于太阳系中心的恒星,其质量M大约是2×1030千克,地球是太阳系八大行星之一,其质量m大约是6×1024千克.下列各数中与最接近的是(参考数据:lg3≈0.4771,lg6≈0.7782)(　　)A.10-5.519　　B.10-5.521　　C.10-5.523　　D.10-5.525答案　C3.(2020河南南阳一中第一次月考,22)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450.每件商品的售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一产品的生产中所获利润最大,最大利润是多少?考法二　函数的综合应用4.(多选题)(2021届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学9月月考,11)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是(　　)A.y=2x3+4x　　B.y=x+sin(-x)C.y=log2|x|　　D.y=2x+2-x答案　AB5.(2019福建漳州模拟,16)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义:能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命 题:①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+)可以是某个圆的“优美函数”;③函数y=1+sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”;④函数y=2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”;⑤函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题是　　　　. 答案　①③④[教师专用题组]【综合集训】考法一　解函数应用题的方法1.(2020北京延庆一模,9)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量?(取lg2=0.3010)(　　)A.6年　　B.7年　　C.8年　　D.9年答案　B　本题考查函数的实际应用问题,考查学生灵活运用所学的函数知识分析、解决问题的能力,渗透数学建模与数学运算的核心素养,体现数学应用性的特点.A型号的产品年产量为10万支,年产量的增长率为50%,经过n年后产量为10(1+50%)n万支,B型号的产品年产量为40万支,年产量的增长率为20%,经过n年后产量为40(1+20%)n万支,A产品的年产量超过B产品的年产量,则有10(1+50%)n>40(1+20%)n,整理得nlg5>(n+1)lg4,解得n>6, 因而经过7年后,A产品的年产量超过B产品的年产量,故选B.2.(2020四川绵阳模拟,8)2020年3月,国内新冠肺炎疫情得到有效控制,人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客,推出团体购票优惠方案如表:购票人数1~5051~100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点,若分别购票,则共需支付门票费1290元;若合并成一个团队购票,则需支付门票费990元,那么这两个旅游团队的人数之差为(　　)A.20　　B.30　　C.35　　D.40答案　B　设两个旅游团队的人数分别为a,b,且a,b∈N*,不妨令a≥b.∵1290不能被13整除,∴a+b≥51.若51≤a+b≤100,则11(a+b)=990,得a+b=90,①由共需支付门票费为1290元可知,11a+13b=1290,②联立①②解得b=150,a=-60,不符合题意;若a+b>100,则9(a+b)=990,得a+b=110,③由共需支付门票费为1290元可知,1≤b≤50,51≤a≤100,得11a+13b=1290,④联立③④解得a=70,b=40.∴这两个旅游团队的人数之差为70-40=30.故选B.3.(2020江西南昌模拟,7)衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标,拟制订员工的奖励方案:在经营利润超过6万元的前提下奖励,且奖金y(单位:万元)随经营利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中,符合该要求的是(　　)(参考数据:1.015100≈4.432,lg11≈1.041)A.y=0.04x　　B.y=1.015x-1C.y=tan　　D.y=log11(3x-10) 答案　D　本题结合现实生活情境,考查了函数模型的应用,考查了数学建模的核心素养.对于函数y=0.04x,当x=100时,y=4>3,不符合题意;对于函数y=1.015x-1,当x=100时,y=3.432>3,不符合题意;对于函数y=tan,不满足在x∈(6,100]上递增,不符合题意;对于函数y=log11(3x-10),满足在x∈(6,100]上是增函数,且y≤log11(3×100-10)=log11290<log111331=3,画出y=x与y=log11(3x-10)的图象如图所示,符合题意.故选D.4.(2017北京房山一模,14)《中华人民共和国个人所得税法》规定:从2011年9月1日开始,个人所得税起征点由原来的2000元提高到3500元,也就是说原来月收入超过2000元的部分需要纳税,从2011年9月1日开始,超过3500元的部分需要纳税,若税法修改前后超过部分的税率相同,按下表分段计税:级数全月应纳税所得额税率(%)1不超过1500元的部分32超过1500元不超过4500元的部分103超过4500元不超过9000元的部分20某职工2011年5月缴纳个人所得税295元,在收入不变的情况下,2011年10月该职工需缴纳个人所得税　　　　元. 答案　145解析　调整前,月收入为2000+1500=3500元时,需纳税1500×0.03=45元,月收入为3500+3000=6500元时,需纳税45+3000×0.1=345元,∵45<295<345,∴该职工的月收入超过3500元且不超过6500元,∴该职工在超过1500元不超过4500元的部分纳税295-45=250元,故超过1500不超过4500元的部分为250÷0.1=2500元, ∴该职工的月收入为3500+2500=6000元.∴2011年10月该职工需缴纳个人所得税1500×0.03+(6000-3500-1500)×0.1=145元.5.(2016北京西城期末,14)某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间的变化如图所示.给出以下四个结论:①该食品在6℃的保鲜时间是8小时;②当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中,所有正确结论的序号是　　　　. 答案　①④解析　∵该食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4℃的保鲜时间是16小时,∴24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,∴t=当x=6时,t=8,故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时,正确;②当x∈[-6,0]时,保鲜时间恒为64小时,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随着x 的增大而逐渐减小,故错误;③到了此日10时,温度超过8℃,此时保鲜时间不超过4小时,故到了此日13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故错误;④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故正确.故正确结论的序号为①④.考法二　函数的综合应用1.(2017四川绵阳一诊,9)已知定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),当x∈[0,1)时,f(x)=-x2+x,设f(x)在[n-1,n)上的最大值为an(n∈N*),则a3+a4+a5=(　　)A.7　　B.　　C.　　D.14答案　A　由题意知,当x∈[0,1)时,f(x)=-x2+x=-+;当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),f(x)=2f(x-1)=-2(x-1)2+2(x-1)=-2+,由函数的图象与性质可知,f(x)在[1,2)上的图象可由f(x)在[0,1)上的图象向右平移一个单位长度,并沿y轴正方向向上拉伸为原来的2倍得到,以此类推,可以在平面直角坐标系中画出f(x)的图象(如图).再根据f(x)在[n-1,n)上的最大值为an(n∈N*),结合图象,可知{an}是以为首项,2为公比的等比数列,所以a3+a4+a5=1+2+4=7.故选A.2.(2019山西吕梁模拟,12)记函数f(x)=+cosπx在区间(-2,4)上的零点分别为x=xi(i=1,2,…,n),则xi=(　　) A.5　　B.6　　C.7　　D.8答案　C　由f(x)=+cosπx=0得-=cosπx,设g(x)=-,h(x)=cosπx,则g(x)的图象关于直线x=1对称,h(x)的图象也关于直线x=1对称,作出两个函数的图象,如图,由图象知在(-2,4)上两个函数图象有7个交点,其中6个交点两两关于直线x=1对称,第7个交点的横坐标为1,设关于直线x=1对称的6个交点的横坐标从小到大为a,b,c,d,e,f,则满足===1,所以xi=3×2+1=6+1=7,故选C.3.(多选题)有一组实验数据如下表所示:x12345y1.55.913.424.137则下列所给函数模型较不适合的是(　　)A.y=logax(a>1)　　B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0)　　D.y=logax+b(a>1)答案　ABD　由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数的增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.故选ABD.4.(多选题)某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元),乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示,则(　　) A.甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元B.甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1C.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元D.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=x+E.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用答案　ABCD　由题图知甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,故A正确;甲厂的总费用y1与印制证书数量x满足的函数关系式为y1=0.5x+1,故B正确;当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5元,故C正确;易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故D正确.当x=8时,y1=0.5×8+1=5,y2=×8+=,因为当x>6时,y1>y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故E不正确.故选ABCD.5.(2018上海崇明一模,21)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”.(1)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;(2)判断函数f(x)=log2x是不是“2-利普希兹条件函数”,若是,请证明;若不是,请说明理由;(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.解析　(1)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,则存在k(k>0),使得对于定义域 [1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,不妨设x1>x2,则k≥=恒成立.∵1≤x2<x1≤4,∴<<,∴k的最小值为.(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),令x1=,x2=,则f-f=log2-log2=-1-(-2)=1,而2|x1-x2|=,∴f(x1)-f(x2)>2|x1-x2|,∴函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数”.(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期[0,2]内f(a)=M,f(b)=m,则|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b)≤|a-b|.若|a-b|≤1,显然有|f(x1)-f(x2)|≤|a-b|≤1.若|a-b|>1,不妨设a>b,则0<b+2-a<1,∴|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b+2)≤|a-b-2|<1.综上,|f(x1)-f(x2)|≤1.