2007年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）)lg数Ͷm1.函数数m的定义域为________．h2.已知ʹݕݔݔ与ʹh，若两直线平行，则的值为________．3.函数数m的反函数数m________4.方程h＝ݕ的解是________．5.已知，ݔ且，ݔͶ＝，则的最大值为________．6.函数数msin数ݔ数nismݔm的最小正周期是________hʹ7.有数字、ʹ、h、Ͷ、，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为________ʹʹ8.已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线Ͷ方程为________9.对于非零实数，，以下四个命题都成立：ʹʹʹ①ݔʹݔ＝mݔ数②；ݕݔ；③若＝，则＝；④若ʹ＝，则＝．那么，对于非零复数，，仍然成立的命题的所有序号是________．10.平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面，与两直线，ʹ，又知，ʹ在内的射影为，ʹ，在内的射影为，ʹ．试写出，ʹ与，ʹ满足的条件，使之一定能成为，ʹ是异面直线的充分条件________．11.已知圆的方程ʹݔ数mʹ，为圆上任意一点（不包括原点）．直线的倾斜角为弧度，䳌，则䳌数m的图象大致为________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)12.已知，，且ʹݔʹ程方次二元一数系实是）位单数虚是（ݔ，ݔݕiݔ的两个根，那么，i的值分别是（）A.Ͷ，iB.Ͷ，ihC.Ͷ，iD.Ͷ，ih13.设，是非零实数，若非，则下列不等式成立的是（）ʹʹʹʹA.非B.非C.非D.非ʹʹ14.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形‴㔷中，‴ʹݔh㔷，ݔ，则的可能值有（）试卷第1页，总7页
A.个B.ʹ个C.h个D.Ͷ个15.已知数m是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若数mʹ成立，则数ݔ数mݔmʹ成立，下列命题成立的是（）A.若数hm成立，则对于任意，均有数mʹ成立；B.若数Ͷm成立，则对于任意的Ͷ，均有数m非ʹ成立；C.若数mͶ成立，则对于任意的非，均有数m非ʹ成立；D.若数Ͷmʹ成立，则对于任意的Ͷ，均有数mʹ成立三、解答题（共6小题，满分90分）)16.体积为的直三棱柱‴㔷‴㔷中，㔷‴ݕ，㔷‴㔷，求直线‴与平面‴㔷㔷‴所成角．‴ʹ17.在三角形‴㔷中，ʹ㔷，cos，求三角形‴㔷的面积．Ͷʹ18.近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知ʹݕݕʹ年全球太阳能年生产量为ݕ兆瓦，年增长率为hͶ．在此后的四年里，增长率以每年ʹ的速度增长（例如ʹݕݕh年的年生产量增长率为h）（1）求ʹݕݕ年的太阳能年生产量（精确到ݕ精兆瓦）（2）已知ʹݕݕ年太阳能年安装量为Ͷʹݕ兆瓦，在此后的Ͷ年里年生产量保持Ͷʹ的增长率，若ʹݕݕ年的年安装量不少于年生产量的，求Ͷ年内年安装量的增长率的最小值（精确到ݕ精）ʹ19.已知函数数mݕ数ݔ，常数m．数m讨论函数数m的奇偶性，并说明理由；数ʹm若函数数m在ʹݔm上为增函数，求实数的取值范围．20.若有穷数列，ʹ精精精（是正整数），满足，ʹ精精精即ݔ数是正整数，且m，就称该数列为“对称数列”．（1）已知数列是项数为的对称数列，且，ʹ，h，Ͷ成等差数列，ʹ，Ͷ，试写出的每一项（2）已知是项数为ʹ数m的对称数列，且，ݕ为项首成构ʹ精精精ݔ，公差为Ͷ的等差数列，数列的前ʹ项和为ʹ，则当为何值时，ʹ取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数R，试写出所有项数不超过ʹ的对称数列，使得，ʹ，ʹʹ精精精ʹ成为数列中的连续项；当Rݕݕʹ前的列数个一中其求试，时ݕݕ项和ʹݕݕ．试卷第2页，总7页
ʹʹʹʹ21.已知半椭圆ݕ数ݔ圆椭半与mݕ数ݔm组成的曲线称为“果圆”，ʹʹʹʹ其中ʹʹݕRR，ݕR，ʹݔ．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，ݕʹʹ和‴，‴ʹ是“果圆”与，轴的交点，（1）若三角形ݕʹ是边长为的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若R‴‴，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．试卷第3页，总7页
参考答案与试题解析2007年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1.非Ͷ且hʹ2.h3.数m4.＝logh5.6.7.ݕ精h8.ʹʹ数ݔhm9.②④10.ʹ，并且与ʹ相交（ʹ，并且与ʹ相交）11.二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12.A13.C14.B15.D三、解答题（共6小题，满分90分）16.解：由题意，可得体积㔷㔷‴㔷㔷㔷㔷‴㔷㔷㔷，ʹʹ∴㔷㔷ʹ．连接‴㔷．∵㔷‴㔷，㔷㔷㔷，∴㔷平面‴‴㔷㔷，∴‴㔷是直线‴与平面‴‴㔷㔷所成的角．‴㔷㔷㔷ʹݔ‴㔷ʹ，㔷∴tan‴㔷，‴㔷试卷第4页，总7页
则‴㔷arctan；即直线‴与平面‴‴㔷㔷所成角的大小为arctan．hͶ17.解：由题意，得cos‴，‴为锐角，sin‴，hʹsinsin数‴㔷msin数‴m，Ͷݕݕ由正弦定理得，ݕͶ∴sin‴ʹ．ʹʹ18.解：（1）由已知得ʹݕݕh，ʹݕݕͶ，ʹݕݕ，ʹݕݕ年太阳电池的年生产量的增长率依次为h，h，Ͷݕ，Ͷʹ．则ʹݕͶ精h精h精ݕ为量产生年的池电阳太球全年ݕݕ精ͶʹʹͶ精（兆瓦）．Ͷʹݔ数ݕmͶ（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．解得ʹͶ精数ݔͶʹmͶݕ精．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到精．19.解：数m当ݔݕ数mݕ数意任对ʹm数，时ݕm，有数m数mʹʹ数m，∴数m为偶函数．ʹ当ݕ数ݔm数，时ݕ，常数m，取，得数mݕʹm数ݔ，数m数mʹݕ，∴数m数m，数m数m．∴函数数m既不是奇函数也不是偶函数．数ʹm设ʹ非ʹ，ʹʹ数ʹm数m数ʹmݔ数ʹʹݔʹm㐴，ʹʹ要使函数数m在ʹݔm上为增函数，必须数m数ʹm非ݕ恒成立．∵ʹ非ݕ，ʹRͶ，即非ʹ数ݔʹm恒成立．又∵ݔ数ʹ∴，ͶRʹݔʹmR，∴的取值范围是数㐴．20.解：（1）设的公差为䳌，则Ͷݔh䳌ʹݔh䳌，解得䳌h，∴数列为ʹ，，，，，，ʹ．试卷第5页，总7页
（2）ʹݔ精精精ݔݔݔ数ʹʹݔ精精精ݔݔݔݔݔ精精精ݔʹݔʹm，Ͷ数hmʹݕʹhͶݔ，ʹ∴当h时，ʹ取得最大值．ʹ的最大值为ʹ．（3）所有可能的“对称数列”是：①，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，；②，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，；③ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ；④ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，，，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ．对于①，当ʹݕݕ时，ݔʹݔʹʹݔ精精精ݔʹʹݕݕʹʹݕݕ．ʹݕݕ当ݕݕ非ʹݕݕ时，ݔʹݔ精精精ݔʹʹݔʹݔʹʹݔ精精精ݔʹʹʹݕݕʹݕݕʹݔʹʹʹʹݕݕʹݔʹʹʹʹݕݕ．对于②，当ʹݕݕ时，ʹʹݕݕ．ʹݕݕ当ݕݕʹʹʹݔʹ，时ݕݕʹ非ݕݕ．ʹݕݕ对于③，当ʹݕݕ时，ʹʹʹݕݕ．ʹݕݕ当ݕݕ非ʹݕݕ时，ʹݔʹʹݕݕh．ʹݕݕ对于④，当ʹݕݕ时，ʹʹʹݕݕ．ʹݕݕ当ݕݕ非ʹݕݕ时，ʹݔʹʹݕݕʹ．ʹݕݕ21.解：（1）∵ݕ数ݕm，数ݕʹʹm，ʹ数ݕʹʹm，∴ݔmʹʹ数ʹݕʹ，ʹʹʹʹ，ʹhʹʹʹ于是，ݔ，ͶͶͶʹʹʹͶʹ所求“果圆”方程为ݕ数ݔ，mݕ数ݔmh（2）由题意，得ݔRʹ，即ʹʹRʹ．ʹRʹݔʹʹʹʹʹ非Ͷ∵数ʹm，∴R数ʹm，得．又ʹRʹʹʹ，ʹʹͶ∴R．∴数m．ʹʹʹʹʹʹʹ（3）设“果圆”㔷的方程为ݕ数ݔ，mݕ数ݔm．ʹʹʹʹ记平行弦的斜率为．ʹʹʹ当ݕ数ݔ圆椭半与m数线直，时ݕm的交点是数ʹʹʹ，m，ʹʹʹ与半椭圆ݕ数ݔm的交点是数，m．ʹʹʹʹʹ∴，的中点数m满足得ʹݔʹ．数mʹʹʹʹݔʹ∵非ʹ，∴数mݕ．ʹʹʹ综上所述，当ݕ时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．ʹʹʹʹ当Rݔʹʹ数是点交的mݕ数ʹݔʹ圆椭半与线直的‴过率斜为以，时ݕʹ，ʹʹhm．ʹʹݔʹ试卷第6页，总7页
ʹh由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点为数，m，轨迹在直线ʹʹݔʹʹʹݔʹʹ上，即不在某一椭圆上．ʹ当非ݕ时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．试卷第7页，总7页
2007年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）)lg数Ͷm1.函数数m的定义域为________．h2.已知ʹݕݔݔ与ʹh，若两直线平行，则的值为________．3.函数数m的反函数数m________4.方程h＝ݕ的解是________．5.已知，ݔ且，ݔͶ＝，则的最大值为________．6.函数数msin数ݔ数nismݔm的最小正周期是________hʹ7.有数字、ʹ、h、Ͷ、，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为________ʹʹ8.已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线Ͷ方程为________9.对于非零实数，，以下四个命题都成立：ʹʹʹ①ݔʹݔ＝mݔ数②；ݕݔ；③若＝，则＝；④若ʹ＝，则＝．那么，对于非零复数，，仍然成立的命题的所有序号是________．10.平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面，与两直线，ʹ，又知，ʹ在内的射影为，ʹ，在内的射影为，ʹ．试写出，ʹ与，ʹ满足的条件，使之一定能成为，ʹ是异面直线的充分条件________．11.已知圆的方程ʹݔ数mʹ，为圆上任意一点（不包括原点）．直线的倾斜角为弧度，䳌，则䳌数m的图象大致为________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)12.已知，，且ʹݔʹ程方次二元一数系实是）位单数虚是（ݔ，ݔݕiݔ的两个根，那么，i的值分别是（）A.Ͷ，iB.Ͷ，ihC.Ͷ，iD.Ͷ，ih13.设，是非零实数，若非，则下列不等式成立的是（）ʹʹʹʹA.非B.非C.非D.非ʹʹ14.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形‴㔷中，‴ʹݔh㔷，ݔ，则的可能值有（）试卷第1页，总7页
A.个B.ʹ个C.h个D.Ͷ个15.已知数m是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若数mʹ成立，则数ݔ数mݔmʹ成立，下列命题成立的是（）A.若数hm成立，则对于任意，均有数mʹ成立；B.若数Ͷm成立，则对于任意的Ͷ，均有数m非ʹ成立；C.若数mͶ成立，则对于任意的非，均有数m非ʹ成立；D.若数Ͷmʹ成立，则对于任意的Ͷ，均有数mʹ成立三、解答题（共6小题，满分90分）)16.体积为的直三棱柱‴㔷‴㔷中，㔷‴ݕ，㔷‴㔷，求直线‴与平面‴㔷㔷‴所成角．‴ʹ17.在三角形‴㔷中，ʹ㔷，cos，求三角形‴㔷的面积．Ͷʹ18.近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知ʹݕݕʹ年全球太阳能年生产量为ݕ兆瓦，年增长率为hͶ．在此后的四年里，增长率以每年ʹ的速度增长（例如ʹݕݕh年的年生产量增长率为h）（1）求ʹݕݕ年的太阳能年生产量（精确到ݕ精兆瓦）（2）已知ʹݕݕ年太阳能年安装量为Ͷʹݕ兆瓦，在此后的Ͷ年里年生产量保持Ͷʹ的增长率，若ʹݕݕ年的年安装量不少于年生产量的，求Ͷ年内年安装量的增长率的最小值（精确到ݕ精）ʹ19.已知函数数mݕ数ݔ，常数m．数m讨论函数数m的奇偶性，并说明理由；数ʹm若函数数m在ʹݔm上为增函数，求实数的取值范围．20.若有穷数列，ʹ精精精（是正整数），满足，ʹ精精精即ݔ数是正整数，且m，就称该数列为“对称数列”．（1）已知数列是项数为的对称数列，且，ʹ，h，Ͷ成等差数列，ʹ，Ͷ，试写出的每一项（2）已知是项数为ʹ数m的对称数列，且，ݕ为项首成构ʹ精精精ݔ，公差为Ͷ的等差数列，数列的前ʹ项和为ʹ，则当为何值时，ʹ取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数R，试写出所有项数不超过ʹ的对称数列，使得，ʹ，ʹʹ精精精ʹ成为数列中的连续项；当Rݕݕʹ前的列数个一中其求试，时ݕݕ项和ʹݕݕ．试卷第2页，总7页
ʹʹʹʹ21.已知半椭圆ݕ数ݔ圆椭半与mݕ数ݔm组成的曲线称为“果圆”，ʹʹʹʹ其中ʹʹݕRR，ݕR，ʹݔ．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，ݕʹʹ和‴，‴ʹ是“果圆”与，轴的交点，（1）若三角形ݕʹ是边长为的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若R‴‴，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．试卷第3页，总7页
参考答案与试题解析2007年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1.非Ͷ且hʹ2.h3.数m4.＝logh5.6.7.ݕ精h8.ʹʹ数ݔhm9.②④10.ʹ，并且与ʹ相交（ʹ，并且与ʹ相交）11.二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12.A13.C14.B15.D三、解答题（共6小题，满分90分）16.解：由题意，可得体积㔷㔷‴㔷㔷㔷㔷‴㔷㔷㔷，ʹʹ∴㔷㔷ʹ．连接‴㔷．∵㔷‴㔷，㔷㔷㔷，∴㔷平面‴‴㔷㔷，∴‴㔷是直线‴与平面‴‴㔷㔷所成的角．‴㔷㔷㔷ʹݔ‴㔷ʹ，㔷∴tan‴㔷，‴㔷试卷第4页，总7页
则‴㔷arctan；即直线‴与平面‴‴㔷㔷所成角的大小为arctan．hͶ17.解：由题意，得cos‴，‴为锐角，sin‴，hʹsinsin数‴㔷msin数‴m，Ͷݕݕ由正弦定理得，ݕͶ∴sin‴ʹ．ʹʹ18.解：（1）由已知得ʹݕݕh，ʹݕݕͶ，ʹݕݕ，ʹݕݕ年太阳电池的年生产量的增长率依次为h，h，Ͷݕ，Ͷʹ．则ʹݕͶ精h精h精ݕ为量产生年的池电阳太球全年ݕݕ精ͶʹʹͶ精（兆瓦）．Ͷʹݔ数ݕmͶ（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．解得ʹͶ精数ݔͶʹmͶݕ精．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到精．19.解：数m当ݔݕ数mݕ数意任对ʹm数，时ݕm，有数m数mʹʹ数m，∴数m为偶函数．ʹ当ݕ数ݔm数，时ݕ，常数m，取，得数mݕʹm数ݔ，数m数mʹݕ，∴数m数m，数m数m．∴函数数m既不是奇函数也不是偶函数．数ʹm设ʹ非ʹ，ʹʹ数ʹm数m数ʹmݔ数ʹʹݔʹm㐴，ʹʹ要使函数数m在ʹݔm上为增函数，必须数m数ʹm非ݕ恒成立．∵ʹ非ݕ，ʹRͶ，即非ʹ数ݔʹm恒成立．又∵ݔ数ʹ∴，ͶRʹݔʹmR，∴的取值范围是数㐴．20.解：（1）设的公差为䳌，则Ͷݔh䳌ʹݔh䳌，解得䳌h，∴数列为ʹ，，，，，，ʹ．试卷第5页，总7页
（2）ʹݔ精精精ݔݔݔ数ʹʹݔ精精精ݔݔݔݔݔ精精精ݔʹݔʹm，Ͷ数hmʹݕʹhͶݔ，ʹ∴当h时，ʹ取得最大值．ʹ的最大值为ʹ．（3）所有可能的“对称数列”是：①，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，；②，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，；③ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ；④ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ，，，ʹ，ʹʹ，ʹʹ，ʹ．对于①，当ʹݕݕ时，ݔʹݔʹʹݔ精精精ݔʹʹݕݕʹʹݕݕ．ʹݕݕ当ݕݕ非ʹݕݕ时，ݔʹݔ精精精ݔʹʹݔʹݔʹʹݔ精精精ݔʹʹʹݕݕʹݕݕʹݔʹʹʹʹݕݕʹݔʹʹʹʹݕݕ．对于②，当ʹݕݕ时，ʹʹݕݕ．ʹݕݕ当ݕݕʹʹʹݔʹ，时ݕݕʹ非ݕݕ．ʹݕݕ对于③，当ʹݕݕ时，ʹʹʹݕݕ．ʹݕݕ当ݕݕ非ʹݕݕ时，ʹݔʹʹݕݕh．ʹݕݕ对于④，当ʹݕݕ时，ʹʹʹݕݕ．ʹݕݕ当ݕݕ非ʹݕݕ时，ʹݔʹʹݕݕʹ．ʹݕݕ21.解：（1）∵ݕ数ݕm，数ݕʹʹm，ʹ数ݕʹʹm，∴ݔmʹʹ数ʹݕʹ，ʹʹʹʹ，ʹhʹʹʹ于是，ݔ，ͶͶͶʹʹʹͶʹ所求“果圆”方程为ݕ数ݔ，mݕ数ݔmh（2）由题意，得ݔRʹ，即ʹʹRʹ．ʹRʹݔʹʹʹʹʹ非Ͷ∵数ʹm，∴R数ʹm，得．又ʹRʹʹʹ，ʹʹͶ∴R．∴数m．ʹʹʹʹʹʹʹ（3）设“果圆”㔷的方程为ݕ数ݔ，mݕ数ݔm．ʹʹʹʹ记平行弦的斜率为．ʹʹʹ当ݕ数ݔ圆椭半与m数线直，时ݕm的交点是数ʹʹʹ，m，ʹʹʹ与半椭圆ݕ数ݔm的交点是数，m．ʹʹʹʹʹ∴，的中点数m满足得ʹݔʹ．数mʹʹʹʹݔʹ∵非ʹ，∴数mݕ．ʹʹʹ综上所述，当ݕ时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．ʹʹʹʹ当Rݔʹʹ数是点交的mݕ数ʹݔʹ圆椭半与线直的‴过率斜为以，时ݕʹ，ʹʹhm．ʹʹݔʹ试卷第6页，总7页
ʹh由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点为数，m，轨迹在直线ʹʹݔʹʹʹݔʹʹ上，即不在某一椭圆上．ʹ当非ݕ时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．试卷第7页，总7页
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