2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.已知集合ꚠݦꚠ，܇梨ܡܡ汰ɩݦɩܡȁ或ㄠ㘲܇，则ꚠ（）A.ݦ.B܇㘲ܡܡ汰ɩݦɩܡ梨或ㄠ㘲܇C.ݦ.D܇ȁܡܡ汰ɩݦɩܡ汰或ㄠ㘲܇㈠汰〮2.复数ꚠ汰㈠〮A.〮B.㈠〮C.㈠〮D.㈠〮3.执行如图所示的程序框图，输出的值为()A.B.C.汰D.ȁ4.下列函数中，在区间㈠数上为减函数的是()㈠A.ꚠB.ꚠcosC.ꚠln㈠D.ꚠ汰㈠5.圆㈠汰㈠汰ꚠ汰的圆心到直线ꚠ㈠ȁ的距离为()A.B.汰C.汰D.汰汰6.从甲、乙等㘲名学生中随机选出汰人，则甲被选中的概率为（）汰A.B.C.D.㘲㘲汰㘲汰㘲7.已知汰数㘲，梨数．若点数在线段上，则汰㈠的最大值为（）A.㈠B.ȁC.D.8.某学校运动会的立定跳远和ȁ秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序汰ȁ梨㘲号立定跳ᦙᦙ汰ᦙ汰ᦙᦙᦙᦙ梨ᦙ汰ᦙᦙ远（单位：米）ȁ秒ȁ㘲ȁ汰㈠㘲试卷第1页，总7页 跳绳（单位：次）在这名学生中，进入立定跳远决赛的有人，同时进入立定跳远决赛和ȁ秒跳绳决赛的有人，则（）A.汰号学生进入ȁ秒跳绳决赛B.㘲号学生进入ȁ秒跳绳决赛C.号学生进入ȁ秒跳绳决赛D.号学生进入ȁ秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.已知向量ꚠ数ȁ，ꚠȁ数，则与夹角的大小为________．10.函数ꚠ汰的最大值为________．㈠11.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．汰汰12.已知双曲线㈠ꚠㄠ数ㄠ的一条渐近线为汰㈠ꚠ，一个焦点为汰汰㘲数，则ꚠ________，ꚠ________．汰13.在䁨中，ꚠ，ꚠȁ，则ꚠ________．ȁ14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出种商品，第二天售出ȁ种商品，第三天售出种商品；前两天都售出的商品有ȁ种，后两天都售出的商品有梨种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最少有________种．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知ݦ，列数差等是܇ݦ܇是等比数列，且汰ꚠȁ，ȁꚠ，ꚠ，梨ꚠ梨．求ݦ܇的通项公式；汰设ꚠ㈠，求数列ݦ܇的前项和．16.已知函数ꚠ汰sincos㈠cos汰ㄠ的最小正周期为．求的值；汰求的单调递增区间．试卷第2页，总7页 17.某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过立方米的部分按梨元/立方米收费，超出立方米的部分按元/立方米收费，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使查以上居民在该月的用水价格为梨元/立方米，至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当ꚠȁ时，估计该市居民该月的人均水费．18.如图，在四棱锥㈠䁨区中，䁨平面䁨区，区䁨，区䁨䁨．求证：区䁨平面䁨；汰求证：平面平面䁨；ȁ设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面䁨？说明理由．汰汰19.已知椭圆䁨㈠ꚠ过点汰数，数两点．汰汰求椭圆䁨的方程及离心率；汰设为第三象限内一点且在椭圆䁨上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．20.设函数ꚠȁ㈠汰㈠㈠．求曲线ꚠ在点（数）处的切线方程；汰设ꚠꚠ梨，若函数有三个不同零点，求的取值范围；ȁ求证：汰㈠ȁㄠ是有三个不同零点的必要而不充分条件．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.C8.B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.10.汰ȁ11.汰12.,汰13.14.,汰三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：ݦ，列数差等的为差公是܇ݦ܇是公比为的等比数列，ȁ由汰ꚠȁ，ȁꚠ，可得ꚠꚠȁ，汰ꚠ㈠汰ꚠȁȁ㈠汰ꚠȁ㈠，汰即有ꚠꚠ，梨ꚠ梨ꚠ汰，梨㈠则ꚠꚠ汰，ȁ则ꚠ㈠㈠ꚠ㈠汰㈠ꚠ汰㈠；汰ꚠ㈠ꚠ汰㈠㈠ȁ㈠，则数列ݦ܇的前项和为㈠ȁ㈠ᦙᦙᦙ㈠汰㈠㈠㈠ȁ㈠㈠ᦙᦙᦙ㈠ȁ㈠㈠ȁꚠ汰㈠汰㈠ȁ汰ȁ㈠ꚠ㈠．汰16.解：ꚠ汰sincos㈠cos汰ꚠsin汰㈠cos汰汰汰ꚠ汰sin汰㈠cos汰汰汰试卷第4页，总7页 ꚠ汰sin汰㈠．梨汰由ꚠꚠ，得ꚠ.汰汰由得，ꚠ汰sin汰㈠．梨再由㈠㈠汰洠汰㈠㈠汰洠，洠，汰梨汰ȁ得㈠㈠洠㈠洠，洠，ȁ∴的单调递增区间为㈠㈠洠数㈠洠洠．17.解：（1）由频率分布直方图得：用水量在ᦙ㘲数的频率为ᦙ，用水量在数ᦙ㘲的频率为ᦙ㘲，用水量在ᦙ㘲数汰的频率为ᦙ汰，用水量在汰数汰ᦙ㘲的频率为ᦙ汰㘲，用水量在汰ᦙ㘲数ȁ的频率为ᦙ㘲，用水量在ȁ数ȁᦙ㘲的频率为ᦙ㘲，用水量在ȁᦙ㘲数梨的频率为ᦙ㘲，用水量在梨数梨ᦙ㘲的频率为ᦙ㘲，∵用水量小于等于ȁ立方米的频率为㘲查，∴为使查以上居民在该用的用水价为梨元/立方米，∴至少定为ȁ立方米．（2）当ꚠȁ时，该市居民的人均水费为：ᦙ㈠ᦙ㘲ᦙ㘲㈠ᦙ汰汰㈠ᦙ汰㘲汰ᦙ㘲㈠ᦙ㘲ȁ梨㈠ᦙ㘲ȁ梨㈠ᦙ㘲ᦙ㘲㈠ᦙ㘲ȁ梨㈠ᦙ㘲㈠ᦙ㘲ȁ梨㈠ᦙ㘲ᦙ㘲ꚠᦙ㘲，∴当ꚠȁ时，估计该市居民该月的人均水费为ᦙ㘲元．18.证明：∵䁨平面䁨区，区䁨平面䁨区，∴䁨区䁨，∵区䁨䁨，䁨䁨ꚠ䁨，∴区䁨平面䁨；汰证明：∵区䁨，区䁨䁨，∴䁨，∵䁨平面䁨区，平面䁨区，∴䁨，∵䁨䁨ꚠ䁨，∴平面䁨，∵平面，∴平面平面䁨；ȁ在棱上存在中点，使得平面䁨．试卷第5页，总7页 ∵点为的中点，∴，∵平面䁨，平面䁨，∴平面䁨．汰汰19.解：∵椭圆䁨㈠ꚠ过点汰数，数两点，汰汰∴ꚠ汰，ꚠ，则ꚠ汰㈠汰ꚠ梨㈠ꚠȁ，汰汰ȁ∴椭圆䁨的方程为㈠ꚠ，离心率为ꚠ.梨汰汰证明：如图.设数，则汰㈠梨汰ꚠ梨.由题知洠ꚠ，所在直线方程为ꚠ㈠汰，㈠汰㈠汰汰取ꚠ，得ꚠ㈠.㈠汰㈠㈠洠ꚠ，所在直线方程为ꚠ㈠，取ꚠ，得ꚠ㈠.㈠汰∴ɩɩꚠ汰㈠ꚠ汰㈠，ɩɩꚠ㈠ꚠ㈠，㈠㈠汰∴ꚠɩɩɩɩ四边形汰汰ꚠ汰㈠㈠汰㈠㈠汰汰㈠梨㈠梨汰㈠梨㈠㈠梨ꚠ汰㈠汰㈠㈠汰梨㈠汰㈠㈠汰ꚠꚠ梨ꚠ汰．汰㈠汰㈠㈠汰汰即四边形的面积为定值汰．20.解：函数ꚠȁ㈠汰㈠㈠的导数为ꚠȁ汰㈠汰㈠，可得ꚠ在点（数）处的切线斜率为洠ꚠꚠ，切点为数，可得切线的方程为ꚠ㈠.（2）设ꚠꚠ梨，即有ꚠȁ㈠梨汰㈠梨㈠，由ꚠ，可得㈠ꚠȁ㈠梨汰㈠梨，由ꚠȁ㈠梨汰㈠梨的导数ꚠȁ汰㈠㈠梨ꚠ㈠汰ȁ㈠汰，汰当ㄠ㈠或ܡ㈠汰时，ㄠ，递增；ȁ试卷第6页，总7页 汰当㈠汰ܡܡ㈠时，ܡ，递减．ȁ即有在ꚠ㈠汰处取得极大值，且为；汰ȁ汰在ꚠ㈠处取得极小值，且为㈠．ȁ汰ȁ汰由函数有三个不同零点，可得㈠ܡ㈠ܡ，汰ȁ汰解得ܡܡ，汰ȁ汰则的取值范围是数.汰ȁ证明：若有三个不同零点，令ꚠ，可得的图象与轴有三个不同的交点．即有有ȁ个单调区间，即为导数ꚠȁ汰㈠汰㈠的图象与轴有两个交点，可得ㄠ，即梨汰㈠汰ㄠ，即为汰㈠ȁㄠ；若汰㈠ȁㄠ，即有导数ꚠȁ汰㈠汰㈠的图象与轴有两个交点，当ꚠ，ꚠꚠ梨时，满足汰㈠ȁㄠ，即有ꚠ㈠汰汰，图象与轴交于数，㈠汰数，则的零点为汰个．故汰㈠ȁㄠ是有三个不同零点的必要而不充分条件．试卷第7页，总7页