2011年北京市高考数学试卷（文科）
ID：44771
2021-10-19
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2011年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁UP=()A.(-∞, -1]B.[1, +∞)C.[-1, 1]D.(-∞, -1)∪(1, +∞)2.复数i-21+2i=()A.iB.-iC.-45-35iD.-45+35i3.如果log12x0)的一条渐近线的方程为y=2x，则b=________．11.已知向量a→=(3, 1)，b→=(0, -1)，c→=(k, 3)．若a→-2b→与c→共线，则k=________．12.在等比数列{an}中，a1=12，a4=-4，则公比q=________；a1+a2+...+an=________．13.已知函数f(x)=2x，x≥2(x-1)3，x<2若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是________．14.设A(0, 0)，B(4, 0)，C(t+4, 3)，D(t, 3)(t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)=________，N(t)的所有可能取值为________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知f(x)=4cosxsin(x+π6)-1．1求f(x)的最小正周期；2求f(x)在区间[-π6, π4]上的最大值和最小值．16.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（注：方差S2=1n[(x1-x→)2+(x2-x→)2+…+(xn-x→)2]，其中x→为x1，x2，…，xn的平均数）（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．试卷第7页，总7页, 17.如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．（1）求证：DE // 平面BCP；（2）求证：四边形DEFG为矩形；（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．18.已知函数f(x)=(x-k)ex．（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)在区间[0, 1]上的最小值．19.已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22, 0)，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3, 2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．20.若数列An:a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1, 2,…,n-1)，则称An为E数列，记S(An)=a1+a2+...+an．（1）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（2）若a1=12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011；（3）在a1=4的E数列An中，求使得S(An)=0成立得n的最小值．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2011年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.D2.A3.D4.D5.B6.C7.B8.A二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.52310.211.112.-2,1-(-2)n613.(0, 1)14.6,6、7、8三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：1∵f(x)=4cosxsin(x+π6)-1，=4cosx(32sinx+12cosx)-1=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，所以函数的最小正周期为π；2∵-π6≤x≤π4，∴-π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取最大值2，当2x+π6=-π6时，即x=-π6时，f(x)取得最小值-1．16.解：（1）当X=8时，由茎叶图可知乙组同学的植树棵树是8，8，9，10，∴平均数是X=8+8+9+104=354，方差是14×[(8-354)2+(8-354)2+(9-354)2+(10-354)2]=1116．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率．若X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，试卷第7页，总7页, 包括：(9, 10)，(11, 8)，(11, 8)，(9, 10)共有4种结果，∴根据等可能事件的概率公式得到P=416=14．17.证明：（1）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE // PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE // 平面BCP．（2）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE // PC // FG，DG // AB // EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（3）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（2）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=12EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（2）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM=QN=12EG，∴Q为满足条件的点．18.解：（1）f'(x)=(x-k+1)ex，令f'(x)=0，得x=k-1，f'(x)f(x)随x的变化情况如下：x(-∞, k-1)k-1(k-1, +∞) f'(x)-0+ f(x)↓-ek-1↑∴f(x)的单调递减区间是(-∞, k-1)，f(x)的单调递增区间(k-1, +∞)；（2）当k-1≤0，即k≤1时，函数f(x)在区间[0, 1]上单调递增，∴f(x)在区间[0, 1]上的最小值为f(0)=-k；当00(k=1, 2,…,1999)，即An是递增数列．综上所述，结论成立．（3）对首项为4的E数列An，由于 a2≥a1-1=3 a3≥a2-1≥2试卷第7页，总7页, … a8≥a7-1≥-3 …所以a1+a2+...+ak>0(k=2, 3,…,8)，所以对任意的首项为4的E数列An，若S(An)=0，则必有n≥9，又a1=4的E数列A9:4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足S(A9)=0，所以n的最小值是9．试卷第7页，总7页
2011年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁UP=()A.(-∞, -1]B.[1, +∞)C.[-1, 1]D.(-∞, -1)∪(1, +∞)2.复数i-21+2i=()A.iB.-iC.-45-35iD.-45+35i3.如果log12x<log12y<0，那么(>0)的一条渐近线的方程为y=2x，则b=________．11.已知向量a→=(3, 1)，b→=(0, -1)，c→=(k, 3)．若a→-2b→与c→共线，则k=________．12.在等比数列{an}中，a1=12，a4=-4，则公比q=________；a1+a2+...+an=________．13.已知函数f(x)=2x，x≥2(x-1)3，x<2若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是________．14.设A(0, 0)，B(4, 0)，C(t+4, 3)，D(t, 3)(t∈R)．记N(t)为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)=________，N(t)的所有可能取值为________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知f(x)=4cosxsin(x+π6)-1．1求f(x)的最小正周期；2求f(x)在区间[-π6, π4]上的最大值和最小值．16.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（注：方差S2=1n[(x1-x→)2+(x2-x→)2+…+(xn-x→)2]，其中x→为x1，x2，…，xn的平均数）（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．试卷第7页，总7页, 17.如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．（1）求证：DE // 平面BCP；（2）求证：四边形DEFG为矩形；（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．18.已知函数f(x)=(x-k)ex．（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)在区间[0, 1]上的最小值．19.已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22, 0)，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3, 2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．20.若数列An:a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1, 2,…,n-1)，则称An为E数列，记S(An)=a1+a2+...+an．（1）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（2）若a1=12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011；（3）在a1=4的E数列An中，求使得S(An)=0成立得n的最小值．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2011年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.D2.A3.D4.D5.B6.C7.B8.A二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.52310.211.112.-2,1-(-2)n613.(0, 1)14.6,6、7、8三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：1∵f(x)=4cosxsin(x+π6)-1，=4cosx(32sinx+12cosx)-1=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，所以函数的最小正周期为π；2∵-π6≤x≤π4，∴-π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取最大值2，当2x+π6=-π6时，即x=-π6时，f(x)取得最小值-1．16.解：（1）当X=8时，由茎叶图可知乙组同学的植树棵树是8，8，9，10，∴平均数是X=8+8+9+104=354，方差是14×[(8-354)2+(8-354)2+(9-354)2+(10-354)2]=1116．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率．若X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有16种结果，满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19，试卷第7页，总7页, 包括：(9, 10)，(11, 8)，(11, 8)，(9, 10)共有4种结果，∴根据等可能事件的概率公式得到P=416=14．17.证明：（1）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE // PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE // 平面BCP．（2）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE // PC // FG，DG // AB // EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（3）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（2）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=12EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（2）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM=QN=12EG，∴Q为满足条件的点．18.解：（1）f'(x)=(x-k+1)ex，令f'(x)=0，得x=k-1，f'(x)f(x)随x的变化情况如下：x(-∞, k-1)k-1(k-1, +∞) f'(x)-0+ f(x)↓-ek-1↑∴f(x)的单调递减区间是(-∞, k-1)，f(x)的单调递增区间(k-1, +∞)；（2）当k-1≤0，即k≤1时，函数f(x)在区间[0, 1]上单调递增，∴f(x)在区间[0, 1]上的最小值为f(0)=-k；当0<k-1<1，即1<k<2时，由（1）知，f(x)在区间[0, k-1="">0(k=1, 2,…,1999)，即An是递增数列．综上所述，结论成立．（3）对首项为4的E数列An，由于 a2≥a1-1=3 a3≥a2-1≥2试卷第7页，总7页, … a8≥a7-1≥-3 …所以a1+a2+...+ak>0(k=2, 3,…,8)，所以对任意的首项为4的E数列An，若S(An)=0，则必有n≥9，又a1=4的E数列A9:4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足S(A9)=0，所以n的最小值是9．试卷第7页，总7页</k-1<1，即1<k<2时，由（1）知，f(x)在区间[0,></log12y<0，那么(>
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