2008年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）)1.不等式|x-1|<1的解集是________．2.若集合A={x|x≤2}，B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=________．3.若复数z满足z=i(2-z)（i是虚数单位），则z=________．4.若函数f(x)的反函数为f-1(x)=log2x，则f(x)=________．5.若向量a→，b→满足|a→|=1,|b→|=2且a→与b→的夹角为π3，则|a→+b→|=________．6.若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点，则实数a=________．7.若z是实系数方程x2+2x+p＝0的一个虚根，且|z|＝2，则p＝________．8.在平面直角坐标系中，从五个点：A(0, 0)，B(2, 0)，C(1, 1)，D(0, 2)，E(2, 2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________（结果用分数表示）．9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为(-∞, 4]，则该函数的解析式f(x)=________．10.已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是________．11.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0, 1)，(4, 2)，(2, 6)．如果P(x, y)是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当ω=xy取到最大值时，点P的坐标是________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)12.设p是椭圆x225+y216=1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于(    )A.4B.5C.8D.1013.给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要14.若数列{an}是首项为1，公比为a-32的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（）A.1B.2C.12D.5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x, y)、P'(x', y')满足x≤x'且y≥y'试卷第5页，总6页, ，则称P优于P'，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A.ABB.BCC.CDD.DA三、解答题（共6小题，满分90分）)16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120∘的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）18.已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos(2x+π6)，直线x=t(t∈R)．与函数f(x)，g(x)的图象分别交于M、N两点．（1）当t=π4时，求|MN|的值；（2）求|MN|在t∈[0,π2]时的最大值．19.已知函数f(x)=3x-13|x|．（1）若f(x)=2，求x的值；（2）若3tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[12，1]恒成立，求实数m的取值范围．20.已知双曲线C：x22-y2=1．（1）求双曲线C的渐近线方程；试卷第5页，总6页, （2）已知点M的坐标为(0, 1)．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ=MP→⋅MQ→．求λ的取值范围；（3）已知点D，E，M的坐标分别为(-2, -1)，(2, -1)，(0, 1)，P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．21.已知数列{an}:a1=1，a2=2，a3=r，an+3=an+2（n是正整数），与数列{bn}:b1=1，b2=0，b3=-1，b4=0，bn+4=bn（n是正整数）．记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+...+bnan．（1）若a1+a2+a3+...+a12=64，求r的值；（2）求证：当n是正整数时，T12n=-4n．试卷第5页，总6页, 参考答案与试题解析2008年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1.(0, 2)2.23.1+i4.2x(x∈R)5.76.-17.48.459.-2x2+410.a=10.5，b=10.511.(52，5)二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12.D13.C14.B15.D三、解答题（共6小题，满分90分）16.解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．∵EF⊥BC，CC1⊥BC∴EF // CC1，而CC1⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角由题意，得EF=12CC1=1．∵CF=12CB=1，∴DF=5．∵EF⊥DF，∴tan∠EDF=EFDF=55．故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan55试卷第5页，总6页, 17.该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120∘在△CDO中，AC2=CD2+AD2-2⋅CD⋅AD⋅cos120∘=5002+3002+2×500×300×12=7002．∴AC=700（米）．cos∠CAD=AC2+AD2-CD22⋅AC⋅AD=1114．在直角△HAO中，AH=350（米），cos∠HAO=1114，∴OA=AHcos∠HAO=490011≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．18.解：（1）将t=π4代入函数f(x)、g(x)中得到∵|MN|=|f(π4)-g(π4)|=|sin(2×π4)-cos(2×π4+π6)|=|1-cos2π3|=32.（2）∵|MN|=|f(t)-g(t)|=|sin2t-cos(2t+π6)|=|32sin2t-32cos2t|=3|sin(2t-π6)|∵t∈[0,π2]，2t-π6∈[-π6,π-π6]，∴|MN|的最大值为3．19.解（1）当x<0时，f(x)=3x-3x=0，∴f(x)=2无解；当x>0时，f(x)=3x-13x，3x-13x=2，∴(3x)2-2⋅3x-1=0，∴3x=1±2．∵3x>0，∴3x=1-2（舍）．∴3x=1+2，∴x=log3(2+1)．（2）∵t∈[12，1]，∴f(t)=3t-13t>0，∴3t(32t-132t)+m(3t-13t)>0．∴3t(3t+13t)+m>0，即t∈[12，1]时m≥-32t-1恒成立又-32t-1∈[-10, -4]，∴m≥-4．∴试卷第5页，总6页, 实数m的取值范围为[-4, +∞)．20.解：（1）在双曲线C：x22-y2=1，把1换成0，所求渐近线方程为y-22x=0，y+22x=0（2）设P的坐标为(x0, y0)，则Q的坐标为(-x0, -y0)，λ=MP→⋅MQ→=(x0,y0-1)⋅(-x0,-yo-1)=-x02-y02+1=-32x02+2.∵|x0|≥2∴λ的取值范围是(-∞, -1]．（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，则直线l的斜率k∈(0,22).由计算可得，当k∈(0,12]时，s(k)=21-k21+k2；当k∈(12，22)时，s(k)=2k+1k+k21+k2.∴s表示为直线l的斜率k的函数是s(k)=21-k21+k2k∈(012]2k+1k+k21+k2k∈(1222).21.解：（1）a1+a2+a3+...+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r．∵48+4r=64，∴r=4．证明：（2）用数学归纳法证明：当n∈Z+时，T12n=-4n．①当n=1时，T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4，等式成立②假设n=k时等式成立，即T12k=-4k，那么当n=k+1时，T12（k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n∈Z+时，T12n=-4n．试卷第5页，总6页