中考数学复习方法技巧：角平分线训练（含答案）方法技巧专题七　角平分线训练1．与角平分线有关的判定和性质(1)角平分线的判定和性质．(2)角平分线的夹角：①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和；②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差；③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半．(3)三角形的内心及其性质．(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系．2．与角平分线有关的图形或辅助线(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形．(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形．(3)过角平分线上的点作边的垂线．一、选择题1．[2017·台州]如图F7－1，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　)A．1B．2C.D．4图F7－1图F7－22．[2017·眉山]如图F7－2，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为(　　)A．114°B．122°C．123°D．132°3．如图F7－3，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为(　　)A．4cmB．3cmC．5cmD．4cm图F7－3　　　4．如图F7－4，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC,于点E，F，则的值是(　　)图F7－4A.－1B．2＋C.＋1D.5．[2017·滨州]如图F7－5，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立．(2)OM＋ON的值不变．(3)四边形PMON的面积不变．(4)MN的长不变，其中正确的个数为(　　)图F7－5A．4　　　　B．3C．2　　　　D．1二、填空题6．[2015·常德]如图F7－6，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝________度．图F7－6图F7－77．[2016·宁夏]如图F7－7，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于________．8．[2017·十堰]如图F7－8，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D，若AC＝6，BD＝5，则BC的长为________．,图F7－8　　　　9．[2015·巴中]如图F7－9，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为________．图F7－910．如图F7－10，在▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连结EM.若▱ABCD的周长为42cm，FM＝3cm，EF＝4cm，则EM＝________cm，AB＝________cm.图F7－10三、解答题11．[2017·盐城]如图F7－11，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．图F7－11,12．[2017·临沂]如图F7－12，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．图F7－1213．[2016·滨州]如图F7－13，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连结ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．图F7－13,参考答案1．B　2．C　[解析]因为点I是内心，所以∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，因此∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝180°－(180°－66°)＝123°.3．A　[解析]连结BC，OD相交于点E，连结BD，BC＝8cm，BE＝4cm，OE＝3cm，DE＝2cm，BD＝2cm，AD＝4cm.4．C　[解析]如图，过点F作FG⊥AD于点G.依题意可知△ABC是等腰直角三角形，∴△AFG也是等腰直角三角形．设FG＝1，则AG＝1，AF＝.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝22.5°.∴∠AEB＝90°－∠ABE＝67.5°，∠AFE＝∠CAB＋∠ABE＝67.5°.∴∠AEB＝∠AFE，∴AE＝AF＝，∴EG＝－1.∵FG⊥AD，∠DAB＝90°，∴FG∥AB.∴＝＝＝＋1.故选C.5．B　[解析]结论(1)，过点P分别作OA、OB的垂线段，由于∠PEO＝∠PFO＝90°，因此∠AOB与∠EPF互补，由已知“∠MPN与∠AOB互补”，可得∠MPN＝∠EPF，可得∠MPE＝∠NPF.根据“角平分线上一点到角两边距离相等”，可证PE＝PF，即可证得Rt△PME≌Rt△PNF，因此对于结论(1)，“PM＝PN”由全等即可证得是成立的；结论(2)，也可以由全等得到ME＝NF，即可证得OM＋ON＝OE＋OF，由于OE＋OF保持不变，因此OM＋ON的值也保持不变；结论(3)，由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得这两个三角形的面积相等，因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等，因此结论(3)是正确的；结论(4)，连结EF，对于△PMN与△PEF，这两个三角形都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，所以底边MN与EF不可能相等．所以MN的长是变化的．,6．70　7.28．8　[解析]连结DA，因为∠ACB＝90°，所以AB为直径，所以∠ADB＝90°，因为CD平分∠ACB，所以BD＝AD，在△ABD中，AB＝＝＝10，在△ABC中，BC＝＝＝8.9．110．5　13　[解析]∵四边形EFMN有三个角是直角，∴四边形EFMN是矩形，∴EM＝5.易知△ADF≌△CBN，△AFD∽△AEB.∴＝＝，即3AF＝4DF.设AF＝4k，则DF＝3k，AD＝5k，AB＝5(k＋1)．∵AD＋AB＝21，∴5k＋5(k＋1)＝21，解得k＝1.6.∴AB＝13.11．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD.∴∠ABD＝∠CDB.∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB.∴∠EBD＝∠FDB.∴BE∥DF.又∵BC∥AD，∴四边形BEDF是平行四边形．(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形．理由如下：∵BE平分∠ABD，∠ABE＝30°，∴∠ABD＝60°，∠DBE＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠ADB＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.∴∠DBE＝∠ADB.∴DE＝BE.∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．12．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.,又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∴∠DBE＝∠BED，∴BD＝DE.(2)如图，连结CD.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4，∴BC＝＝4，∴△ABC外接圆的半径为2.13．解：(1)四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形．(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连结EC交BD于点H，此时HG＋HC最小，在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2，∴EM＝BE＝.∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM＝DN＝，MN＝DE＝2，在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，,∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝，∴MC＝3.在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝，MC＝3，∴EC＝＝＝10.∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，∴HG＋HC的最小值为10.