1997年上海市高考数学试卷（理科）

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1997年上海市高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）)1.（1）化简(aa+b-a2a2+2ab+b2)÷(aa+b-a2a2-b2)；1.（2）计算12lg25+lg2-lg0.1-log29×log32；1.（3）-1=i，验算i是否方程2x4+3x3-3x2+3x-5=0的解；1.（4）求证：sin(π4+θ)sin(π4-θ)+cos(π4+θ)cos(π4-θ)=2cos2θ．2.在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3.已知圆A的直径为23，圆B的直径为4-23，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60∘，求BC及∠C．4.正六棱锥V-ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1:1画出它的三视图；（2）求其侧面积；（3）求它的侧棱和底面的夹角．5.解不等式16-x2≥0x2-x-6>0并在数轴上把它的解表示出来．6.已知两定点A(-4, 0)、B(4, 0)，一动点P(x, y)与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为-14，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．7.等腰梯形的周长为60，底角为60∘，问这梯形各边长为多少时，面积最大？8.当k为何值时，方程组x-y-2=0(1)kx-y-2k-10=0(2)有两组相同的解，并求出它的解．9.如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？试卷第5页，总5页并求出这个面积的最大值．10.已知曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3相交于点P(0, 3)、Q(3, 6)两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．试卷第5页，总5页参考答案与试题解析1997年上海市高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1.解：（1）原式=aa+b(1-aa+b)aa+b(1-aa-b)=b-aa+b．（2）12lg25+lg2-lg0.1-log29×log32=lg5+lg2+12-2log23×log32=-12（3）令x=i，左边=2-3i+3+3i-5=0，所以i是所给方程的一个解．（4）证：左边=sin(π4+θ)cos(π4-θ)+cos(π4+θ)sin(π4-θ)sin(π4-θ)cos(π4-θ)=sinπ2sin(π4-θ)cos(π4-θ)=112cos2θ=2cos2θ=右边．2.解：∵DE // BC，∴∠1=∠3．又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC，∴DEBC=AEAC，DEa=b-DEb，b⋅DE=ab-a⋅DE，故DE=aba+b．3.解：由已知条件可知，AC=1+3，AB=2，∠CAB=60∘根据余弦定理，可得BC=(1+3)2+4-2cos60∘(1+3)⋅2=6．由正弦定理，则sinC=AB⋅sinABC=22，∴∠C=45∘．4.解：（1）按1:1画出正六棱锥V-ABCDEF的三视图，如右图示：（2）斜高为22+(32×2)2=7(cm)，故侧面积=6×12×2×7=67(cm2)试卷第5页，总5页（3）侧棱长为72+12=22，侧棱与底面的夹角的正弦值为222=22故侧棱和底面的夹角45∘．5.解：解不等式得-4≤x≤4x>3或x<-2即-4≤x<-2或3<x≤46.解：∵A(-4, 0)、B(4, 0)，P(x, y)因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4∴直线PA、PB的斜率分别是k1=yx+4，k2=yx-4．由题意：PA、PB的斜率的乘积为-14，得：yx+4⋅yx-4=-14，化简得x216+y24=1，∴点P的轨迹的标准方程为x216+y24=1，x≠±4，它表示椭圆除去x轴上的两个顶点，故此曲线为椭圆，除去x轴上的两个顶点．7.解：设等腰梯形的腰长为x，(0<x<30)，则有AE=x2，BE=3x2，BC=60-2⋅AB-2AE2=60-2x-x2=60-3x2．等腰梯形ABCD的面积=BC+AD2⋅BE=(BC+AE)⋅BE=(60-3x2+x2)⋅32x=32(30x-x2)=32[225-(x-15)2]．由此可知，当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大．此时，腰AB=CD=x=15，上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.5．8.解：由(1)，x≥0，y≥2．由(2)，y=kx-2k-10．代入(1)，得x=kx-(2k+12)，x2-kx+(2k+12)=0此方程有二等根的条件是判别式为零，即k2-4(2k+12)=0，k2-8k-48=0，(k-12)(k+4)=0，k1=12，k2=-4（增根）∴当k=12时，x=6，y=38．试卷第5页，总5页 9.解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积设∠AOB=θ，则△ABC的面积=12⋅AB⋅AC⋅sin60∘=34⋅AB2=34(OB2+OA2-2⋅OB⋅OA⋅cosθ)=34(5-4cosθ)△OAB的面积=12⋅OA⋅OB⋅sinθ=12⋅2⋅1⋅sinθ=sinθ四边形OACB的面积=534+sinθ-3cosθ=534+2sin(θ-60∘)∴当θ-60∘=90∘，即θ=150∘时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为534+2．10.（1）过点(0, 3)的切线斜率为-2．过点(3, 6)的切线斜率为4．（2）曲线与直线所围成的图形的面积为4.5．试卷第5页，总5页