2008年北京市高考数学试卷（文科）
ID：44765
2021-10-19
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2008年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.若集合A＝{x|-2≤x≤3}，B＝{x|x<-1或x>4}，则集合A∩B等于（）A.{x|x≤3或x>4}B.{x|-1b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a3.“双曲线的方程为x29-y216=1”是“双曲线的准线方程为x=±95”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知△ABC中，a=2，b=3，B=60∘，那么角A等于（）A.135∘B.90∘C.45∘D.30∘5.函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为（）A.f-1(x)=1+x-1(x>1)B.f-1(x)=1-x-1(x>1)C.f-1(x)=1+x-1(x≥1)D.f-1(x)=1-x-1(x≥1)6.若实数x，y满足x-y+1≥0x+y≥0x≤0 则z＝3x+2y的最小值是（）A.0B.1C.3D.97.已知等差数列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列{bn}的前5项和等于（）A.30B.45C.90D.1868.如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是( )A.B.C.D.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.若角α的终边经过点P(1, -2)，则tan2α的值为________．10.不等式x-1x+2>1的解集是________．试卷第7页，总8页, 11.已知向量a→与b→的夹角为120∘，且|a→|=|b→|=4，那么a→⋅b→的值为________．12.(x2+1x3)5的展开式中常数项为________；各项系数之和为________．（用数字作答）13.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，则f（f(0)）=________；lim△x→0f(1+△x)-f(1)△x=________．（用数字作答）14.已知函数f(x)=x2-cosx，对于[-π2, π2]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③|x1|>x2．其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________．三、解答题（共7小题，满分80分）)15.已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间[0, 2π3]上的取值范围．16.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90∘，AP=BP=AB，PC⊥AC．（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的大小．17.已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0)，且g(x)=f(x)-2是奇函数．(1)求a，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间．18.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．19.已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l:y=x+2上，且AB // l．（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（2）当∠ABC=90∘，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．20.数列{an}满足a1=1，an+1=(n2+n-λ)an(n=1, 2,…)，λ是常数．试卷第7页，总8页, （1）当a2=-1时，求λ及a3的值；（2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（3）求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n>m时总有an<0．试卷第7页，总8页, 参考答案与试题解析2008年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.D2.A3.A4.C5.B6.B7.C8.B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.4310.{x|x<-2}11.-812.10,3213.2,-214.②三、解答题（共7小题，满分80分）15.解：(1)f(x)=1-cos2ωx2+32sin2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin(2ωx-π6)+12．∵函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，∴2π2ω=π，解得ω=1．(2)由(2)得f(x)=sin(2x-π6)+12．∵0≤x≤2π3，∴-π6≤2x-π6≤7π6，∴-12≤sin(2x-π6)≤1．∴0≤sin(2x-π6)+12≤32，即f(x)的取值范围为[0,32]．16.解：法一：（1）取AB中点D，连接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵AC=BC，∴CD⊥AB．试卷第7页，总8页, ∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．（2）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≅△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．又∠ACB=90∘，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．取AP中点E．连接BE，CE．∵AB=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．在△BCE中，∠BCE=90∘，BC=2，BE=32AB=6，∴sin∠BEC=BCBE=63．∴二面角B-AP-C的大小为arcsin63．解法二：（1）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≅△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC．∵AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则C(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，B(2, 0, 0)．设P(0, 0, t)．∵|PB|=|AB|=22，∴t=2，P(0, 0, 2)．取AP中点E，连接BE，CE．∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C试卷第7页，总8页, 的平面角．∵E(0, 1, 1)，EC→=(0, -1, -1)，EB→=(2, -1, -1)，∴cos∠BEC=|EC→|⋅|EB→|˙=22⋅6=33．∴二面角B-AP-C的大小为arccos33．17.解：(1)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x∈R，都有g(-x)=-g(x)，即f(-x)-2=-f(x)+2．又f(x)=x3+ax2+3bx+c所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2．所以a=-ac-2=-c+2解得a=0，c=2．(2)由(1)得f(x)=x3+3bx+2．所以f'(x)=3x2+3b(b≠0)．当b<0时，由f'(x)=0得x=±-b．x变化时，f'(x)的变化情况如下：当x∈(-∞,--b)时，f'(x)>0，当x∈(--b，-b)时，f'(x)<0，当x∈(-b，+∞)时，f'(x)>0，所以，当b<0时，函数f(x)在(-∞,--b)上单调递增，在(--b，-b)上单调递减，在(-b，+∞)上单调递增．当b>0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增．18.解：（1）由题意知本题是一个古典概型，记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，∵试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，试卷第7页，总8页, 满足条件的事件数A33∴P(EA)=A33C52A44=140，（2）由题意知本题是一个古典概型，设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，∵试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，不满足条件的事件数A44∴P(E)=A44C52A44=110，∴由对立事件的概率公式得到甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)=910．19.解：（1）因为AB // l，且AB边通过点(0, 0)，所以AB所在直线的方程为y=x．设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)．由x2+3y2=4y=x得x=±1．所以|AB|=2|x1-x2|=22．又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．所以h=2，S△ABC=12|AB|⋅h=2．（2）设AB所在直线的方程为y=x+m，由x2+3y2=4y=x+m得4x2+6mx+3m2-4=0．因为A，B在椭圆上，所以△=-12m2+64>0．设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，则x1+x2=-3m2，x1x2=3m2-44，所以|AB|=2|x1-x2|=32-6m22．又因为BC的长等于点(0, m)到直线l的距离，即|BC|=|2-m|2．所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11．所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64>0）此时AB所在直线的方程为y=x-1．20.解：（1）由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1, 2,)，且a1=1．所以当a2=-1时，得-1=2-λ，故λ=3．从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3．（2）数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1=1，an+1=(n2+n-λ)an得a2=2-λ，a3=(6-λ)(2-λ)，a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ)．若存在λ，使{an}为等差数列，则a3-a2=a2-a1，即(5-λ)(2-λ)=1-λ，解得λ=3．于是a2-a1=1-λ=-2，a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24．这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．（3）记bn=n2+n-λ(n=1, 2,)，根据题意可知，b1<0且bn≠0，即λ>2且λ≠n2+n(n∈N*)，这时总存在n0∈N*，满足：当n≥n0时，bn>0；当n≤n0-1时，bn<0．所以由an+1=bnan及a1=1>0可知，若n0为偶数，则an0<0，从而当n>n0时，an<0；若n0为奇数，则an0>0，从而当n>n0时an>0．因此“存在m∈N*试卷第7页，总8页, ，当n>m时总有an<0”的充分必要条件是：n0为偶数，记n0=2k(k=1, 2,)，则λ满足b2k=(2k)2+2k-λ>0b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ<0．故λ的取值范围是4k2-2k<λ<4k2+2k(k∈N*)．试卷第7页，总8页
2008年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.若集合A＝{x|-2≤x≤3}，B＝{x|x<-1或x>4}，则集合A∩B等于（）A.{x|x≤3或x>4}B.{x|-1<x≤3}c.{x|3≤x<4}d.{x|-2≤x<-1}2.若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则（）a.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a3.“双曲线的方程为x29-y216=1”是“双曲线的准线方程为x=±95”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知△ABC中，a=2，b=3，B=60∘，那么角A等于（）A.135∘B.90∘C.45∘D.30∘5.函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为（）A.f-1(x)=1+x-1(x>1)B.f-1(x)=1-x-1(x>1)C.f-1(x)=1+x-1(x≥1)D.f-1(x)=1-x-1(x≥1)6.若实数x，y满足x-y+1≥0x+y≥0x≤0 则z＝3x+2y的最小值是（）A.0B.1C.3D.97.已知等差数列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则数列{bn}的前5项和等于（）A.30B.45C.90D.1868.如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是( )A.B.C.D.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.若角α的终边经过点P(1, -2)，则tan2α的值为________．10.不等式x-1x+2>1的解集是________．试卷第7页，总8页, 11.已知向量a→与b→的夹角为120∘，且|a→|=|b→|=4，那么a→⋅b→的值为________．12.(x2+1x3)5的展开式中常数项为________；各项系数之和为________．（用数字作答）13.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，则f（f(0)）=________；lim△x→0f(1+△x)-f(1)△x=________．（用数字作答）14.已知函数f(x)=x2-cosx，对于[-π2, π2]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1>x2；②x12>x22；③|x1|>x2．其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________．三、解答题（共7小题，满分80分）)15.已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间[0, 2π3]上的取值范围．16.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90∘，AP=BP=AB，PC⊥AC．（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的大小．17.已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0)，且g(x)=f(x)-2是奇函数．(1)求a，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间．18.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．19.已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l:y=x+2上，且AB // l．（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（2）当∠ABC=90∘，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．20.数列{an}满足a1=1，an+1=(n2+n-λ)an(n=1, 2,…)，λ是常数．试卷第7页，总8页, （1）当a2=-1时，求λ及a3的值；（2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（3）求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n>m时总有an<0．试卷第7页，总8页, 参考答案与试题解析2008年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.D2.A3.A4.C5.B6.B7.C8.B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.4310.{x|x<-2}11.-812.10,3213.2,-214.②三、解答题（共7小题，满分80分）15.解：(1)f(x)=1-cos2ωx2+32sin2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin(2ωx-π6)+12．∵函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，∴2π2ω=π，解得ω=1．(2)由(2)得f(x)=sin(2x-π6)+12．∵0≤x≤2π3，∴-π6≤2x-π6≤7π6，∴-12≤sin(2x-π6)≤1．∴0≤sin(2x-π6)+12≤32，即f(x)的取值范围为[0,32]．16.解：法一：（1）取AB中点D，连接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵AC=BC，∴CD⊥AB．试卷第7页，总8页, ∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．（2）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≅△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．又∠ACB=90∘，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．取AP中点E．连接BE，CE．∵AB=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．在△BCE中，∠BCE=90∘，BC=2，BE=32AB=6，∴sin∠BEC=BCBE=63．∴二面角B-AP-C的大小为arcsin63．解法二：（1）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≅△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC．∵AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则C(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，B(2, 0, 0)．设P(0, 0, t)．∵|PB|=|AB|=22，∴t=2，P(0, 0, 2)．取AP中点E，连接BE，CE．∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C试卷第7页，总8页, 的平面角．∵E(0, 1, 1)，EC→=(0, -1, -1)，EB→=(2, -1, -1)，∴cos∠BEC=|EC→|⋅|EB→|˙=22⋅6=33．∴二面角B-AP-C的大小为arccos33．17.解：(1)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x∈R，都有g(-x)=-g(x)，即f(-x)-2=-f(x)+2．又f(x)=x3+ax2+3bx+c所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2．所以a=-ac-2=-c+2解得a=0，c=2．(2)由(1)得f(x)=x3+3bx+2．所以f'(x)=3x2+3b(b≠0)．当b<0时，由f'(x)=0得x=±-b．x变化时，f'(x)的变化情况如下：当x∈(-∞,--b)时，f'(x)>0，当x∈(--b，-b)时，f'(x)<0，当x∈(-b，+∞)时，f'(x)>0，所以，当b<0时，函数f(x)在(-∞,--b)上单调递增，在(--b，-b)上单调递减，在(-b，+∞)上单调递增．当b>0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增．18.解：（1）由题意知本题是一个古典概型，记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，∵试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，试卷第7页，总8页, 满足条件的事件数A33∴P(EA)=A33C52A44=140，（2）由题意知本题是一个古典概型，设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，∵试验包含的所有事件是5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C52A44种结果，不满足条件的事件数A44∴P(E)=A44C52A44=110，∴由对立事件的概率公式得到甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)=910．19.解：（1）因为AB // l，且AB边通过点(0, 0)，所以AB所在直线的方程为y=x．设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)．由x2+3y2=4y=x得x=±1．所以|AB|=2|x1-x2|=22．又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．所以h=2，S△ABC=12|AB|⋅h=2．（2）设AB所在直线的方程为y=x+m，由x2+3y2=4y=x+m得4x2+6mx+3m2-4=0．因为A，B在椭圆上，所以△=-12m2+64>0．设A，B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，则x1+x2=-3m2，x1x2=3m2-44，所以|AB|=2|x1-x2|=32-6m22．又因为BC的长等于点(0, m)到直线l的距离，即|BC|=|2-m|2．所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11．所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64>0）此时AB所在直线的方程为y=x-1．20.解：（1）由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1, 2,)，且a1=1．所以当a2=-1时，得-1=2-λ，故λ=3．从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3．（2）数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1=1，an+1=(n2+n-λ)an得a2=2-λ，a3=(6-λ)(2-λ)，a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ)．若存在λ，使{an}为等差数列，则a3-a2=a2-a1，即(5-λ)(2-λ)=1-λ，解得λ=3．于是a2-a1=1-λ=-2，a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24．这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．（3）记bn=n2+n-λ(n=1, 2,)，根据题意可知，b1<0且bn≠0，即λ>2且λ≠n2+n(n∈N*)，这时总存在n0∈N*，满足：当n≥n0时，bn>0；当n≤n0-1时，bn<0．所以由an+1=bnan及a1=1>0可知，若n0为偶数，则an0<0，从而当n>n0时，an<0；若n0为奇数，则an0>0，从而当n>n0时an>0．因此“存在m∈N*试卷第7页，总8页, ，当n>m时总有an<0”的充分必要条件是：n0为偶数，记n0=2k(k=1, 2,)，则λ满足b2k=(2k)2+2k-λ>0b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ<0．故λ的取值范围是4k2-2k<λ<4k2+2k(k∈N*)．试卷第7页，总8页</x≤3}c.{x|3≤x<4}d.{x|-2≤x<-1}2.若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则（）a.a>
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