2009年北京市高考数学试卷（文科）
ID：44767
2021-10-19
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2009年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.设集合A={x|-120，则cosθ=________．10.若数列{an}满足：a1=1，an+1=2an(n∈N*)，则a5=________；前8项的和S8=________．（用数字作答）11.若实数x，y满足x+y-2≥0，x≤4，y≤5，则s=x+y的最大值为________．12.已知函数f(x)=3xx≤1-xx>1 若f(x)=2，则x=________．13.椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=________，∠F1PF2的大小为________．14.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx．求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值和最小值．16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．17.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min．（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．18.设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0)．(1)若曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处与直线y=8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．试卷第5页，总6页, 19.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为3，右准线方程为x=33．（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．20.设数列{an}的通项公式为an＝pn+q(n∈N*, P>0)．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．(Ⅰ)若p=12,q=-13，求b3；(Ⅱ)若p＝2，q＝-1，求数列{bm}的前2m项和公式；(Ⅲ)是否存在p和q，使得bm＝3m+2(m∈N*)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．试卷第5页，总6页, 参考答案与试题解析2009年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.A2.D3.B4.C5.C6.A7.D8.D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.-3510.16,25511.912.log3213.2,120∘14.6三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x，∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．(2)∵-π6≤x≤π2，∴-π3≤2x≤π，∴-32≤sin2x≤1，∴f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值为1，最小值为-32．16.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．设AC∩BD＝O，连接OE，由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE // PD，OE=12PD，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，OE=12PD=22AB=AO，∴∠AEO＝45∘试卷第5页，总6页, ，即AE与平面PDB所成的角的大小为45∘．17.解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为P(A)=(1-13)×(1-13)×13=427（2）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0, 1, 2, 3, 4)，∴P(ξ=2k)=C4k(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4)，∴即ξ的分布列是 ξ02468P 16813281827881181∴ξ的期望是Eξ=0×1681+2×3281+4×827+6×881+8×181=8318.解：(1)f'(x)=3x2-3a，∵曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处与直线y=8相切，∴f'(2)=0，f(2)=8，⇒3(4-a)=0，8-6a+b=8，⇒a=4，b=24.(2)∵f'(x)=3(x2-a)(a≠0)，当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f'(x)=0⇒x=±a，当x∈(-∞,-a)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(-a，a)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，∴此时x=-a是f(x)的极大值点，x=a是f(x)的极小值点．19.解：（1）由题意，得a2c=33ca=3，解得a=1,c=3，∴b2=c2-a2=2，∴所求双曲线C的方程为x2-y22=1．（2）设A、B两点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段AB的中点为M(x0, y0)，由x-y+m=0x2-y22=1得x2-2mx-m2-2=0（判别式△>0），∴x0=x1+x22=m，y0=x0+m=2m，∵点M(x0, y0)在圆x2+y2=5上，试卷第5页，总6页, ∴m2+(2m)2=5，∴m=±1．20.（1）由题意，得an=12n-13，解12n-13≥3，得n≥203．∴12n-13≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即b3＝7．（2）由题意，得an＝2n-1，对于正整数m，由an≥m，得n≥m+12．根据bm的定义可知当m＝2k-1时，bm＝k(k∈N*)；当m＝2k时，bm＝k+1(k∈N*)．∴b1+b2+...+b2m＝(b1+b3+...+b2m-1)+(b2+b4+...+b2m)＝(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m．(Ⅲ)假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p>0得n≥m-qp．∵bm＝3m+2(m∈N*)，根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有3m+10（或3p-1<0）时，得m<-p+q3p-1（或m≤-2p+q3p-1），这与上述结论矛盾！当3p-1＝0，即p=13时，得-23-q≤0<-13-q，解得-23≤q<-13．（经检验符合题意）∴存在p和q，使得bm＝3m+2(m∈N*)；p和q的取值范围分别是p=13，-23≤q<-13．试卷第5页，总6页
2009年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.设集合A={x|-12<x<2}，b={x|x2≤1}，则a∪b=()a.{x|-1≤x<2}b.{x|-12<x≤1}c.{x|x<2}d.{x|1≤x<2}2.已知向量a→=(1, 0="">0，则cosθ=________．10.若数列{an}满足：a1=1，an+1=2an(n∈N*)，则a5=________；前8项的和S8=________．（用数字作答）11.若实数x，y满足x+y-2≥0，x≤4，y≤5，则s=x+y的最大值为________．12.已知函数f(x)=3xx≤1-xx>1 若f(x)=2，则x=________．13.椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=________，∠F1PF2的大小为________．14.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx．求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值和最小值．16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．17.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min．（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．18.设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0)．(1)若曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处与直线y=8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．试卷第5页，总6页, 19.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为3，右准线方程为x=33．（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．20.设数列{an}的通项公式为an＝pn+q(n∈N*, P>0)．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．(Ⅰ)若p=12,q=-13，求b3；(Ⅱ)若p＝2，q＝-1，求数列{bm}的前2m项和公式；(Ⅲ)是否存在p和q，使得bm＝3m+2(m∈N*)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．试卷第5页，总6页, 参考答案与试题解析2009年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.A2.D3.B4.C5.C6.A7.D8.D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.-3510.16,25511.912.log3213.2,120∘14.6三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x，∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．(2)∵-π6≤x≤π2，∴-π3≤2x≤π，∴-32≤sin2x≤1，∴f(x)在区间[-π6,π2]上的最大值为1，最小值为-32．16.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．设AC∩BD＝O，连接OE，由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE // PD，OE=12PD，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，OE=12PD=22AB=AO，∴∠AEO＝45∘试卷第5页，总6页, ，即AE与平面PDB所成的角的大小为45∘．17.解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为P(A)=(1-13)×(1-13)×13=427（2）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0, 1, 2, 3, 4)，∴P(ξ=2k)=C4k(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4)，∴即ξ的分布列是 ξ02468P 16813281827881181∴ξ的期望是Eξ=0×1681+2×3281+4×827+6×881+8×181=8318.解：(1)f'(x)=3x2-3a，∵曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处与直线y=8相切，∴f'(2)=0，f(2)=8，⇒3(4-a)=0，8-6a+b=8，⇒a=4，b=24.(2)∵f'(x)=3(x2-a)(a≠0)，当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f'(x)=0⇒x=±a，当x∈(-∞,-a)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(-a，a)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，∴此时x=-a是f(x)的极大值点，x=a是f(x)的极小值点．19.解：（1）由题意，得a2c=33ca=3，解得a=1,c=3，∴b2=c2-a2=2，∴所求双曲线C的方程为x2-y22=1．（2）设A、B两点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段AB的中点为M(x0, y0)，由x-y+m=0x2-y22=1得x2-2mx-m2-2=0（判别式△>0），∴x0=x1+x22=m，y0=x0+m=2m，∵点M(x0, y0)在圆x2+y2=5上，试卷第5页，总6页, ∴m2+(2m)2=5，∴m=±1．20.（1）由题意，得an=12n-13，解12n-13≥3，得n≥203．∴12n-13≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即b3＝7．（2）由题意，得an＝2n-1，对于正整数m，由an≥m，得n≥m+12．根据bm的定义可知当m＝2k-1时，bm＝k(k∈N*)；当m＝2k时，bm＝k+1(k∈N*)．∴b1+b2+...+b2m＝(b1+b3+...+b2m-1)+(b2+b4+...+b2m)＝(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m．(Ⅲ)假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p>0得n≥m-qp．∵bm＝3m+2(m∈N*)，根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有3m+1<m-qp≤3m+2，即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立．当3p-1>0（或3p-1<0）时，得m<-p+q3p-1（或m≤-2p+q3p-1），这与上述结论矛盾！当3p-1＝0，即p=13时，得-23-q≤0<-13-q，解得-23≤q<-13．（经检验符合题意）∴存在p和q，使得bm＝3m+2(m∈N*)；p和q的取值范围分别是p=13，-23≤q<-13．试卷第5页，总6页</m-qp≤3m+2，即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立．当3p-1></x<2}，b={x|x2≤1}，则a∪b=()a.{x|-1≤x<2}b.{x|-12<x≤1}c.{x|x<2}d.{x|1≤x<2}2.已知向量a→=(1,>
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