2000年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．)1.已知OA→=(-1,2)，OB→=(3,m)，若OA→⊥AB→，则m=________．2.函数y=log22x-13-x的定义域为________．3.圆锥曲线x=4secθ+1y=3tanθ的焦点坐标是________．4.计算：limn→∞(nn+2)n=________．5.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x)，若y=f-1(x)的图象经过点P(5, 2)，则b的值是________．6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需________年．（按：1999年本市常住人口总数约1300）7.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且________的三棱锥是正三棱锥．8.设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0, 1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1, 2]上f(x)=________．9.在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数为________（结果用数值表示）10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2、3，现在从中任取三面，它们的颜色和号码均不相同的概率为________．11.在极坐标系中，若过点A(3, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=________．12.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式：a1+a2+...+an＝a1+a2+...+a19-n(n<19)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________成立．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．)13.复数z=-3(cosπ5-isinπ5)（i是虚数单位）的三角形式是（）试卷第7页，总7页, A.3[cos(-π5)+isin(-π5)]B.3(cosπ5+isinπ5)C.3(cos4π5)+isin4π5)D.3(cos6π5-isin6π5)14.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：(1)若a // α，b // α，则a // b．(2)若a // α，a // β，则α // β．(3)若a // γ，β // γ，则a // β．其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.315.集合S={y|y=3x, x∈R}，T={y|y=x2-1, x∈R}，则S∩T是（）A.SB.TC.⌀D.有限集16.下列命题中正确的命题是（）A.若点P(a, 2a)(a≠0)为角a终边上一点，则sina=255B.同时满足sina=12，cosa=32的角a有且只有一个C.当|a|<1时，tan(arcsina)的值恒正D.三角方程tan(x+π3)=3的解集为{x|x=kπ, k∈Z}三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．)17.已知椭圆C的焦点分别为F1(-22, 0)和F2(22, 0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．18.如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos1010，求四面体ABCD的体积．19.已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1, +∞)，（1）当a=12时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x∈[1, +∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．试卷第7页，总7页, 20.根据指令(r, θ)(r≥0, -180∘<θ≤180∘)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转-θ)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r．（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4, 4)．（2）机器人在完成该指令后，发现在点(17, 0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．21.在XOY平面上有一点列P1(a1, b1)，P2(a2, b2)，…，Pn(an, bn)，…，对每个自然数n，点P，位于函数y=2000(a10)n(0
0)，z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=z0⋅z，|w|=2|z|．（1）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；（2）将(x、y)作为点P的坐标，(x'、y')作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2000年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.42.(12, 3)3.(-4, 0)，(6, 0)4.e-25.16.97.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…8.x9.-46210.11411.2312.b1⋅b2•…•bn＝b1⋅b2•…•b17-n(n<17)二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13.C14.A15.A16.D三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.解：设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1，由题意a=3，c=22，b=a2-c2=1．∴椭圆C的方程为x29+y2=1．联立方程组y=x+2x29+y2=1，消y得10x2+36x+27=0，因为该二次方程的判别式△>0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=-185，故线段AB的中点坐标为(-95, 15)．18.解：以BC、BA、BD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，…由题意得A(0, 2, 0)，C(2, 0, 0)，E(1, 1, 0)设D点的坐标为(0, 0, z)(z>0)，则BE→=(1,1,0)，AD→=(0,-2,z)…∴试卷第7页，总7页, AD→⋅BE→=2⋅4+z2cosθ=-2，∵AD与BE所成的角的大小为arccos1010，可得cos2θ=24+z2=110，∴代入上式，解之得z=4，即BD的长度是4，…因此，三棱锥D-ABC的体积VD-ABC=13S△ABC⋅BD=16AB⋅BC⋅BD=16×2×2×4=83，即四面体ABCD的体积是83，…19.解：（1）因为f(x)=x+12x+2，f(x)在[1, +∞)上为增函数，所以f(x)在[1, +∞)上的最小值为f(1)=72．…（2）问题等价于f(x)=x2+2x+a>0，在[1, +∞)上恒成立．即a>-(x+1)2+1在[1, +∞)上恒成立． 令g(x)=-(x+1)2+1，则g(x)在[1, +∞)上递减，当x=1时，g(x)max=-3，所以a>-3，即实数a的取值范围是(-3, +∞)．…20.解：（1）由题意，r=42，θ=45∘，得指令为(42，45∘)，…（2）设机器人最快在点P(x, 0)处截住小球…则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有|17-x|=2(x-4)2+(0-4)2，…即3x2+2x-161=0得x=-233或x=7∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，∴x=7故机器人最快可在点P(7, 0)处截住小球，…所给的指令为(5, -98.13∘)…试卷第7页，总7页, 21.解：（1）由题意，∵点Pn，点(n, 0)与点(n+1.0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形，∴点Pn(an, bn)在两点(n, 0)与(n+1, 0)连线的中垂线上，∴an=n+12，∴bn=2000(a10)n+12，…（2）∵函数y=2000(a10)n(0bn+1>bn+2，则以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2bn+1bn，即(a10)2+(a10)-1>0…解得a<-5(1+5)或a>5(5-1)∴5(5-1)0，得m=3，…因此由x'+y'i=(1-3i)⋅(x+yi)=x+3y+(3x-y)i，得关系式x'=x+3yy'=3x-y…（2）设点P(x, y)在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q(x', y')满足x'=(1+3)x+3y'=(3x-1)x-1，…消去x，得y'=(2-3)x'-23+2，故点Q的轨迹方程为y=(2-3)x-23+2…③假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为y=kx+b(k≠0)，…[解法一]∵该直线上的任一点P(x, y)，其经变换后得到的点Q(x+3y，3x-y)仍在该直线上，∴3x-y=k(x+3y)+b，即-(3k+1)y=(k-3)x+b，当b≠0时，方程组-(3k+1)=1k-3=k无解，故这样的直线不存在． …当b=0时，由-(3k+1)1=k-3k，得3k2+2k-3=0，解得k=33或k=-3，故这样的直线存在，其方程为y=33x或y=-3x，…[解法二]取直线上一点P(-bk，0)，其经变换后的点Q(-bk，-3bk)仍在该直线上，∴-3bk=k(-bk)+b，得b=0，…故所求直线为y=kx，取直线上一点P(0, k)，其经变换后得到的点Q(1+3k，3-k)试卷第7页，总7页, 仍在该直线上．∴3-k=k(1+3k)，…即3k2+2k-3=0，得k=33或k=-3，故这样的直线存在，其方程为y=33x或y=-3x，…试卷第7页，总7页
2000年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．)1.已知OA→=(-1,2)，OB→=(3,m)，若OA→⊥AB→，则m=________．2.函数y=log22x-13-x的定义域为________．3.圆锥曲线x=4secθ+1y=3tanθ的焦点坐标是________．4.计算：limn→∞(nn+2)n=________．5.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x)，若y=f-1(x)的图象经过点P(5, 2)，则b的值是________．6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需________年．（按：1999年本市常住人口总数约1300）7.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且________的三棱锥是正三棱锥．8.设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0, 1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1, 2]上f(x)=________．9.在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数为________（结果用数值表示）10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2、3，现在从中任取三面，它们的颜色和号码均不相同的概率为________．11.在极坐标系中，若过点A(3, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=________．12.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式：a1+a2+...+an＝a1+a2+...+a19-n(n<19)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________成立．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．)13.复数z=-3(cosπ5-isinπ5)（i是虚数单位）的三角形式是（）试卷第7页，总7页, A.3[cos(-π5)+isin(-π5)]B.3(cosπ5+isinπ5)C.3(cos4π5)+isin4π5)D.3(cos6π5-isin6π5)14.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：(1)若a // α，b // α，则a // b．(2)若a // α，a // β，则α // β．(3)若a // γ，β // γ，则a // β．其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.315.集合S={y|y=3x, x∈R}，T={y|y=x2-1, x∈R}，则S∩T是（）A.SB.TC.⌀D.有限集16.下列命题中正确的命题是（）A.若点P(a, 2a)(a≠0)为角a终边上一点，则sina=255B.同时满足sina=12，cosa=32的角a有且只有一个C.当|a|<1时，tan(arcsina)的值恒正D.三角方程tan(x+π3)=3的解集为{x|x=kπ, k∈Z}三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．)17.已知椭圆C的焦点分别为F1(-22, 0)和F2(22, 0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．18.如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos1010，求四面体ABCD的体积．19.已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1, +∞)，（1）当a=12时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x∈[1, +∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．试卷第7页，总7页, 20.根据指令(r, θ)(r≥0, -180∘<θ≤180∘)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转-θ)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r．（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4, 4)．（2）机器人在完成该指令后，发现在点(17, 0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．21.在XOY平面上有一点列P1(a1, b1)，P2(a2, b2)，…，Pn(an, bn)，…，对每个自然数n，点P，位于函数y=2000(a10)n(0<a<10)的图象上，且点pn，点(n, 0="">0)，z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=z0⋅z，|w|=2|z|．（1）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；（2）将(x、y)作为点P的坐标，(x'、y')作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2000年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.42.(12, 3)3.(-4, 0)，(6, 0)4.e-25.16.97.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…8.x9.-46210.11411.2312.b1⋅b2•…•bn＝b1⋅b2•…•b17-n(n<17)二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13.C14.A15.A16.D三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.解：设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1，由题意a=3，c=22，b=a2-c2=1．∴椭圆C的方程为x29+y2=1．联立方程组y=x+2x29+y2=1，消y得10x2+36x+27=0，因为该二次方程的判别式△>0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=-185，故线段AB的中点坐标为(-95, 15)．18.解：以BC、BA、BD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，…由题意得A(0, 2, 0)，C(2, 0, 0)，E(1, 1, 0)设D点的坐标为(0, 0, z)(z>0)，则BE→=(1,1,0)，AD→=(0,-2,z)…∴试卷第7页，总7页, AD→⋅BE→=2⋅4+z2cosθ=-2，∵AD与BE所成的角的大小为arccos1010，可得cos2θ=24+z2=110，∴代入上式，解之得z=4，即BD的长度是4，…因此，三棱锥D-ABC的体积VD-ABC=13S△ABC⋅BD=16AB⋅BC⋅BD=16×2×2×4=83，即四面体ABCD的体积是83，…19.解：（1）因为f(x)=x+12x+2，f(x)在[1, +∞)上为增函数，所以f(x)在[1, +∞)上的最小值为f(1)=72．…（2）问题等价于f(x)=x2+2x+a>0，在[1, +∞)上恒成立．即a>-(x+1)2+1在[1, +∞)上恒成立． 令g(x)=-(x+1)2+1，则g(x)在[1, +∞)上递减，当x=1时，g(x)max=-3，所以a>-3，即实数a的取值范围是(-3, +∞)．…20.解：（1）由题意，r=42，θ=45∘，得指令为(42，45∘)，…（2）设机器人最快在点P(x, 0)处截住小球…则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有|17-x|=2(x-4)2+(0-4)2，…即3x2+2x-161=0得x=-233或x=7∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，∴x=7故机器人最快可在点P(7, 0)处截住小球，…所给的指令为(5, -98.13∘)…试卷第7页，总7页, 21.解：（1）由题意，∵点Pn，点(n, 0)与点(n+1.0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形，∴点Pn(an, bn)在两点(n, 0)与(n+1, 0)连线的中垂线上，∴an=n+12，∴bn=2000(a10)n+12，…（2）∵函数y=2000(a10)n(0<a<10)递减，∴对每个自然数n，有bn>bn+1>bn+2，则以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2bn+1bn，即(a10)2+(a10)-1>0…解得a<-5(1+5)或a>5(5-1)∴5(5-1)<a<10，…（3）∵5(5-1)<a<10，a取②中确定的范围内的最小整数，∴a=7，∴bn=2000(710)n+12…∴数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2，bn=bnbn-1，于是当bn≥1时，bn≥bn-1，当bn<1时，bn<bn-1，因此，数列{bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1．由bn=2000(710)n+12≥1得n≤20.8，∴n=20．…22.解：（1）由题设，|w|=|z0⋅z|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，于是由1+m2=4，且m>0，得m=3，…因此由x'+y'i=(1-3i)⋅(x+yi)=x+3y+(3x-y)i，得关系式x'=x+3yy'=3x-y…（2）设点P(x, y)在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q(x', y')满足x'=(1+3)x+3y'=(3x-1)x-1，…消去x，得y'=(2-3)x'-23+2，故点Q的轨迹方程为y=(2-3)x-23+2…③假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为y=kx+b(k≠0)，…[解法一]∵该直线上的任一点P(x, y)，其经变换后得到的点Q(x+3y，3x-y)仍在该直线上，∴3x-y=k(x+3y)+b，即-(3k+1)y=(k-3)x+b，当b≠0时，方程组-(3k+1)=1k-3=k无解，故这样的直线不存在． …当b=0时，由-(3k+1)1=k-3k，得3k2+2k-3=0，解得k=33或k=-3，故这样的直线存在，其方程为y=33x或y=-3x，…[解法二]取直线上一点P(-bk，0)，其经变换后的点Q(-bk，-3bk)仍在该直线上，∴-3bk=k(-bk)+b，得b=0，…故所求直线为y=kx，取直线上一点P(0, k)，其经变换后得到的点Q(1+3k，3-k)试卷第7页，总7页, 仍在该直线上．∴3-k=k(1+3k)，…即3k2+2k-3=0，得k=33或k=-3，故这样的直线存在，其方程为y=33x或y=-3x，…试卷第7页，总7页</a<10，…（3）∵5(5-1)<a<10，a取②中确定的范围内的最小整数，∴a=7，∴bn=2000(710)n+12…∴数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2，bn=bnbn-1，于是当bn≥1时，bn≥bn-1，当bn<1时，bn<bn-1，因此，数列{bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1．由bn=2000(710)n+12≥1得n≤20.8，∴n=20．…22.解：（1）由题设，|w|=|z0⋅z|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，于是由1+m2=4，且m></a<10)递减，∴对每个自然数n，有bn></a<10)的图象上，且点pn，点(n,>
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