2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）)1.复数ݣꔀޭꔀA.ݣ.Dݣ.Cݣ.Bݣ2.若，满足，则＝ݣ的最大值为（）A.B.C.D.ݣݣ3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A.ݣݣꔀB.䁡ꔀC.䁡䁡ꔀD.㌳ꔀ4.设，是两个不同的平面，是直线且，“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件试卷第1页，总9页,5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A.ݣݣ.C䁡.BݣD.6.设是等差数列，下列结论中正确的是()A.若ݣ则，ݣB.若，则ݣC.若ݣ则，ݣD.若，则ݣꔀݣꔀ7.如图，函数ꔀ的图象为折线Ro，则不等式ꔀlogݣꔀ的解集是（）A.B.C.D.ݣ8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是ꔀA.消耗升汽油，乙车最多可行驶千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以㌳千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油D.某城市机动车最高限速㌳千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油试卷第2页，总9页,二、填空题（每小题5分，共30分）)9.在ݣꔀ的展开式中，的系数为________（用数字作答）ݣ10.已知双曲线ݣ＝ꔀ的一条渐近线为＝，则＝________．ݣ11.在极坐标系中，点ݣꔀ到直线cossinꔀޭ䁞的距离为________．sinݣ12.在oR中，ޭ䁡，ޭ，ޭ䁞，则ޭ________．sinR13.在oR中，点，满足ޭݣR，oޭR，若ޭoR，则＝________________，＝________．ݣ，14.设函数ꔀޭ䁡ꔀݣꔀ①若ޭ，则ꔀ的最小值为________；②若ꔀ恰有ݣ个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共80分）)ݣ15.已知函数ꔀޭݣsincosݣsin．ݣݣݣꔀ求ꔀ的最小正周期；ݣꔀ求ꔀ在区间上的最小值．16.，o两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：，，ݣ，，䁡，，䁞o组；ݣ，，，䁞，，䁡，假设所有病人的康复时间相互独立，从，o两组随机各选人，组选出的人记为甲，o组选出的人记为乙．Ⅰꔀ求甲的康复时间不少于䁡天的概率；Ⅱꔀ如果＝ݣ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；Ⅲꔀ当为何值时，，o两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17.如图，在四棱锥䁞Ro中，䁞为等边三角形，平面䁞平面䁞Ro，䁞oR，oRޭ䁡，䁞ޭݣ，䁞oRޭRoޭ䁞，为䁞的中点．（1）求证：o䁞．（2）求二面角䁞o的余弦值；试卷第3页，总9页,（3）若o䁞平面R，求的值．18.已知函数ꔀޭln，‸ꔀ求曲线ޭꔀ在点（ꔀ）处的切线方程；‸‸ꔀ求证，当ꔀ时，ꔀݣꔀ；‸‸‸ꔀ设实数使得ꔀꔀ对ꔀ恒成立，求的最大值．ݣݣݣ19.已知椭圆Rޭꔀ的离心率为，点ꔀ和点ꔀꔀ都ݣݣݣ在椭圆R上，直线交轴于点．ꔀ求椭圆R的方程，并求点的坐标（用，表示）；ݣꔀ设为原点，点o与点关于轴对称，直线o交轴于点，问：轴上是否存在点，使得ޭ？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．ݣ㌳20.已知数列满足：，䁞，且ޭݣ＝䁞ݣ,…ꔀ，㌳记集合＝．Ⅰꔀ若＝䁞，写出集合的所有元素；Ⅱꔀ如集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；Ⅲꔀ求集合的元素个数的最大值．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2015年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1.A2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.D二、填空题（每小题5分，共30分）9.䁡10.11.12.13.,ݣ䁞14.,或ݣݣ三、解答题（共6小题，共80分）ݣ15.解：ꔀꔀޭݣsincosݣsinݣݣݣݣݣޭsincosꔀݣݣݣޭsincoscossin䁡䁡ݣݣޭsinꔀ，䁡ݣ则ꔀ的最小正周期为ݣ.ݣꔀ由，可得，䁡䁡䁡ݣ即有sinꔀ，䁡ݣ则当ޭ时，sinꔀ取得最小值，䁡䁡ݣ则有ꔀ在区间上的最小值为．ݣ试卷第5页，总9页,16.设事件为“甲是组的第个人”，事件o为“乙是o组的第个人”，由题意可知ꔀ＝oꔀޭ，＝，ݣ，••，（1）事件“甲的康复时间不少于䁡天”等价于“甲是组的第或第䁞或第个人”∴甲的康复时间不少于䁡天的概率䁞ꔀ＝ꔀ䁞ꔀꔀޭ；（2）设事件R为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则R＝䁡oo䁞oooݣ䁞oݣoݣo䁞o䁞o䁞，∴Rꔀ＝䁡oꔀoꔀ䁞oꔀoꔀoݣꔀ䁞oݣꔀoݣꔀoꔀ䁞o䁞ꔀo䁞ꔀ＝䁡oꔀ＝䁡ꔀoꔀޭ䁡Ⅲꔀ当为或㌳时，，o两组病人康复时间的方差相等．17.证明：（1）∵䁞为等边三角形，为䁞的中点，∴䁞，∵平面䁞平面䁞Ro，平面䁞，∴平面䁞Ro∴o䁞．（2）取oR的中点，连接，∵䁞Ro是等腰梯形，∴䁞，由（1）知平面䁞Ro，∵平面䁞Ro，∴，建立如图的空间坐标系，则䁞ޭ，oޭݣޭ䁞nat〴oޭ〴䁞，ݣޭ〴o，ޭ〴，ݣꔀ，则䁞ꔀ，ꔀ，oݣݣꔀ,ꔀ，䁞ޭꔀ，o䁞ޭݣݣꔀ,ꔀ，设平面䁞o的法向量为ޭꔀ，ޭ则o䁞ޭ，即，ݣꔀݣꔀޭ令ޭ，则ޭ，ޭ，试卷第6页，总9页,即ޭꔀ，平面䁞的法向量为ޭꔀ，则cos，ޭޭ即二面角䁞o的余弦值为；（3）若o䁞平面R，则o䁞R，即o䁞Rޭ，∵o䁞ޭݣݣޭR，ꔀ,ꔀݣݣꔀ,ꔀ，∴o䁞Rޭݣꔀݣꔀݣݣޭ，䁡解得ޭ．18.ꔀ因为ꔀޭlnꔀlnꔀ所以䳌ꔀޭ，䳌ꔀޭݣ又因为ꔀޭ，所以曲线ޭꔀ在点（ꔀ）处的切线方程为ޭݣ．ݣꔀޭꔀ令：明证ꔀݣꔀ，则䳌䳌ݣݣ䁡ꔀޭꔀݣꔀޭ，ݣ因为䳌ꔀꔀ，所以ꔀ在区间ꔀ上单调递增．所以ꔀꔀޭ，ꔀ，即当ꔀ时，ꔀݣꔀ．ꔀ由ݣ当，知ꔀݣ时，ꔀꔀ对ꔀ恒成立．当ݣ时，令ꔀޭꔀꔀ，则䳌䳌ݣ䁡ݣꔀꔀޭꔀꔀޭ，ݣ䁡ݣ䁡䳌ݣ所以当时，ꔀ，因此ꔀ在区间ꔀ上单调递减．䁡ݣ当时，ꔀꔀޭ，即ꔀꔀ．试卷第7页，总9页,所以当ݣ时，ꔀꔀ并非对ꔀ恒成立．综上所知，的最大值为ݣ．ޭ，ݣ19.解：ꔀ由题意得出ޭ，ݣݣݣޭݣ，解得：ޭݣ，ޭ，ޭ.ݣ∴ݣޭ，ݣ∵ꔀ和点ꔀ，.∴的方程为：ޭ，ޭ时，ޭ.∴ꔀ.ݣꔀ∵点o与点关于轴对称，点ꔀꔀ，∴点oꔀꔀ，∵直线o交轴于点，∴ꔀ，∵存在点，使得ޭ，ꔀ，∴tanޭtan，ݣݣݣ∴ޭ，即ޭ，ݣޭ，ݣݣޭޭݣ，ݣ∴ޭݣ，故轴上存在点，使得ޭ，ݣꔀ或ݣꔀ.ݣ㌳20.（1）若＝䁞，由于ޭݣ＝䁞ݣ,…ꔀ，＝．㌳故集合的所有元素为䁞，ݣ，ݣ䁡；（2）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由ޭݣ㌳＝ݣ,…ꔀ，可归纳证明对任意，是的倍数．ݣ䁞㌳试卷第8页，总9页,如果＝，的所有元素都是的倍数；如果，因为＝ݣ以所，䁞ݣ＝或，ݣ是的倍数；于是是的倍数；类似可得，ݣ，…，都是的倍数；从而对任意，是的倍数；综上，若集合存在一个元素是的倍数，则集合的所有元素都是的倍数ݣ㌳Ⅲꔀ对䁞，ޭ＝ݣ,…ꔀ，可归纳证明对任意，ݣ䁞㌳䁞＝ݣ,…ꔀݣ㌳因为是正整数，ݣ是ݣ以所，ޭݣ的倍数．ݣ䁞㌳从而当ݣ是，时ݣ的倍数．如果是的倍数，由Ⅱꔀ知，对所有正整数，是的倍数．因此当时，ݣݣ䁡䁞，这时的元素个数不超过．如果不是的倍数，由Ⅱꔀ知，对所有正整数，不是的倍数．因此当时，䁡㌳䁞ݣ㌳ݣݣ，这时的元素个数不超过㌳．当＝时，＝ݣ㌳ݣݣ䁞㌳䁡ݣ，有㌳个元素．综上可知，集合的元素个数的最大值为㌳．试卷第9页，总9页