2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.)1.设，则不等式െ͵的解集为________．െ2.设，其中为虚数单位，则푚________．3.已知平行直线，，则，的距离________．4.某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为米），米）㈮，米）⸵，米㈮，米⸵，米）），则这组数据的中位数是________（米）．5.已知点െ点⸵在函数的图象上，则的反函数________．6.在正四棱柱ܤܥܤܥ中，底面ܤܥ的边长为െ，ܤܥ与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于________．െ7.方程െsincos在区间点上的解为________．െ8.在的二项式中，所有的二项式系数之和为⸵，则常数项等于________．9.已知ܤ的三边长分别为െ，⸵，），则该三角形的外接圆半径等于________．点10.设‸，‸，若关于，的方程组无解，则的取值范围为________．11.无穷数列由个不同的数组成，为的前项和．若对任意，点െ，则的最大值为________．12.在平面直角坐标系中，已知点，ܤ点，是曲线上一个动点，则ܤܤ的取值范围是________．13.设，，点，若对于任意实数都有sinെsin，െ则满足条件的有序实数组点点的组数为________．14.如图，在平面直角坐标系系中，系为正八边形米米米㈮的中心，点，任取不同的两点，，点满足系系系，则点落在第一象限的概率是________．二、选择题（5×4=20分）)15.设，则“‸”是“‸”的试卷第1页，总8页
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是()A.⸵cosB.⸵sinC.⸵cosD.⸵sin17.已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且lim，下列条件中，使得͵恒成立的是()A.‸，米͵͵米）B.͵，米）͵͵米C.‸，米）͵͵米㈮D.͵，米㈮͵͵米）18.设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是()A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）)19.将边长为的正方形（及其内部）绕系系旋转一周形成圆柱，如图，长为，െܤ长为，其中ܤ与在平面系系的同侧．െ求三棱锥系ܤ的体积；求异面直线ܤ与所成的角的大小．20.有一块正方形0.，所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到0点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到0点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到0点的距离相等，现建试卷第2页，总8页
立平面直角坐标系，其中原点系为0的中点，点0的坐标为点，如图求菜地内的分界线的方程；㈮菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的经验值为．设െ是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形系.的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”．21.双曲线‸的左、右焦点分别为0，0，直线过0且与双曲线交于，ܤ两点．直线的倾斜角为，0ܤ是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；设െ，若的斜率存在，且00ܤܤ，求的斜率．22.已知，函数log．当⸵时，解不等式‸；若关于的方程log⸵的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；െ设‸，若对任意点，函数在区间点上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．23.若无穷数列满足：只要点，必有，则称具有性质．若具有性质，且，，െ，⸵，）㈮，求െ；若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，⸵；⸵㈮，，判断是否具有性质，并说明理由；െ设是无穷数列，已知sin，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．试卷第3页，总8页
参考答案与试题解析2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.点2.െ⸵3.⸵4.米）5.log6.⸵7.或8.）െ9.െ10.点11.12.点13.⸵14.㈮二、选择题（5×4=20分）15.A16.D17.B18.D三、解答题（74分）19.解：连结ܤ，试卷第4页，总8页
∵ܤ长为െ∴系ܤ系ܤ，െ∴系ܤ为正三角形，െ∴系ܤ，െ系ܤെ系系系ܤ．设点ܤ在下底面圆周的射影为ܤ，连结ܤܤ，则ܤܤ，∴ܤܤ为直线ܤ与所成角（或补角），ܤܤ，连结ܤ，ܤ系，系，则系ܤ系ܤ，系，െെ∴ܤ系，െ∴ܤ系为正三角形，∴ܤܤ系，∴tanܤܤ⸵，∴直线ܤ与所成角大小为⸵．20.解：设分界线上任意一点为点，由题意得，整理得：，.如图，过作ܥ轴，因为是上纵坐标为的点，设点，则，∴，⸵⸵∴设所表述的矩形面积为െ，则െ，设五边形系.的面积为，试卷第5页，总8页
⸵െ则െ系.䁙，㈮⸵㈮െ，͵，െെ∴五边形系.的面积更接近的面积．21.解：∵双曲线‸，则，，∵直线过0且与双曲线交于，ܤ两点，直线的倾斜角为，0ܤ是等边三角形，െ可得：点，可得：，整理得െ，即െ，又‸，解得．所求双曲线方程为：，其渐近线方程为．∵െ，，，∴，∴双曲线，െ∴0点，0点．设点，ܤ点，直线的斜率为：，直线的方程为：，由题意可得：，െ消去可得：െെ，െ‸，可得，െ则െെ．∵0点，0ܤ点，00ܤܤ，∴点点，即，整理得，െെെ∴，⸵⸵解得．⸵⸵∴的斜率为：．⸵试卷第6页，总8页
22.解：当⸵时，log⸵，由‸得log⸵‸，即⸵‸，则‸，则‸，则‸或͵，即不等式的解集为‸或͵．由log⸵，得loglog⸵．即loglog⸵，即⸵‸，①则⸵，即，②当时，方程②的解为，代入①，成立，当െ时，方程②的解为，代入①，成立，当且െ时，方程②的解为或，若是方程①的解，则‸，即‸，若是方程①的解，则‸，即‸，则要使方程①有且仅有一个解，则͵．综上，若方程log⸵的解集中恰好有一个元素，则的取值范围是͵，或െ或．െ函数在区间点上单调递减，由题意得，即loglog，即，即，设，则，，െ当时，，െ当͵时，，െെ∵在点上递减，⸵∴，试卷第7页，总8页
∴⸵，െെെെ∴实数的取值范围是．െ23.解：∵⸵，∴െ，）െ，∴⸵㈮，）㈮，∴െ．设无穷数列的公差为：，无穷数列的公比为，则‸，⸵㈮，∴，∴⸵，⸵又，㈮∴，െ⸵∴െ⸵∴⸵．െ∵⸵㈮，െ而）㈮，，即，െെ∴不具有性质．െ充分性：若是常数列，设，则sin，若存在，使得，则sinsin，故具有性质．必要性：若对于任意，具有性质，则sin，设函数，sin，由，图象可得，对于任意的，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个，使得sin，∴sin，∴，故sinsin，∴是常数列．试卷第8页，总8页
2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.)1.设，则不等式െ͵的解集为________．െ2.设，其中为虚数单位，则푚________．3.已知平行直线，，则，的距离________．4.某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为米），米）㈮，米）⸵，米㈮，米⸵，米）），则这组数据的中位数是________（米）．5.已知点െ点⸵在函数的图象上，则的反函数________．6.在正四棱柱ܤܥܤܥ中，底面ܤܥ的边长为െ，ܤܥ与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于________．െ7.方程െsincos在区间点上的解为________．െ8.在的二项式中，所有的二项式系数之和为⸵，则常数项等于________．9.已知ܤ的三边长分别为െ，⸵，），则该三角形的外接圆半径等于________．点10.设‸，‸，若关于，的方程组无解，则的取值范围为________．11.无穷数列由个不同的数组成，为的前项和．若对任意，点െ，则的最大值为________．12.在平面直角坐标系中，已知点，ܤ点，是曲线上一个动点，则ܤܤ的取值范围是________．13.设，，点，若对于任意实数都有sinെsin，െ则满足条件的有序实数组点点的组数为________．14.如图，在平面直角坐标系系中，系为正八边形米米米㈮的中心，点，任取不同的两点，，点满足系系系，则点落在第一象限的概率是________．二、选择题（5×4=20分）)15.设，则“‸”是“‸”的试卷第1页，总8页
A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是()A.⸵cosB.⸵sinC.⸵cosD.⸵sin17.已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且lim，下列条件中，使得͵恒成立的是()A.‸，米͵͵米）B.͵，米）͵͵米C.‸，米）͵͵米㈮D.͵，米㈮͵͵米）18.设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是()A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）)19.将边长为的正方形（及其内部）绕系系旋转一周形成圆柱，如图，长为，െܤ长为，其中ܤ与在平面系系的同侧．െ求三棱锥系ܤ的体积；求异面直线ܤ与所成的角的大小．20.有一块正方形0.，所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到0点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到0点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到0点的距离相等，现建试卷第2页，总8页
立平面直角坐标系，其中原点系为0的中点，点0的坐标为点，如图求菜地内的分界线的方程；㈮菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的经验值为．设െ是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形系.的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”．21.双曲线‸的左、右焦点分别为0，0，直线过0且与双曲线交于，ܤ两点．直线的倾斜角为，0ܤ是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；设െ，若的斜率存在，且00ܤܤ，求的斜率．22.已知，函数log．当⸵时，解不等式‸；若关于的方程log⸵的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；െ设‸，若对任意点，函数在区间点上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．23.若无穷数列满足：只要点，必有，则称具有性质．若具有性质，且，，െ，⸵，）㈮，求െ；若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，⸵；⸵㈮，，判断是否具有性质，并说明理由；െ设是无穷数列，已知sin，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．试卷第3页，总8页
参考答案与试题解析2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.点2.െ⸵3.⸵4.米）5.log6.⸵7.或8.）െ9.െ10.点11.12.点13.⸵14.㈮二、选择题（5×4=20分）15.A16.D17.B18.D三、解答题（74分）19.解：连结ܤ，试卷第4页，总8页
∵ܤ长为െ∴系ܤ系ܤ，െ∴系ܤ为正三角形，െ∴系ܤ，െ系ܤെ系系系ܤ．设点ܤ在下底面圆周的射影为ܤ，连结ܤܤ，则ܤܤ，∴ܤܤ为直线ܤ与所成角（或补角），ܤܤ，连结ܤ，ܤ系，系，则系ܤ系ܤ，系，െെ∴ܤ系，െ∴ܤ系为正三角形，∴ܤܤ系，∴tanܤܤ⸵，∴直线ܤ与所成角大小为⸵．20.解：设分界线上任意一点为点，由题意得，整理得：，.如图，过作ܥ轴，因为是上纵坐标为的点，设点，则，∴，⸵⸵∴设所表述的矩形面积为െ，则െ，设五边形系.的面积为，试卷第5页，总8页
⸵െ则െ系.䁙，㈮⸵㈮െ，͵，െെ∴五边形系.的面积更接近的面积．21.解：∵双曲线‸，则，，∵直线过0且与双曲线交于，ܤ两点，直线的倾斜角为，0ܤ是等边三角形，െ可得：点，可得：，整理得െ，即െ，又‸，解得．所求双曲线方程为：，其渐近线方程为．∵െ，，，∴，∴双曲线，െ∴0点，0点．设点，ܤ点，直线的斜率为：，直线的方程为：，由题意可得：，െ消去可得：െെ，െ‸，可得，െ则െെ．∵0点，0ܤ点，00ܤܤ，∴点点，即，整理得，െെെ∴，⸵⸵解得．⸵⸵∴的斜率为：．⸵试卷第6页，总8页
22.解：当⸵时，log⸵，由‸得log⸵‸，即⸵‸，则‸，则‸，则‸或͵，即不等式的解集为‸或͵．由log⸵，得loglog⸵．即loglog⸵，即⸵‸，①则⸵，即，②当时，方程②的解为，代入①，成立，当െ时，方程②的解为，代入①，成立，当且െ时，方程②的解为或，若是方程①的解，则‸，即‸，若是方程①的解，则‸，即‸，则要使方程①有且仅有一个解，则͵．综上，若方程log⸵的解集中恰好有一个元素，则的取值范围是͵，或െ或．െ函数在区间点上单调递减，由题意得，即loglog，即，即，设，则，，െ当时，，െ当͵时，，െെ∵在点上递减，⸵∴，试卷第7页，总8页
∴⸵，െെെെ∴实数的取值范围是．െ23.解：∵⸵，∴െ，）െ，∴⸵㈮，）㈮，∴െ．设无穷数列的公差为：，无穷数列的公比为，则‸，⸵㈮，∴，∴⸵，⸵又，㈮∴，െ⸵∴െ⸵∴⸵．െ∵⸵㈮，െ而）㈮，，即，െെ∴不具有性质．െ充分性：若是常数列，设，则sin，若存在，使得，则sinsin，故具有性质．必要性：若对于任意，具有性质，则sin，设函数，sin，由，图象可得，对于任意的，二者图象必有一个交点，∴一定能找到一个，使得sin，∴sin，∴，故sinsin，∴是常数列．试卷第8页，总8页
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