[A级　基础练]1．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(2021)＝(　　)A．－2　　　B．2C．－98D．98解析：选B．由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)．因为f(1)＝2×12＝2，所以f(2021)＝2.故选B．2．若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)A．f(3)<f(1)<f(－2)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(－2)<f(1)解析：选D．因为∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，所以当x≥0时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1)．3．已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　)A．B．C．[－1，1]D．解析：选B．因为f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以2b＋1－b＝0，所以b＝－1，因为f(x)在[2b，0]上为增函数，即函数f(x)在[－2，0]上为增函数，故函数f(x) 在(0，2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得综上，所求不等式的解集为.故选B．4．已知函数f(x)是偶函数，定义域为R，单调递增区间为[0，＋∞)，且f(1)＝0，则(x－1)f(x－1)≤0的解集为(　　)A．[－2，0]B．[－1，1]C．(－∞，0]∪[1，2]D．(－∞，－1]∪[0，1]解析：选C．由题意可知，函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(－1)＝0，令x－1＝t，则tf(t)≤0，当t≥0时，f(t)≤0，解得0≤t≤1；当t<0时，f(t)≥0，解得t≤－1，所以0≤x－1≤1或x－1≤－1，所以1≤x≤2或x≤0.故选C．5．函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)A．f(1)<f<fB．f<f<f(1)C．f<f(1)<fD．f<f(1)<f解析：选C．函数f(x＋2)是偶函数，则其图象关于y轴对称，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝2对称，则f＝f，f＝f，函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，则有f<f(1)<f，所以f<f(1)<f.故选C． 6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)．又f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)．所以f(－1)＝3.答案：37．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是________．解析：因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(2x－1)<f，所以|2x－1|<，所以<x<.答案：8．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________．解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.答案：9．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且f＝.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数． 因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(0)＝0，即b＝－1.又f＝f＝－f＝1－＝，解得a＝.(2)当x∈[0，1)时，f(x)＝ax＋b＝－1∈，由f(x)为奇函数知，当x∈(－1，0)时，f(x)∈，又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以当x∈R时，f(x)∈.10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)(x∈R)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，当a>1时，求函数g(x)的最小值．解：(1)f(x)在y轴右侧的图象如图所示． 若x>0，则－x<0，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，所以f(x)＝(2)由(1)知g(x)＝x2－2x－2ax＋2，其图象的对称轴方程为x＝a＋1，当a>1时，a＋1>2，g(x)＝x2－2x－2ax＋2在[1，2]上单调递减，则g(x)在[1，2]上的最小值为g(2)＝2－4a.[B级　综合练]11．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，若对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有<0成立，则不等式f(x)<0的解集为(　　)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1，0)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(0，1)D．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选C．令F(x)＝xf(x)，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以F(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因为f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，则F(1)＝0，因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2时，都有<0成立，所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)，故选C． 12．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)>1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，3)B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选A．由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，所以f(1)<－1，所以a2－2a－4<－1，解得－1<a<3，故选A．13．(2020·南充市第一次适应性考试)若偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，则f(101.5)＝________．解析：f(x＋3)＝－⇒f(x＋6)＝－＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6，又函数f(x)为偶函数，所以f(101.5)＝f(5.5＋6×16)＝f(5.5)＝f(－5.5)＝－＝－＝－＝.答案：14．已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数．(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1， 同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.故所求实数a的取值范围是[0，1)．[C级　提升练]15．对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)A．4和6B．3和1C．2和4D．1和2解析：选D．设g(x)＝asinx＋bx，则f(x)＝g(x)＋c，且函数g(x)为奇函数．注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c为偶数．故选D．16．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[1，＋∞)上为增函数．若x∈时，f(ax)＜f(x－1)恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：根据题意可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，1)上是减函数．由f(ax)＜f(x－1)可得|ax－1|＜|x－1－1|，即|ax－1|＜|x－2|，因为x∈，所以|x－2|＝2－x，所以上述不等式可以化为x－2＜ax－1＜2－x，即不等式组在x∈时恒成立， 从而有解得0＜a＜2，故答案为(0，2)．答案：(0，2)