2013年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.已知集合A={-1, 0, 1}，B={x|-1≤x<1}，则A∩B=（）A.{0}B.{-1, 0}C.{0, 1}D.{-1, 0, 1}2.设a，b，c∈R，且a>b，则(    )A.ac>bcB.1a<1bC.a2>b2D.a3>b33.下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上是单调递减的是()A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|4.在复平面内，复数i(2-i)对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.在△ABC中，a=3，b=5，sinA=13，则sinB=（）A.15B.59C.53D.16.执行如图所示的程序框图，输出的S值为(    )A.1B.23C.1321D.6109877.双曲线x2-y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是（）A.m>12B.m≥1C.m>1D.m>2试卷第7页，总7页, 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A.3个B.4个C.5个D.6个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)9.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1, 0)，则p=________；准线方程为________．10.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．11.若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=________；前n项和Sn=________．12.设D为不等式组x≥02x-y≤0x+y-3≤0表示的平面区域，区域D上的点与点(1, 0)之间的距离的最小值为________．13.函数f(x)=log12x,x≥12x,x<1 的值域为________．14.已知点A(1, -1)，B(3, 0)，C(2, 1)．若平面区域D由所有满足AP→=λAB→+μAC→(1≤λ≤2, 0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)15.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x．(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2,π，且f(α)=22，求α的值．16.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日试卷第7页，总7页, 中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB // CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE // 平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD．18.已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)若曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切，求a，b的值；(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．19.直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:x24+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0, 1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．20.给定数列a1，a2，…，an．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi．(1)设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，an-1(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0．证明：d1，d2，…，dn-1是等比数列；(3)设d1，d2，…，dn-1是公差大于0的等差数列，且d1>0．证明：a1，a2，…，an-1是等差数列．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2013年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.B2.D3.C4.A5.B6.C7.C8.B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.2,x=-110.311.2,2n+1-212.25513.(-∞, 2)14.3三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x=12sin4x+12cos4x=22sin(4x+π4)∴T=2π4=π2，函数的最大值为：22．(2)∵f(x)=22sin(4x+π4)，f(α)=22，∴sin(4α+π4)=1，∴4α+π4=π2+2kπ，k∈Z，∴α=π16+kπ2，又∵α∈π2,π，∴α=916π．16.解：(1)由图看出，1日至13日13天的时间内，空气重度污染的是5日、8日共2天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量重度污染的概率P=213.试卷第7页，总7页, (2)此人在该市停留期间两天的空气质量指数为(86, 25)，(25, 57)，(57, 143)，(143, 220)，(220, 160)，(160, 40)，(40, 217)，(217, 160)，(160, 121)，(121, 158)，(158, 86)，(86, 79)，(79, 37)共13种情况,其中只有1天空气重度污染的是(143, 220)，(220, 160)，(40, 217)，(217, 160)共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P=413.(3)因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5，6，7三天的空气质量指数方差最大．17.证明：(1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴由平面和平面垂直的性质定理可得，PA⊥平面ABCD．(2)∵AB // CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，∴AB=//12CD=DE，∴四边形ABED为平行四边形，故有BE // AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE // 平面PAD．(3)平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF // PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．18.解：(1)f'(x)=2x+xcosx=x(2+cosx)，∵曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切，∴f'(a)=a(2+cosa)=0，f(a)＝b，联立2a+acosa=0，a2+asina+cosa=b， 解得a=0，b=1， 故a=0，b=1．(2)∵f'(x)=x(2+cosx)．令f'(x)=0，得x=0，x，f(x)，f'(x)的变化情况如表：试卷第7页，总7页, x(-∞, 0)0(0, +∞)f'(x)-0+f(x)1∴函数f(x)在区间(-∞, 0)上单调递减，在区间(0, +∞)上单调递增，f(0)=1是f(x)的最小值．故当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同的交点．19.解：(1)∵点B的坐标为(0, 1)，当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B(0, 1)，O(0, 0)，∴线段OB的垂直平分线为y=12，将y=12代入椭圆方程得x=±3，因此A、C的坐标为(±3, 12)，如图，于是AC=23．(2)欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OA=OC，设OA=OC=r，则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆W:x24+y2=1的交点，故3x24=r2-1，x2=43(r2-1)，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．于是结论得证．20.(1)解：当i=1时，A1=3，B1=1，故d1=A1-B1=2，同理可求d2=3，d3=6.(2)证明：因为 a1>0，公比q>1，所以数列a1,a2,a3，…，ann≥4是递增数列．因此，对i=1,2，…，n-1,Ai=ai,Bi=ai+1,所以di=Ai-Bi=ai-ai+1．所以di≠0，且di+1di=qi=1，2…，n-2）.所以数列d1，d2，…，dn-1是等比数列.(3)证明：设d为d1，d2，…，dn-1的公差，对1≤i≤n-2，因为Bi≤Bi+1，d>0，所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai，又因为Ai+1=max{Ai, ai+1}，所以ai+1=Ai+1>Ai≥ai．从而a1，a2，…，an-1为递增数列．因为Ai=ai(i=1, 2,…n-1)，又因为B1=A1-d1=a1-d1