2017年上海市高考数学试卷一、填空题.)1.已知集合检ǡǡǡ，集合检ǡǡ，则检________．2.若排列数检，则检________．等3.不等式的解集为________．4.已知球的体积为，则该球主视图的面积等于________．5.已知复数满足检，则检________．6.设双曲线等检的焦点为、，为该双曲线上的一点，若检，则检________．7.如图，以长方体ܥ等ܥ的顶点ܥ为坐标原点，过ܥ的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若ܥ的坐标为ǡǡ，则的坐标是________．8.定义在ǡ上的函数检函的反函数为检函等，若检等ǡ为奇函数，则函等检的解为________．函ǡ9.已知四个函数：①检等，②检等，③检，④检，从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为________．10.已知数列和，其中检，，的项是互不相等的正整数，若对lg于任意ǡ的第项等于的第项，则检________．11.设ǡ，且检，则等等的最小值等于________，sinsin12.如图，用个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合检ǡǡǡ，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧．用ܥ和ܥ分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和．若过的直线中有且只有一条满足ܥ检ܥ，则中所试卷第1页，总9页
有这样的为________．二、选择题.)检13.关于、的二元一次方程组的系数行列式ܥ为（）检A.B.C.D.14.在数列中，检等ǡ，则lim（）A.等于等B.等于C.等于D.不存在15.已知、、为实常数，数列的通项检，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是A.B.C.检D.等检16.在平面直角坐标系6中，已知椭圆检和检．为上的动点，为上的动点，是66的最大值．记＝ǡ在上ǡ在上ǡ且66检，则中元素个数为（）A.个B.个C.个D.无穷个三、解答题.)17.如图，直三棱柱等的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为和，侧棱的长为．(1)求三棱柱等的体积；(2)设是中点，求直线与平面所成角的大小．试卷第2页，总9页
18.已知函数函检cos等sin，ǡ.求函的单调递增区间；设为锐角三角形，角所对边检，角所对边检，若函检，求的面积.19.根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：，ǡ辆），其中检检，第个月底的共享单车的保有量等ǡǡ是前个月的累计投放量与累计损失量的差．求该地区第个月底的共享单车的保有量；已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量检等等（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.在平面直角坐标系6中，已知椭圆：检，为的上顶点，为上异于上、下顶点的动点，为正半轴上的动点．(1)若在第一象限，且6检，求的坐标；(2)设ǡ，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求的横坐标；(3)若检直线与交于另一点，且检，检，求直线的方程．21.设定义在上的函数函满足：对于任意的，，时，都有函函．（1）若函检，求的取值范围；（2）若函是周期函数，证明：函是常值函数；（3）设函恒大于零，是定义在上的、恒大于零的周期函数，是最大值．函数检函．证明："是周期函数”的充要条件是“函是常值函数”．试卷第3页，总9页
参考答案与试题解析2017年上海市高考数学试卷一、填空题.1.ǡ2.3.等，4.5.6.7.等ǡǡ8.9.10.11.12.、、二、选择题.13.C14.B15.A16.D三、解答题.17.解：(1)∵直三棱柱等的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为和，侧棱的长为，∴三棱柱等的体积；检检检检．试卷第4页，总9页
(2)连结∵直三棱柱等的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为和，侧棱的长为，是中点，底面，检检检，∴是直线与平面所成角，tan检检检∴直线与平面所成角的大小为．18.解：函数函检cos等sin检cos，ǡ，由等，，解得等，，当检时，，又ǡ，可得函的单调递增区间为ǡ；为锐角三角形，角所对边检，角所对边检，函检，即有cos检，解得检，即检，由余弦定理可得检等cos，化为等检，解得检或，等若检，则cos检，即为钝角，检不成立，等若检，则cos检，三角形为锐角三角形.则检，的面积为检sin检检.试卷第5页，总9页
19.解：等检等检.令，显然时恒成立，当时，有等，解得．∴第个月底，保有量达到最大．当时，为公差为等的等差数列，而为公差为的等差数列，∴到第个月底，单车保有量为等检等检，检等检，∵，∴第个月底单车保有量超过了容纳量．20.解：(1)设ǡǡ，∵椭圆检，为的上顶点，为上异于上、下顶点的动点，在第一象限，且6检，检∴联立检解得ǡ．(2)设ǡ，ǡ，ǡ，若检，则检，即等ǡ等等ǡ检，∴等等检，解得检，如图，若检，则检，即等ǡ等ǡ检，试卷第6页，总9页
∴等检，解得检或检，若检，则点在轴负半轴，不合题意．∴点的横坐标为或，或．(3)设cosǡsin，∵检，ǡ∴cosǡsin等，又设cosǡsin，ǡ，∵检，检cos等sin，整理得：检cos，∵检cos等cos,sin等sin等，检等cosǡ等sin，检，∴cos等cos检等cos，且sin等sin等检等sin，∴cos检等cos，且sin检等sin，以上两式平方相加，整理得sinsin等检ǡsin检，或sin检等（舍去），等sin此时，直线的斜率检等检（负值已舍去），如图∴直线为检cos试卷第7页，总9页
．21.解：(1)由函函，得函等函检等，，等，得，故的范围是ǡ．(2)证明：若函是周期函数，记其周期为，任取，则有函检函，由题意，对任意，，函函，∴函检函检函，又∵函检函ǡ，并且等，等等，等等ǡǡ，检∴对任意，函检函检，为常数；(3)证明：充分性：若函是常值函数，记函检，设的一个周期为，则检对任意，检检检，故是周期函数；必要性：若是周期函数，记其一个周期为若存在ǡ使得函，函，则由题意可知，，那么必然存在正整数，使得，∴函函，且检，又检函而检函矛盾，综上，函恒成立．由函恒成立，任取则必存在使得等等，即等，等，，等，等等ǡ等等ǡǡǡ检，等，等等ǡǡ，检，检函检等检等函等∵检等ǡ函函等，因此若检等，必有检检等，且函检函等检，试卷第8页，总9页
而由（2）证明可知，对任意，函检函检为常数．综上，必要性得证．试卷第9页，总9页
2017年上海市高考数学试卷一、填空题.)1.已知集合检ǡǡǡ，集合检ǡǡ，则检________．2.若排列数检，则检________．等3.不等式的解集为________．4.已知球的体积为，则该球主视图的面积等于________．5.已知复数满足检，则检________．6.设双曲线等检的焦点为、，为该双曲线上的一点，若检，则检________．7.如图，以长方体ܥ等ܥ的顶点ܥ为坐标原点，过ܥ的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若ܥ的坐标为ǡǡ，则的坐标是________．8.定义在ǡ上的函数检函的反函数为检函等，若检等ǡ为奇函数，则函等检的解为________．函ǡ9.已知四个函数：①检等，②检等，③检，④检，从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为________．10.已知数列和，其中检，，的项是互不相等的正整数，若对lg于任意ǡ的第项等于的第项，则检________．11.设ǡ，且检，则等等的最小值等于________，sinsin12.如图，用个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合检ǡǡǡ，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧．用ܥ和ܥ分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和．若过的直线中有且只有一条满足ܥ检ܥ，则中所试卷第1页，总9页
有这样的为________．二、选择题.)检13.关于、的二元一次方程组的系数行列式ܥ为（）检A.B.C.D.14.在数列中，检等ǡ，则lim（）A.等于等B.等于C.等于D.不存在15.已知、、为实常数，数列的通项检，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是A.B.C.检D.等检16.在平面直角坐标系6中，已知椭圆检和检．为上的动点，为上的动点，是66的最大值．记＝ǡ在上ǡ在上ǡ且66检，则中元素个数为（）A.个B.个C.个D.无穷个三、解答题.)17.如图，直三棱柱等的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为和，侧棱的长为．(1)求三棱柱等的体积；(2)设是中点，求直线与平面所成角的大小．试卷第2页，总9页
18.已知函数函检cos等sin，ǡ.求函的单调递增区间；设为锐角三角形，角所对边检，角所对边检，若函检，求的面积.19.根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：，ǡ辆），其中检检，第个月底的共享单车的保有量等ǡǡ是前个月的累计投放量与累计损失量的差．求该地区第个月底的共享单车的保有量；已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量检等等（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.在平面直角坐标系6中，已知椭圆：检，为的上顶点，为上异于上、下顶点的动点，为正半轴上的动点．(1)若在第一象限，且6检，求的坐标；(2)设ǡ，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求的横坐标；(3)若检直线与交于另一点，且检，检，求直线的方程．21.设定义在上的函数函满足：对于任意的，，时，都有函函．（1）若函检，求的取值范围；（2）若函是周期函数，证明：函是常值函数；（3）设函恒大于零，是定义在上的、恒大于零的周期函数，是最大值．函数检函．证明："是周期函数”的充要条件是“函是常值函数”．试卷第3页，总9页
参考答案与试题解析2017年上海市高考数学试卷一、填空题.1.ǡ2.3.等，4.5.6.7.等ǡǡ8.9.10.11.12.、、二、选择题.13.C14.B15.A16.D三、解答题.17.解：(1)∵直三棱柱等的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为和，侧棱的长为，∴三棱柱等的体积；检检检检．试卷第4页，总9页
(2)连结∵直三棱柱等的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为和，侧棱的长为，是中点，底面，检检检，∴是直线与平面所成角，tan检检检∴直线与平面所成角的大小为．18.解：函数函检cos等sin检cos，ǡ，由等，，解得等，，当检时，，又ǡ，可得函的单调递增区间为ǡ；为锐角三角形，角所对边检，角所对边检，函检，即有cos检，解得检，即检，由余弦定理可得检等cos，化为等检，解得检或，等若检，则cos检，即为钝角，检不成立，等若检，则cos检，三角形为锐角三角形.则检，的面积为检sin检检.试卷第5页，总9页
19.解：等检等检.令，显然时恒成立，当时，有等，解得．∴第个月底，保有量达到最大．当时，为公差为等的等差数列，而为公差为的等差数列，∴到第个月底，单车保有量为等检等检，检等检，∵，∴第个月底单车保有量超过了容纳量．20.解：(1)设ǡǡ，∵椭圆检，为的上顶点，为上异于上、下顶点的动点，在第一象限，且6检，检∴联立检解得ǡ．(2)设ǡ，ǡ，ǡ，若检，则检，即等ǡ等等ǡ检，∴等等检，解得检，如图，若检，则检，即等ǡ等ǡ检，试卷第6页，总9页
∴等检，解得检或检，若检，则点在轴负半轴，不合题意．∴点的横坐标为或，或．(3)设cosǡsin，∵检，ǡ∴cosǡsin等，又设cosǡsin，ǡ，∵检，检cos等sin，整理得：检cos，∵检cos等cos,sin等sin等，检等cosǡ等sin，检，∴cos等cos检等cos，且sin等sin等检等sin，∴cos检等cos，且sin检等sin，以上两式平方相加，整理得sinsin等检ǡsin检，或sin检等（舍去），等sin此时，直线的斜率检等检（负值已舍去），如图∴直线为检cos试卷第7页，总9页
．21.解：(1)由函函，得函等函检等，，等，得，故的范围是ǡ．(2)证明：若函是周期函数，记其周期为，任取，则有函检函，由题意，对任意，，函函，∴函检函检函，又∵函检函ǡ，并且等，等等，等等ǡǡ，检∴对任意，函检函检，为常数；(3)证明：充分性：若函是常值函数，记函检，设的一个周期为，则检对任意，检检检，故是周期函数；必要性：若是周期函数，记其一个周期为若存在ǡ使得函，函，则由题意可知，，那么必然存在正整数，使得，∴函函，且检，又检函而检函矛盾，综上，函恒成立．由函恒成立，任取则必存在使得等等，即等，等，，等，等等ǡ等等ǡǡǡ检，等，等等ǡǡ，检，检函检等检等函等∵检等ǡ函函等，因此若检等，必有检检等，且函检函等检，试卷第8页，总9页
而由（2）证明可知，对任意，函检函检为常数．综上，必要性得证．试卷第9页，总9页
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