2004年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.若tan，则tan________．2.设抛物线的顶点坐标为䁚，准线方程为ጕ，则它的焦点坐标为________．3.设集合ሼ䁚log쳌香，集合쳌䁚香．若香，则________．lim4.设等比数列쳌香的公比ጕ，且쳌쳌쳌ሼǤǤǤ쳌ጕ，则쳌________．5.设奇函数的定义域为ጕሼ䁚ሼ，若当䁚ሼ时，的图象如图，则不等式ꀀ的解集是________．6.已知点ጕ䁚ጕሼ和쳌䁚，若쳌，则点的坐标为________．7.当、满足不等式组时，目标函数＝ጕ的最大值为________．8.圆心在直线上的圆与轴交于两点䁚ጕ，䁚ጕ，则圆的方程为________．9.若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是________．（结果用分数表示）10.若函数쳌ጕ在䁚上为增函数，则实数쳌、的取值范围是________．11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是________．12.若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设쳌香是公比为的无穷等比数列，下列쳌香的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．（写出所有符合要求的组号）①与；②쳌与；③쳌与쳌；④与쳌．（其中为大于的整数，为쳌香的前项和．）二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.在下列关于直线，与平面，的命题中，真命题是A.若，且ᦙ，则ᦙB.若ᦙ，且，则ᦙC.若，且ᦙ，则D.若ᦙ，且ᦙ，则14.三角方程sinጕ的解集为（）试卷第1页，总8页
ሼA.䁚香B.䁚香C.䁚香D.ጕ䁚香15.若函数的图象与函数lg的图象关于直线ጕ对称，则A.ጕB.ጕC.ጕጕD.ጕጕ16.某地年第一季度应聘和招聘人数排行榜前ሼ个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数ሼሼሼሼሼ行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数ሼሼሼ若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张三、解答题（共6小题，满分86分）)17.已知复数满足ጕሼ，쳌ጕጕ，其中为虚数单位，쳌，若ጕꀀ，求쳌的取值范围．18.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积．问、分别为多少（精确到Ǥ）时用料最省？19.记函数ጕ的定义域为，lgጕ쳌ጕ쳌ጕ，쳌ꀀ的定义域为．若，求实数쳌的取值范围．试卷第2页，总8页
20.如图，直线与抛物线ጕ交于，两点，线段的垂直平分线与直线ጕሼ交于点．求点的坐标；当为抛物线上位于线段下方（含，）的动点时，求面积的最大值．21.如图，ጕ是底面边长为的正三棱锥，、、分别为棱长、、上的点，截面底面，且棱台ጕ与棱锥ጕ的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：ጕ为正四面体；（2）若求二面角ጕጕ的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）设棱台ጕ的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台ጕ有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．22.设䁚，䁚，…，䁚䁚是二次曲线上的点，且쳌，쳌，…，쳌构成了一个公差为的等差数列，其中是坐标原点．记쳌쳌ǤǤǤ쳌．（1）若的方程为ጕ，．点䁚及，求点的坐标；（只需写出一个）（2）若的方程为䁞䁞．点䁚，对于给定的自然数，证明：䁞，䁞，…，䁞成等差数列；（3）若的方程为쳌．点쳌䁚，对于给定的自然数，当公差쳌变化时，求的最小值．试卷第3页，总8页
符号意义本试卷所用符号等同于《实验教材》符号向量坐标쳌䁚香쳌䁚正切tan试卷第4页，总8页
参考答案与试题解析2004年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.2.ሼ䁚3.䁚䁚ሼ香4.5.ጕꀀꀀ或ꀀꀀሼ香．6.ሼ䁚7.8.ጕሼ9.10.쳌且11.用代数的方法研究图形的几何性质12.①④二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.B14.C15.A16.B三、解答题（共6小题，满分86分）ጕሼ17.解：由题意得，于是ጕጕ쳌ጕ쳌，Ǥ则有ጕ쳌ꀀ，得쳌ጕ쳌ꀀ，ꀀ쳌ꀀ．18.解：由题意得，ጕ∴ጕꀀꀀ．框架用料长度为，．当，即ጕ时等号成立．此时，Ǥ，Ǥ．故当为Ǥ，为Ǥ时，用料最省．试卷第5页，总8页
ጕ19.解：由ጕ得：，解得ꀀጕ或，即ጕ䁚ጕ䁚由ጕ쳌ጕ쳌ጕ得：ጕ쳌ጕጕ쳌ꀀ由쳌ꀀ得쳌쳌，∴쳌䁚쳌∵，∴쳌或쳌ጕ即쳌或쳌ጕ，而쳌ꀀ，∴쳌ꀀ或쳌ጕ故当时，实数쳌的取值范围是ጕ䁚ጕ䁚䁚20.解：解方程组ጕ䁚ጕ䁚䁚得或ጕ䁚䁚即ጕ䁚ጕ，䁚，从而的中点为䁚，由，直线的垂直平分线方程ጕጕጕ．令ጕሼ，得ሼ，∴ሼ䁚ጕሼ．直线的方程为，设䁚ጕ．∵点到直线的距离ጕጕ．ሼ，ሼ∴ጕ,∵为抛物线上位于线段下方的点，且不在直线上，䁚ጕ䁚解得ጕ,∴ጕꀀጕ或ጕꀀ．∵函数ጕጕ在区间ጕ䁚上单调递增，∴当时，的面积取到最大值为ሼጕ．21.证明：（1）∵棱台ጕ与棱锥ጕ的棱长和相等，∴．又∵截面底面，∴，，∴ጕ试卷第6页，总8页
是正四面体解：（2）取的中点，连拉，．．∵ᦙ，ᦙ，∴ᦙ平面，ᦙ，则为二面角ጕጕ的平面角．由（1）知，ጕ的各棱长均为，∴，由是的中点，得sin，∴arcsin．（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台ጕ的棱长和为定值，体积为．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为，则该六面体棱长和为，体积为sin．∵正四面体ጕ的体积是，∴ꀀꀀ，ꀀꀀ．可知arcsin故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsin的直平行六面体即满足要求．22.解：（1）쳌，由쳌쳌，得쳌．ጕ由得∴点的坐标可以为䁚．（2）对每个自然数，，由题意ጕ，䁞及ጕ即䁞䁞ጕ，∴䁞，䁞，…䁞是首项为䁞，公差为的等差数列．（3）原点到二次曲线쳌上各点的最小距离为，最大距离为쳌．쳌∵쳌쳌，∴ꀀ，且쳌쳌ጕ，试卷第7页，总8页
ጕ쳌ጕ∴ꀀ．∵，ጕጕጕ쳌∴쳌在䁚上递增，ጕጕጕ쳌쳌故的最小值为쳌．ጕ试卷第8页，总8页
2004年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.若tan，则tan________．2.设抛物线的顶点坐标为䁚，准线方程为ጕ，则它的焦点坐标为________．3.设集合ሼ䁚log쳌香，集合쳌䁚香．若香，则________．lim4.设等比数列쳌香的公比ጕ，且쳌쳌쳌ሼǤǤǤ쳌ጕ，则쳌________．5.设奇函数的定义域为ጕሼ䁚ሼ，若当䁚ሼ时，的图象如图，则不等式ꀀ的解集是________．6.已知点ጕ䁚ጕሼ和쳌䁚，若쳌，则点的坐标为________．7.当、满足不等式组时，目标函数＝ጕ的最大值为________．8.圆心在直线上的圆与轴交于两点䁚ጕ，䁚ጕ，则圆的方程为________．9.若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是________．（结果用分数表示）10.若函数쳌ጕ在䁚上为增函数，则实数쳌、的取值范围是________．11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是________．12.若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设쳌香是公比为的无穷等比数列，下列쳌香的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．（写出所有符合要求的组号）①与；②쳌与；③쳌与쳌；④与쳌．（其中为大于的整数，为쳌香的前项和．）二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.在下列关于直线，与平面，的命题中，真命题是A.若，且ᦙ，则ᦙB.若ᦙ，且，则ᦙC.若，且ᦙ，则D.若ᦙ，且ᦙ，则14.三角方程sinጕ的解集为（）试卷第1页，总8页
ሼA.䁚香B.䁚香C.䁚香D.ጕ䁚香15.若函数的图象与函数lg的图象关于直线ጕ对称，则A.ጕB.ጕC.ጕጕD.ጕጕ16.某地年第一季度应聘和招聘人数排行榜前ሼ个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数ሼሼሼሼሼ行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数ሼሼሼ若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张三、解答题（共6小题，满分86分）)17.已知复数满足ጕሼ，쳌ጕጕ，其中为虚数单位，쳌，若ጕꀀ，求쳌的取值范围．18.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积．问、分别为多少（精确到Ǥ）时用料最省？19.记函数ጕ的定义域为，lgጕ쳌ጕ쳌ጕ，쳌ꀀ的定义域为．若，求实数쳌的取值范围．试卷第2页，总8页
20.如图，直线与抛物线ጕ交于，两点，线段的垂直平分线与直线ጕሼ交于点．求点的坐标；当为抛物线上位于线段下方（含，）的动点时，求面积的最大值．21.如图，ጕ是底面边长为的正三棱锥，、、分别为棱长、、上的点，截面底面，且棱台ጕ与棱锥ጕ的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：ጕ为正四面体；（2）若求二面角ጕጕ的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）设棱台ጕ的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台ጕ有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．22.设䁚，䁚，…，䁚䁚是二次曲线上的点，且쳌，쳌，…，쳌构成了一个公差为的等差数列，其中是坐标原点．记쳌쳌ǤǤǤ쳌．（1）若的方程为ጕ，．点䁚及，求点的坐标；（只需写出一个）（2）若的方程为䁞䁞．点䁚，对于给定的自然数，证明：䁞，䁞，…，䁞成等差数列；（3）若的方程为쳌．点쳌䁚，对于给定的自然数，当公差쳌变化时，求的最小值．试卷第3页，总8页
符号意义本试卷所用符号等同于《实验教材》符号向量坐标쳌䁚香쳌䁚正切tan试卷第4页，总8页
参考答案与试题解析2004年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.2.ሼ䁚3.䁚䁚ሼ香4.5.ጕꀀꀀ或ꀀꀀሼ香．6.ሼ䁚7.8.ጕሼ9.10.쳌且11.用代数的方法研究图形的几何性质12.①④二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.B14.C15.A16.B三、解答题（共6小题，满分86分）ጕሼ17.解：由题意得，于是ጕጕ쳌ጕ쳌，Ǥ则有ጕ쳌ꀀ，得쳌ጕ쳌ꀀ，ꀀ쳌ꀀ．18.解：由题意得，ጕ∴ጕꀀꀀ．框架用料长度为，．当，即ጕ时等号成立．此时，Ǥ，Ǥ．故当为Ǥ，为Ǥ时，用料最省．试卷第5页，总8页
ጕ19.解：由ጕ得：，解得ꀀጕ或，即ጕ䁚ጕ䁚由ጕ쳌ጕ쳌ጕ得：ጕ쳌ጕጕ쳌ꀀ由쳌ꀀ得쳌쳌，∴쳌䁚쳌∵，∴쳌或쳌ጕ即쳌或쳌ጕ，而쳌ꀀ，∴쳌ꀀ或쳌ጕ故当时，实数쳌的取值范围是ጕ䁚ጕ䁚䁚20.解：解方程组ጕ䁚ጕ䁚䁚得或ጕ䁚䁚即ጕ䁚ጕ，䁚，从而的中点为䁚，由，直线的垂直平分线方程ጕጕጕ．令ጕሼ，得ሼ，∴ሼ䁚ጕሼ．直线的方程为，设䁚ጕ．∵点到直线的距离ጕጕ．ሼ，ሼ∴ጕ,∵为抛物线上位于线段下方的点，且不在直线上，䁚ጕ䁚解得ጕ,∴ጕꀀጕ或ጕꀀ．∵函数ጕጕ在区间ጕ䁚上单调递增，∴当时，的面积取到最大值为ሼጕ．21.证明：（1）∵棱台ጕ与棱锥ጕ的棱长和相等，∴．又∵截面底面，∴，，∴ጕ试卷第6页，总8页
是正四面体解：（2）取的中点，连拉，．．∵ᦙ，ᦙ，∴ᦙ平面，ᦙ，则为二面角ጕጕ的平面角．由（1）知，ጕ的各棱长均为，∴，由是的中点，得sin，∴arcsin．（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台ጕ的棱长和为定值，体积为．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为，则该六面体棱长和为，体积为sin．∵正四面体ጕ的体积是，∴ꀀꀀ，ꀀꀀ．可知arcsin故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsin的直平行六面体即满足要求．22.解：（1）쳌，由쳌쳌，得쳌．ጕ由得∴点的坐标可以为䁚．（2）对每个自然数，，由题意ጕ，䁞及ጕ即䁞䁞ጕ，∴䁞，䁞，…䁞是首项为䁞，公差为的等差数列．（3）原点到二次曲线쳌上各点的最小距离为，最大距离为쳌．쳌∵쳌쳌，∴ꀀ，且쳌쳌ጕ，试卷第7页，总8页
ጕ쳌ጕ∴ꀀ．∵，ጕጕጕ쳌∴쳌在䁚上递增，ጕጕጕ쳌쳌故的最小值为쳌．ጕ试卷第8页，总8页
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