2014年北京市高考数学试卷（文科）
ID：44777
2021-10-19
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2014年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.若集合A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，则A∩B=()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{0, 4}C.{1, 2}D.{3}2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A.y=e-xB.y=xC.y=lnxD.y=|x|3.已知向量a→=(2, 4)，b→=(-1, 1)，则2a→-b→=( )A.(5, 7)B.(5, 9)C.(3, 7)D.(3, 9)4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=6x-log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 4)D.(4, +∞)7.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m, 0)，B(m, 0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90∘，则m的最大值为( )A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（试卷第9页，总9页, ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)9.若(x+i)i=-1+2i(x∈R)，则x=________．10.设双曲线C的两个焦点为(-2, 0)，(2, 0)，一个顶点是(1, 0)，则C的方程为________．11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．12.在△ABC中，a=1，b=2，cosC=14，则c=________；sinA=________．13.若x，y满足y≤1，x-y-1≤0，x+y-1≥0， 则z=3x+y的最小值为________．14.顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为________ 个工作日．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)15.已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列．求数列{an}和{bn}的通项公式；试卷第9页，总9页, 求数列{bn}的前n项和．16.函数f(x)=3sin(2x+π6)的部分图象如图所示．1写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；2求f(x)在区间[-π2, -π12]上的最大值和最小值．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F // 平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．18.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0, 2)62[2, 4)83[4, 6)174[6, 8)225[8, 10)256[10, 12)127[12, 14)68[14, 16)29[16, 18)2合计100试卷第9页，总9页, (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19.已知椭圆C:x2+2y2=4．(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．20.已知函数f(x)=2x3-3x．(1)求f(x)在区间[-2, 1]上的最大值；(2)若过点P(1, t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(-1, 2)，B(2, 10)，C(0, 2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？（只需写出结论）试卷第9页，总9页, 参考答案与试题解析2014年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.C2.B3.A4.C5.D6.C7.B8.B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.210.x2-y2=111.2212.2,15813.114.42三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.设等差数列{an}的公差为d，由题意得d=a4-a13=12-33=3．所以an=a1+(n-1)d=3n(n∈N*)，设等比数列{bn-an}的公比为q，由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2．所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1．从而bn=3n+2n-1(n∈N*)．由（1）知bn=3n+2n-1．数列{3n}的前n项和为32n(n+1)，数列{2n-1}的前n项和为1×1-2n1-2=2n-1，所以，数列{bn}的前n项和为32n(n+1)+2n-1．16.解：1∵f(x)=3sin(2x+π6)，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，可知y0为函数的最大值3，x0=7π6；试卷第9页，总9页, 2∵x∈[-π2, -π12]，∴2x+π6∈[-5π6, 0]，∴当2x+π6=0，即x=-π12时，f(x)取最大值0，当2x+π6=-π2，即x=-π3时，f(x)取最小值-3.17.(1)证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG，∵F是BC的中点，∴FG // AC，FG=12AC，∵E是A1C1的中点，∴FG // EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F // EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F // 平面ABE.(3)解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=3，∴VE-ABC=13S△ABC⋅AA1=13×12×3×1×2=33．18.解：(1)由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为90100=0.9；(2)由频率分布表知：数据在[4, 6)的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8, 10)的频数为25，试卷第9页，总9页, ∴频率为0.25，∴b=0.125；(3)数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．19.解：(1)椭圆C:x2+2y2=4化为标准方程为x24+y22=1，∴a=2，b=2，c=2，∴椭圆C的离心率e=ca=22；(2)设A(t, 2)，B(x0, y0)，x0≠0，∵OA⊥OB，∴OA→⋅OB→=0，∴tx0+2y0=0，∴t=-2y0x0，∵x02+2y02=4，∴|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=(x0+2y0x0)2+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(00且g(1)<0，即-30，∴g(x)分别在区间[-1, 0)，[0, 1)和[1, 2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(-∞, 0)和[1, +∞)上单调，故g(x)分别在区间(-∞, 0)和[1, +∞)上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P(1, t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时，t的取值范围是(-3, -1)．(3)过点A(-1, 2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；理由如下：设过点A(-1, 2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0, y0)，则y0=2x03-3x0，且切线斜率为k=6x02-3，∴切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0)，∴2-y0=(6x02-3)(-1-x0)，即4x03+6x02-1=0，设g(x)=4x3+6x2-1，则“过点A(-1, 2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”，等价于“g(x)有3个不同的零点”．∵g'(x)=12x2+12x=12x(x+1)，∴g(x)与g'(x)变化情况如下：x(-∞, -1)-1(-1, 0)0(0, +∞)试卷第9页，总9页, g'(x)+0-0+g(x)↗1↘-1↗显然g(x)分别在区间(-∞, -1)，[-1, 0]和(0, +∞)上恰有1个零点，∴过点A(-1, 2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切；理由如下：设过点B(2, 10)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0, y0)，则y0=2x03-3x0，且切线斜率为k=6x02-3，∴切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0)，∴10-y0=(6x02-3)(2-x0)，即x03-3x02+4=0，设g(x)=x3-3x2+4，则“过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切”，等价于“g(x)有2个不同的零点”．∵g'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，∴g(x)与g'(x)变化情况如下：x(-∞, 0)0(0, 2)2(2, +∞)g'(x)+0-0+g(x)↗4↘0↗显然g(x)分别在区间(-∞, 0)和[2, +∞)上恰有1个零点，∴过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切；过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切．理由如下：设过点C(0, 2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0, y0)，则y0=2x03-3x0，且切线斜率为k=6x02-3，∴切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0)，∴2-y0=(6x02-3)(0-x0)，即2x03+1=0，设g(x)=2x3+1，则“过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切”，等价于“g(x)有1个零点”．∵g'(x)=6x2≥0，∴g(x)在R上单调递增，∴g(x)在R只有1个零点，∴过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切．试卷第9页，总9页
2014年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.若集合A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，则A∩B=()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{0, 4}C.{1, 2}D.{3}2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A.y=e-xB.y=xC.y=lnxD.y=|x|3.已知向量a→=(2, 4)，b→=(-1, 1)，则2a→-b→=( )A.(5, 7)B.(5, 9)C.(3, 7)D.(3, 9)4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A.1B.3C.7D.155.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=6x-log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 4)D.(4, +∞)7.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m, 0)，B(m, 0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90∘，则m的最大值为( )A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（试卷第9页，总9页, ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)9.若(x+i)i=-1+2i(x∈R)，则x=________．10.设双曲线C的两个焦点为(-2, 0)，(2, 0)，一个顶点是(1, 0)，则C的方程为________．11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．12.在△ABC中，a=1，b=2，cosC=14，则c=________；sinA=________．13.若x，y满足y≤1，x-y-1≤0，x+y-1≥0， 则z=3x+y的最小值为________．14.顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为________ 个工作日．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)15.已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列．求数列{an}和{bn}的通项公式；试卷第9页，总9页, 求数列{bn}的前n项和．16.函数f(x)=3sin(2x+π6)的部分图象如图所示．1写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；2求f(x)在区间[-π2, -π12]上的最大值和最小值．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F // 平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．18.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0, 2)62[2, 4)83[4, 6)174[6, 8)225[8, 10)256[10, 12)127[12, 14)68[14, 16)29[16, 18)2合计100试卷第9页，总9页, (1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）19.已知椭圆C:x2+2y2=4．(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．20.已知函数f(x)=2x3-3x．(1)求f(x)在区间[-2, 1]上的最大值；(2)若过点P(1, t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(-1, 2)，B(2, 10)，C(0, 2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？（只需写出结论）试卷第9页，总9页, 参考答案与试题解析2014年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.C2.B3.A4.C5.D6.C7.B8.B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.210.x2-y2=111.2212.2,15813.114.42三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.设等差数列{an}的公差为d，由题意得d=a4-a13=12-33=3．所以an=a1+(n-1)d=3n(n∈N*)，设等比数列{bn-an}的公比为q，由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2．所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1．从而bn=3n+2n-1(n∈N*)．由（1）知bn=3n+2n-1．数列{3n}的前n项和为32n(n+1)，数列{2n-1}的前n项和为1×1-2n1-2=2n-1，所以，数列{bn}的前n项和为32n(n+1)+2n-1．16.解：1∵f(x)=3sin(2x+π6)，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，可知y0为函数的最大值3，x0=7π6；试卷第9页，总9页, 2∵x∈[-π2, -π12]，∴2x+π6∈[-5π6, 0]，∴当2x+π6=0，即x=-π12时，f(x)取最大值0，当2x+π6=-π2，即x=-π3时，f(x)取最小值-3.17.(1)证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG，∵F是BC的中点，∴FG // AC，FG=12AC，∵E是A1C1的中点，∴FG // EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F // EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F // 平面ABE.(3)解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=3，∴VE-ABC=13S△ABC⋅AA1=13×12×3×1×2=33．18.解：(1)由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为90100=0.9；(2)由频率分布表知：数据在[4, 6)的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8, 10)的频数为25，试卷第9页，总9页, ∴频率为0.25，∴b=0.125；(3)数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．19.解：(1)椭圆C:x2+2y2=4化为标准方程为x24+y22=1，∴a=2，b=2，c=2，∴椭圆C的离心率e=ca=22；(2)设A(t, 2)，B(x0, y0)，x0≠0，∵OA⊥OB，∴OA→⋅OB→=0，∴tx0+2y0=0，∴t=-2y0x0，∵x02+2y02=4，∴|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=(x0+2y0x0)2+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(0<x02≤4)，∵x022+8x02≥4(0<x02≤4)，当且仅当x022=8x02，即x02=4时等号成立，∴|ab|2≥8．∴线段ab长度的最小值为22．20.解：(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3，令f'(x)=0得，x=-22或x=22，∵f(-2)=-10，f(-22)=2，f(22)=-2，f(1)=-1，∴f(x)在区间[-2, 1="">0且g(1)<0，即-3<t<-1时，∵g(-1)=t-7<0，g(2)=t+11>0，∴g(x)分别在区间[-1, 0)，[0, 1)和[1, 2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(-∞, 0)和[1, +∞)上单调，故g(x)分别在区间(-∞, 0)和[1, +∞)上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P(1, t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时，t的取值范围是(-3, -1)．(3)过点A(-1, 2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；理由如下：设过点A(-1, 2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0, y0)，则y0=2x03-3x0，且切线斜率为k=6x02-3，∴切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0)，∴2-y0=(6x02-3)(-1-x0)，即4x03+6x02-1=0，设g(x)=4x3+6x2-1，则“过点A(-1, 2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”，等价于“g(x)有3个不同的零点”．∵g'(x)=12x2+12x=12x(x+1)，∴g(x)与g'(x)变化情况如下：x(-∞, -1)-1(-1, 0)0(0, +∞)试卷第9页，总9页, g'(x)+0-0+g(x)↗1↘-1↗显然g(x)分别在区间(-∞, -1)，[-1, 0]和(0, +∞)上恰有1个零点，∴过点A(-1, 2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切；理由如下：设过点B(2, 10)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0, y0)，则y0=2x03-3x0，且切线斜率为k=6x02-3，∴切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0)，∴10-y0=(6x02-3)(2-x0)，即x03-3x02+4=0，设g(x)=x3-3x2+4，则“过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切”，等价于“g(x)有2个不同的零点”．∵g'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，∴g(x)与g'(x)变化情况如下：x(-∞, 0)0(0, 2)2(2, +∞)g'(x)+0-0+g(x)↗4↘0↗显然g(x)分别在区间(-∞, 0)和[2, +∞)上恰有1个零点，∴过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切；过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切．理由如下：设过点C(0, 2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0, y0)，则y0=2x03-3x0，且切线斜率为k=6x02-3，∴切线方程为y-y0=(6x02-3)(x-x0)，∴2-y0=(6x02-3)(0-x0)，即2x03+1=0，设g(x)=2x3+1，则“过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切”，等价于“g(x)有1个零点”．∵g'(x)=6x2≥0，∴g(x)在R上单调递增，∴g(x)在R只有1个零点，∴过点C(0, 2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切．试卷第9页，总9页</t<-1时，∵g(-1)=t-7<0，g(2)=t+11></x02≤4)，∵x022+8x02≥4(0<x02≤4)，当且仅当x022=8x02，即x02=4时等号成立，∴|ab|2≥8．∴线段ab长度的最小值为22．20.解：(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3，令f'(x)=0得，x=-22或x=22，∵f(-2)=-10，f(-22)=2，f(22)=-2，f(1)=-1，∴f(x)在区间[-2,>
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