2011年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.已知集合＀，＀ሼ．若，则ሼ的取值范围是（）A.䁃B.C.䁃D.䁃2.复数A.B.C.D.3.在极坐标系中，圆sin的圆心的极坐标是()A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图，输出的值为A.B.C.D.5.如图，，，分别与圆切于点，，，延长与圆交于另一点．给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①③D.①②③试卷第1页，总9页,6.根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为൭（，为常数）．已知工人组装第件产品用时分钟，组装第件产品用时分钟，那么和的值分别是（）A.，B.，C.，D.，7.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A.B.C.D.8.设，，䁞，䁞䁞．记䁞为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数䁞的值域为（）A.＀B.＀C.＀D.＀二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.在中．若，，tan，则sin________；ሼ________．10.已知向量ሼ，，䁞．若ሼ与共线，则䁞________．11.在等比数列＀ሼ中，ሼ，ሼ，则公比________；ሼሼ䁤䁤䁤ሼ________．12.用数字，组成四位数，且数字，至少都出现一次，这样的四位数共有________个．（用数字作答），13.已知函数若关于的方程䁞有两个不同的实根，，൭则数䁞的取值范围是________．14.曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数ሼሼ的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线过坐标原点；②曲线关于坐标原点对称；③若点在曲线上，则的面积不大于ሼ．其中，所有正确结论的序号是________．试卷第2页，总9页,三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知cossin．求的最小正周期；求在区间䁃上的最大值和最小值．16.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．（1）求证：平面；（2）若，求与所成角的余弦值；（3）当平面与平面垂直时，求的长．17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望．（注：方差䁃，其中为，，…的平均数）18.已知函数䁞䁞．（1）求的单调区间；（2）若对于任意的，都有，求䁞的取值范围．19.已知椭圆：．过点过作圆的切线交椭圆于，两点．求椭圆的焦点坐标和离心率；将表示为过的函数，并求的最大值．20.若数列ሼ，ሼ，…，ሼ满足ሼ䁞ሼ䁞䁞,…,，数列为数列，记ሼሼ䁤䁤䁤ሼ．（1）写出一个满足ሼሼ，且的数列；（2）若ሼ，，证明：数列是递增数列的充要条件是ሼ；试卷第3页，总9页,（3）对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2011年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.C2.A3.B4.D5.A6.D7.C8.C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.,10.11.,12.13.14.②③三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：∵cossin，cossincossincossincossin，所以函数的最小正周期为；∵，∴，∴当，即时，取最大值，当时，即时，取得最小值．16.解：（1）证明：因为四边形是菱形，所以，又因为平面，所以，所以平面试卷第5页，总9页,（2）设，因为，，所以，，以为坐标原点，分别以，为轴、轴，以过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以，设与所成的角为，则cos（3）由（2）知，设，䁞䁞，则䁞设平面的法向量过则过过，所以令，则，，䁞䁞平面的法向量所以过，䁞同理平面的法向量，因为平面平面，䁞所以过，即，解得䁞，䁞所以．17.解：（1）当，乙组同学植树棵数是，，，，平均数是，方差为䁃；（2）当时，甲组同学的植树棵数是，，，；乙组同学的植树棵数是，，，，分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有种结果，这两名同学植树的总棵数可能是，，，，，事件，表示甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵，∴，试卷第6页，总9页,䁤䁤䁤䁤䁤∴随机变量的期望是．18.解：（1）̵䁞䁞䁞䁞䁞䁞，䁞䁞令̵，得䁞当䁞时，̵随的变化情况如下：䁞䁞䁞䁞䁞䁞̵+-+递䁞递递增减增所以，的单调递增区间是䁞，和䁞，单调递减区间是䁞䁞；当䁞൭时，̵随的变化情况如下：䁞䁞䁞䁞䁞䁞̵-+-递递䁞递减增减所以，的单调递减区间是䁞，和䁞，单调递增区间是䁞䁞；䁞（2）当䁞时，有䁞䁞，不合题意，䁞当䁞൭时，由（1）知在上的最大值是䁞，䁞∴任意的，，䁞，解得䁞൭，故对于任意的，都有，䁞的取值范围是䁞൭．19.解：由题意得ሼ，，∴.∴椭圆的焦点坐标，，∴离心率．ሼ由题意知：过，当过时，切线的方程为，点点此时；当过时，同理可得；当过时，设切线的方程为：䁞过，由试卷第7页，总9页,䁞过䁞䁞过䁞过，设，䁞过䁞过则䁞，䁞又由与圆相切，䁞过䁞∴圆心到直线的距离等于圆的半径即过，䁞䁞∴䁞䁃䁞过䁞过䁞䁃䁞䁞过，过由于当过时，，过当过时，，过此时过䁃，过又（当且仅当过时，），过过过∴的最大值为．故的最大值为．20.解：（1），，，，是一个满足条件的数列（2）必要性：因为数列是递增数列所以ሼ䁞ሼ䁞䁞,…,所以是首项为，公差为的等差数列．所以ሼ充分性：由于ሼሼሼሼ…ሼሼ，所以ሼሼ，即ሼሼ又因为ሼ，ሼ所以ሼሼ故ሼ䁞ሼ䁞䁞,…,，即是递增数列．综上所述，结论成立．（3）设䁞ሼ䁞ሼ䁞䁞,…,，则䁞因为ሼሼሼሼ…ሼሼ䁤䁤䁤所以ሼ䁤䁤䁤䁤䁤䁤䁤䁤䁤䁃䁃因为䁞，所以䁞为偶数䁞,…,）试卷第8页，总9页,所以䁤䁤䁤为偶数所以要使，必须使为偶数即整除，亦即过或过过当过过时，数列的项满足ሼሼ，ሼ，ሼ䁞䁞䁞䁞䁞,…,）此时，有ሼ且成立当过过时，数列的项满足ሼሼሼሼ䁞䁞䁞䁞䁞,…,）ሼ过时，亦有ሼ且成立当过或过过过时，不能被整除，此时不存在数列数列，使得ሼ且成立试卷第9页，总9页