2014年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）)1.若＝，则＝________．2.计算：끴뀸䱣＝________（为虚数单位）．3.、、、、这五个数的中位数是________．4.若函数끴䱣＝뀸为奇函数，则实数＝________．5.点끴㔹㠮㔹䱣到直线뀸ݕ＝㔹的距离是________．6.函数________．7.已知等差数列的首项为，公差为，则该数列的前项和________．8.已知cos，则cos＝________．9.已知、뀸．若뀸＝，则的最大值是________．10.在㔹件产品中，有件次品，从中随机取出件，则恰含件次品的概率是________（结果用数值表示）．11.某货船在处看灯塔在北偏东㔹方向，它以每小时海里的速度向正北方向航行，经过㔹分钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为________海里．ݕ12.已知函数끴䱣与끴䱣ሻ뀸ݕሻ的图象相交于点，两点，若动点ݕ满足뀸＝，则的轨迹方程是________．二、选择题)13.两条异面直线所成角的范围是（）A.끴㔹㠮䱣B.끴㔹㠮C.㔹㠮䱣D.㔹㠮14.复数뀸（为虚数单位）的共轭复数为（）A.ݕݕ.C뀸ݕ.BݕD.뀸15.如图是下列函数中某个函数的部分图象，则该函数是（）A.＝sinB.＝sinC.＝cosD.＝cos16.在끴뀸䱣的二项展开式中，项的系数为（）A.B.C.D.17.下列函数中，在上为增函数的是（）A.＝B.＝C.＝sinD.＝cosݕsin18.끴䱣sincosA.cosB.sinC.D.ݕ试卷第1页，总8页 19.设为函数끴䱣＝뀸ݕ的零点，则끴䱣㔹㔹A.끴ݕ끴.B䱣ݕ㠮ݕ㠮㔹䱣C.끴㔹㠮䱣D.끴㠮䱣20.若，，，㤵，则下列不等式成立的是（）A.B.㤵C.㤵D.㤵뀸뀸21.若两个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（）A.B.䁡C.D.22.如果数列是一个以为公比的等比数列，＝ݕ끴䱣，那么数列是（）A.以为公比的等比数列B.以ݕ为公比的等比数列C.以为公比的等比数列D.以ݕ为公比的等比数列23.若点的坐标为끴㠮䱣，曲线的方程为끴㠮䱣㔹，则끴㠮䱣㔹是点在曲线上的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件24.如图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为（）㔹A.B.C.D.三、解答题)ݕ25.已知不等式㔹的解集为，函数＝lg끴ݕ䱣的定义域为集合，求．뀸26.已知函数끴䱣＝ݕ，뀸ݕ㠮．若끴䱣＝，求＝끴䱣的最大值和最小值．27.如图，在体积为的三棱锥ݕ中，与平面垂直，＝＝，，、分别是、的中点．求异面直线与所成的角的大小（结试卷第2页，总8页 果用反三角函数值表示）．28.已知椭圆뀸＝끴㤵䱣的左焦点为，上顶点为．（1）若直线的一个方向向量为끴㠮䱣，求实数的值；（2）若，直线＝ݕ与椭圆相交于、两点，且，求实数的值．29.已知数列满足㤵㔹，双曲线ݕ끴뀸䱣．뀸（1）若＝，＝，双曲线的焦距为，ݕ，求的通项公式；（2）如图，在双曲线的右支上取点끴䁖䁖㠮䱣，过作轴的垂线，在第一象限内交的渐近线于点，联结，记的面积为．若lim＝，求lim．（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若lim＝끴㔹䱣，则lim）30.已知直角三角形的两直角边、的边长分别为，，如图，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为끴＝㠮,……,ݕ䱣．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数，点끴＝㠮,……,ݕ䱣都在这条曲试卷第3页，总8页 线上？说明理由．31.某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经和，在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为千米，乙监测点到卫星的距离为千米．假设地球赤道是一个半径为千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到㔹㔹千米）和经度（结果精确到㔹㔹）．32.如果存在非零常数，对于函数＝끴䱣定义域上的任意，都有끴뀸䱣㤵끴䱣成立，那么称函数为“函数”．（1）求证：若＝끴䱣끴䱣是单调函数，则它是“函数”；（2）若函数끴䱣＝뀸是“函数”，求实数、满足的条件．试卷第4页，总8页 参考答案与试题解析2014年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1.2.ݕ뀸3.4.㔹5.6.的反函数为ݕ끴㔹䱣뀸7.8.ݕ䁡9.10.11.12.끴ݕ끴뀸䱣ݕ䱣＝二、选择题13.B14.A15.B16.A17.D18.C19.C20.D21.B22.A23.C24.D三、解答题ݕ25.不等式㔹，即끴뀸䱣끴ݕ끴＝为集解的㔹䱣ݕ㠮䱣，뀸函数＝lg끴ݕ䱣的定义域为集合＝끴㠮뀸䱣，因此，＝끴㠮䱣．26.由끴䱣＝ݕ끴＝뀸ݕ＝䱣끴，＝得，＝뀸ݕ䱣뀸，当ݕ㠮时，끴䱣单调递减；当㠮时，끴䱣单调递增；由于끴ݕ䱣＝，끴䱣＝，끴䱣＝，所以当ݕ㠮时，끴䱣max＝，끴䱣min＝．试卷第5页，总8页 27.由，得＝，因为，所以异面直线与所成的角为，在直角三角形中，可得tan，故异面直线与所成角为arctan．28.由题意，끴ݕ㠮㔹䱣，끴㔹㠮䱣，∵直线的一个方向向量为끴㠮䱣，∴，∴，∴뀸；椭圆的方程为뀸＝，끴ݕ㠮㔹䱣直线＝ݕ䱣뀸끴得可立联圆椭与ݕ뀸＝㔹．设끴㠮䱣，끴㠮䱣则뀸뀸，뀸ݕ所以．뀸뀸故끴뀸㠮䱣끴뀸㠮䱣，뀸∴ݕݕ＝㔹，∴＝或ݕ．29.由题意，＝뀸＝ݕ，뀸则뀸뀸뀸＝뀸，两式相减得뀸ݕ＝，所以ݕ是以为首项，为公差的等差数列，得ݕ＝䱣ݕ끴뀸＝ݕ；是以为首项，为公差的等差数列，得＝뀸끴ݕ＝䱣ݕ；ݕ㠮ݕ所以끴䱣；ݕ㠮由题意，则䁖ݕ，所以뀸，뀸䁖뀸뀸双曲线的渐近线，所以，뀸끴뀸ݕ䱣，뀸뀸试卷第6页，总8页 所以limlim끴뀸ݕ䱣lim뀸뀸뀸뀸뀸뀸limlimlimlim뀸뀸뀸limlim뀸뀸뀸lim뀸lim뀸，뀸㔹뀸所以lim．30.存在满足条件的抛物线，使得对任意的正整数，点끴＝㠮,……,ݕ䱣都在这条曲线上．事实上，以为坐标原点，方向为轴，过作的垂线为轴建立直角坐标系．则끴㠮㔹䱣，끴㠮䱣，ݕ끴䱣，∴，，联立，解得끴㠮䱣，由，可得．∴存在满足条件的圆锥曲线（抛物线），使得对任意的正整数，点끴＝㠮,……,ݕ䱣都在这条曲线上．31.设地球球心为，甲、乙两个监测点分别为，，卫星位置为，则，，，四点均在赤道面上，如下图所示：故＝＝，＝，＝，在中，＝ݕ＝，故＝＝，故뀸ݕcos㔹，뀸㔹ݕ在中，cos㔹，㔹试卷第7页，总8页 故，在中，＝㔹，故뀸ݕcos㔹㔹䁡，∵㔹䁡ݕ＝㔹，故卫星所在位置的高度约为㔹千米；뀸㔹䁡ݕcos㔹䁡䁡，㔹䁡∴，由뀸＝，故卫星所在位置的经度约为．32.若＝끴䱣끴䱣是单调函数，若＝끴䱣끴䱣是增函数，则当㤵㔹时，都有끴뀸䱣㤵끴䱣成立，函数为“函数”．若＝끴䱣끴䱣是减函数，则当㔹时，都有끴뀸䱣㤵끴䱣成立，函数为“函数”．若函数끴䱣＝뀸是“函数”，则函数끴䱣＝뀸是单调函数，即̵끴䱣可能恒大于㔹或恒小于等于㔹，̵끴䱣＝끴뀸䱣̵＝뀸，∴̵끴䱣＝뀸㔹或̵끴䱣＝뀸㔹恒成立，㤵㔹㔹∴或㔹㔹∴㤵㔹且＝㔹或㔹，＝㔹，由于题目中是存在非零常数，那么完全可以取到特别大的实数更大，那么＝뀸的单调性由于过大，完全可以认为是单调增，忽略但调减的区间，所以∴实数、满足的条件是㔹．试卷第8页，总8页