2013年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分)1.不等式t的解为________．䁕2.在等差数列中，若＝t，则＝________．3.设，䁕쳌䁕䁕是纯虚数，其中是虚数单位，则＝________．4.已知t，，则________．5.已知香䁨的内角，香，䁨所对的边分别是，，，若䁕＝t，则角䁨的大小是________．6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的t紀，在一次考试中，男，女平均分数分别为、t，则这次考试该年级学生平均分数为________．7.设常数，若的二项展开式中项的系数为䁕t，则＝________．8.方程＝的实数解为________．䁕9.若coscossinsin，则cos쳌䁕䁕________．10.已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上底面圆心，，香是下底面圆周上两个不同的点，香䁨是母线，如图，若直线与香䁨所成角的大小为，则________．11.盒子中装有编号为，，，，，，的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）12.设香是椭圆Γ的长轴，点䁨在Γ上，且䁨香，若香＝，香䁨，则Γ的两个焦点之间的距离为________.13.设常数常t，若对一切正实数成立，则的取值范围为.试卷第1页，总7页
14.已知正方形香䁨的边长为，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以䁨为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若，，，，且，，则쳌䁕쳌䁕的最小值是________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分)15.函数쳌䁕＝䁕쳌t䁕的反函数为䁕쳌䁕，则䁕쳌䁕的值是（）A.B.䁕C.D.䁕16.设常数，集合쳌䁕䁕쳌䁕䁕t，香䁕，若香，则的取值范围为쳌䁕A.쳌䁕䁕B.쳌䁕C.쳌䁕D.䁕17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件18.记椭圆围成的区域（含边界）为쳌＝,…䁕，当点쳌䁕分别在，，…上时，的最大值分别是，，…，则lim＝（）A.tB.C.D.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤)19.如图，正三棱锥䁕香䁨的底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．20.甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求t），每一小时可获得的利润是tt쳌䁕䁕元．（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为tt쳌䁕䁕元；（2）要使生产tt千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21.已知函数쳌䁕sin쳌䁕，其中常数常t．试卷第2页，总7页
쳌䁕令，判断函数쳌䁕쳌䁕쳌䁕的奇偶性，并说明理由．쳌䁕令，将函数쳌䁕的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数䁪쳌䁕的图象，对任意，求䁪쳌䁕在区间t上的零点个数的所有可能值．22.已知函数쳌䁕＝䁕，无穷数列满足＝쳌䁕，（1）若＝t，求，，；（2）若常t，且，，成等比数列，求的值（3）是否存在，使得，，…，，…成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由．23.如图，已知双曲线䁨䁕，曲线䁨＝，是平面内一点，若存在过点的直线与䁨，䁨都有公共点，则称为“䁨䁕䁨型点”（1）在正确证明䁨的左焦点是“䁨䁕䁨型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线＝与䁨有公共点，求证常，进而证明原点不是“䁨䁕䁨型点”；（3）求证：圆内的点都不是“䁨䁕䁨型点”.试卷第3页，总7页
参考答案与试题解析2013年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1.t2.3.䁕4.5.6.7.䁕8.log9.䁕10.11.12.13.，䁕.14.䁕二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15.A16.B17.A18.D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.解：∵䁕香䁨是正三棱锥，其底面三角形香䁨是边长为的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积；设是正三角形香䁨的中心，则平面香䁨，延长交香䁨于．则，，又，∴三棱锥的斜高，试卷第4页，总7页
∴三棱锥的侧面积为，∴该三棱锥的表面积为．20.生产千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是tt쳌䁕䁕元，∴获得的利润为tt쳌䁕䁕元．因此生产千克该产品所获得的利润为tt쳌䁕䁕元．生产tt千克该产品获得的利润为tttt쳌䁕䁕，t．设쳌䁕䁕，t．则쳌䁕䁕쳌䁕䁕，当且仅当＝取得最大值．故获得最大利润为tttttt元．因此甲厂应以千克/小时的速度生产，可获得最大利润tt元．21.解：쳌䁕쳌䁕sin，쳌䁕쳌䁕쳌䁕sinsin쳌䁕쳌sincos䁕，쳌䁕，쳌䁕䁕t，쳌䁕䁕쳌䁕，쳌䁕䁕䁕쳌䁕，所以，쳌䁕既不是奇函数，也不是偶函数．쳌䁕쳌䁕sin，将쳌䁕的图象向左平移个单位，再向上平移个单位后得到sin쳌䁕的图象，所以䁪쳌䁕sin쳌䁕．令䁪쳌䁕t，得或쳌䁕，因为t恰含t个周期，试卷第5页，总7页
所以当是零点时，在t上零点个数为，当不是零点时，쳌䁕也都不是零点，区间쳌䁕上恰有两个零点，故在t上有t个零点．综上，䁪쳌䁕在t上零点个数的所有可能值为或t．22.由题意，代入计算得＝，＝t，＝；＝䁕＝䁕，＝䁕＝䁕䁕，①当t时，＝䁕쳌䁕䁕＝，所以쳌䁕䁕，得＝；②当常时，＝䁕쳌䁕䁕＝䁕，所以쳌䁕䁕쳌䁕䁕，得䁕（舍去）或．综合①②得＝或．假设这样的等差数列存在，那么＝䁕，＝䁕䁕，由＝得䁕䁕＝쳌䁕，以下分情况讨论：①当常时，由쳌䁕得＝t，与常矛盾；②当t时，由쳌䁕得＝，从而＝쳌＝,…䁕，所以是一个等差数列；③当t时，则公差＝䁕＝쳌䁕䁕＝常t，因此存在使得＝쳌䁕䁕常，此时＝䁕＝䁕䁕t，矛盾．综合①②③可知，当且仅当＝时，，，…，，…成等差数列．23.（1）解：䁨的左焦点为쳌䁕t䁕，写出的直线方程可以是以下形式：䁕或쳌䁕，其中．（2）证明：因为直线＝与䁨有公共点，所以方程组有实数解，因此＝，得常．若原点是“䁨䁕䁨型点”，则存在过原点的直线与䁨、䁨都有公共点．考虑过原点与䁨有公共点的直线＝t或＝쳌常䁕．显然直线＝t与䁨无公共点．如果直线为＝쳌常䁕，则由方程组，得t，矛盾．䁕䁕所以直线＝쳌常䁕与䁨也无公共点．因此原点不是“䁨䁕䁨型点”．（3）证明：记圆，取圆内的一点，设有经过的直线与䁨，䁨都有公共点，显然不与轴垂直，故可设＝．若，由于圆夹在两组平行线＝与＝䁕之间，因此圆也夹在直线＝与＝䁕之间，从而过且以为斜率的直线与䁨无公共点，矛盾，所以常．因为与䁨由公共点，所以方程组有实数解，䁕试卷第6页，总7页
得쳌䁕䁕䁕䁕䁕＝t．因为常，所以䁕t，因此＝쳌䁕䁕쳌䁕䁕쳌䁕䁕䁕＝쳌䁕䁕t，即䁕．因为圆的圆心쳌tt䁕到直线的距离，所以，从而常䁕，得，与常矛盾．因此，圆内的点不是“䁨䁕䁨型点”．试卷第7页，总7页
2013年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分)1.不等式t的解为________．䁕2.在等差数列中，若＝t，则＝________．3.设，䁕쳌䁕䁕是纯虚数，其中是虚数单位，则＝________．4.已知t，，则________．5.已知香䁨的内角，香，䁨所对的边分别是，，，若䁕＝t，则角䁨的大小是________．6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的t紀，在一次考试中，男，女平均分数分别为、t，则这次考试该年级学生平均分数为________．7.设常数，若的二项展开式中项的系数为䁕t，则＝________．8.方程＝的实数解为________．䁕9.若coscossinsin，则cos쳌䁕䁕________．10.已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上底面圆心，，香是下底面圆周上两个不同的点，香䁨是母线，如图，若直线与香䁨所成角的大小为，则________．11.盒子中装有编号为，，，，，，的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）12.设香是椭圆Γ的长轴，点䁨在Γ上，且䁨香，若香＝，香䁨，则Γ的两个焦点之间的距离为________.13.设常数常t，若对一切正实数成立，则的取值范围为.试卷第1页，总7页
14.已知正方形香䁨的边长为，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以䁨为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若，，，，且，，则쳌䁕쳌䁕的最小值是________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分)15.函数쳌䁕＝䁕쳌t䁕的反函数为䁕쳌䁕，则䁕쳌䁕的值是（）A.B.䁕C.D.䁕16.设常数，集合쳌䁕䁕쳌䁕䁕t，香䁕，若香，则的取值范围为쳌䁕A.쳌䁕䁕B.쳌䁕C.쳌䁕D.䁕17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件18.记椭圆围成的区域（含边界）为쳌＝,…䁕，当点쳌䁕分别在，，…上时，的最大值分别是，，…，则lim＝（）A.tB.C.D.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤)19.如图，正三棱锥䁕香䁨的底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．20.甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求t），每一小时可获得的利润是tt쳌䁕䁕元．（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为tt쳌䁕䁕元；（2）要使生产tt千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21.已知函数쳌䁕sin쳌䁕，其中常数常t．试卷第2页，总7页
쳌䁕令，判断函数쳌䁕쳌䁕쳌䁕的奇偶性，并说明理由．쳌䁕令，将函数쳌䁕的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数䁪쳌䁕的图象，对任意，求䁪쳌䁕在区间t上的零点个数的所有可能值．22.已知函数쳌䁕＝䁕，无穷数列满足＝쳌䁕，（1）若＝t，求，，；（2）若常t，且，，成等比数列，求的值（3）是否存在，使得，，…，，…成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由．23.如图，已知双曲线䁨䁕，曲线䁨＝，是平面内一点，若存在过点的直线与䁨，䁨都有公共点，则称为“䁨䁕䁨型点”（1）在正确证明䁨的左焦点是“䁨䁕䁨型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线＝与䁨有公共点，求证常，进而证明原点不是“䁨䁕䁨型点”；（3）求证：圆内的点都不是“䁨䁕䁨型点”.试卷第3页，总7页
参考答案与试题解析2013年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1.t2.3.䁕4.5.6.7.䁕8.log9.䁕10.11.12.13.，䁕.14.䁕二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15.A16.B17.A18.D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.解：∵䁕香䁨是正三棱锥，其底面三角形香䁨是边长为的正三角形，其面积为，∴该三棱锥的体积；设是正三角形香䁨的中心，则平面香䁨，延长交香䁨于．则，，又，∴三棱锥的斜高，试卷第4页，总7页
∴三棱锥的侧面积为，∴该三棱锥的表面积为．20.生产千克该产品所用的时间是小时，∵每一小时可获得的利润是tt쳌䁕䁕元，∴获得的利润为tt쳌䁕䁕元．因此生产千克该产品所获得的利润为tt쳌䁕䁕元．生产tt千克该产品获得的利润为tttt쳌䁕䁕，t．设쳌䁕䁕，t．则쳌䁕䁕쳌䁕䁕，当且仅当＝取得最大值．故获得最大利润为tttttt元．因此甲厂应以千克/小时的速度生产，可获得最大利润tt元．21.解：쳌䁕쳌䁕sin，쳌䁕쳌䁕쳌䁕sinsin쳌䁕쳌sincos䁕，쳌䁕，쳌䁕䁕t，쳌䁕䁕쳌䁕，쳌䁕䁕䁕쳌䁕，所以，쳌䁕既不是奇函数，也不是偶函数．쳌䁕쳌䁕sin，将쳌䁕的图象向左平移个单位，再向上平移个单位后得到sin쳌䁕的图象，所以䁪쳌䁕sin쳌䁕．令䁪쳌䁕t，得或쳌䁕，因为t恰含t个周期，试卷第5页，总7页
所以当是零点时，在t上零点个数为，当不是零点时，쳌䁕也都不是零点，区间쳌䁕上恰有两个零点，故在t上有t个零点．综上，䁪쳌䁕在t上零点个数的所有可能值为或t．22.由题意，代入计算得＝，＝t，＝；＝䁕＝䁕，＝䁕＝䁕䁕，①当t时，＝䁕쳌䁕䁕＝，所以쳌䁕䁕，得＝；②当常时，＝䁕쳌䁕䁕＝䁕，所以쳌䁕䁕쳌䁕䁕，得䁕（舍去）或．综合①②得＝或．假设这样的等差数列存在，那么＝䁕，＝䁕䁕，由＝得䁕䁕＝쳌䁕，以下分情况讨论：①当常时，由쳌䁕得＝t，与常矛盾；②当t时，由쳌䁕得＝，从而＝쳌＝,…䁕，所以是一个等差数列；③当t时，则公差＝䁕＝쳌䁕䁕＝常t，因此存在使得＝쳌䁕䁕常，此时＝䁕＝䁕䁕t，矛盾．综合①②③可知，当且仅当＝时，，，…，，…成等差数列．23.（1）解：䁨的左焦点为쳌䁕t䁕，写出的直线方程可以是以下形式：䁕或쳌䁕，其中．（2）证明：因为直线＝与䁨有公共点，所以方程组有实数解，因此＝，得常．若原点是“䁨䁕䁨型点”，则存在过原点的直线与䁨、䁨都有公共点．考虑过原点与䁨有公共点的直线＝t或＝쳌常䁕．显然直线＝t与䁨无公共点．如果直线为＝쳌常䁕，则由方程组，得t，矛盾．䁕䁕所以直线＝쳌常䁕与䁨也无公共点．因此原点不是“䁨䁕䁨型点”．（3）证明：记圆，取圆内的一点，设有经过的直线与䁨，䁨都有公共点，显然不与轴垂直，故可设＝．若，由于圆夹在两组平行线＝与＝䁕之间，因此圆也夹在直线＝与＝䁕之间，从而过且以为斜率的直线与䁨无公共点，矛盾，所以常．因为与䁨由公共点，所以方程组有实数解，䁕试卷第6页，总7页
得쳌䁕䁕䁕䁕䁕＝t．因为常，所以䁕t，因此＝쳌䁕䁕쳌䁕䁕쳌䁕䁕䁕＝쳌䁕䁕t，即䁕．因为圆的圆心쳌tt䁕到直线的距离，所以，从而常䁕，得，与常矛盾．因此，圆内的点不是“䁨䁕䁨型点”．试卷第7页，总7页
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