2007年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.已知costan，那么角是A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角2.函数的反函数的定义域为（）A.䁢B.晦䁢C.䁢晦D.䁢3.平面平面的一个充分条件是（）A.存在一条直线，，B.存在一条直线，，C.存在两条平行直线，，，，，D.存在两条异面直线，，，，，4.已知是䳌䁨所在平面内一点，为䳌䁨边中点，且䳌䁨，那么()A.B.C.D.5.记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A.晦种B.晦种C.种D.种ሀ6.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）A.B.晦C.晦或D.晦7.如果正数，，，满足，那么（）A.且等号成立时，，，的取值唯一B.且等号成立时，，，的取值唯一C.且等号成立时，，，的取值不唯一D.且等号成立时，，，的取值不唯一8.对于函数①lgȁሀȁ晦，②ሀ，③cos，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在ሀ䁢上是减函数，在䁢上是增函数；命题丙：ሀ在ሀ䁢上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）A.①③B.①②C.③D.②试卷第1页，总9页,二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.________．晦10.若数列的前项和ሀ晦晦䁢䁢,…，则此数列的通项公式为________；数列中数值最小的项是第________项．晦11.在䳌䁨中，若tan，䁨晦，䳌䁨，则䳌________．12.已知集合ȁȁሀȁ晦，䳌ȁሀ．若䳌，则实数的取值范围是________．13.年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为晦，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，那么cos的值等于________．14.已知函数，分别由下表给出晦晦晦晦晦则晦的值为________；满足ݔ的的值是________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.数列中，晦，晦（是常数，晦，，，…），且晦，，成公比不为晦的等比数列．（1）求的值；（2）求的通项公式．16.如图，在䳌中，䳌，斜边䳌．䁨可以通过䳌晦以直线为轴旋转得到，且二面角䳌ሀሀ䁨是直二面角．动点在斜边䳌上．试卷第2页，总9页,（1）求证：平面䁨平面䳌；（2）当为䳌的中点时，求异面直线与䁨所成角的余弦值大小；（3）求䁨与平面䳌所成角最大时的正切值大小．17.如图，矩形䳌䁨的两条对角线相交于点䁢，䳌边所在直线的方程为ሀሀ晦点ሀ晦䁢晦在边所在直线上．（1）求边所在直线的方程；（2）求矩形䳌䁨外接圆的方程；（3）若动圆过点ሀ䁢，且与矩形䳌䁨的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．18.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有晦名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（3）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．19.如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底䳌是半椭圆的短轴，上底䁨的端点在椭圆上，记䁨，梯形面积为．（1）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（2）求面积的最大值．20.已知集合＝晦䁢䁢䁢，其中＝晦䁢,…,，由中的元素构成两个相应的集合：＝䁢ȁ䁢䁢，＝䁢ȁ䁢䁢ሀ．其中䁢是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有ሀ，则称集合具有性质．试卷第3页，总9页,Ⅰ检验集合䁢晦䁢䁢与ሀ晦䁢䁢是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；ሀ晦Ⅱ对任何具有性质的集合，证明：；Ⅲ判断和的大小关系，并证明你的结论．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2007年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.C2.B3.证明：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故A不对对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确4.A5.B6.C7.A8.D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.ሀ10.ሀ晦晦,11.晦12.䁢13.14.晦,三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：（1）晦，，，因为晦，，成等比数列，所以，解得或．当时，晦，不符合题意舍去，故．（2）当时，由于ሀ晦，ሀ，ሀሀ晦ሀ晦，ሀ晦所以ሀ晦晦ሀ晦．又，，故ሀ晦ሀ䁢,．晦当晦时，上式也成立，所以ሀ晦䁢,16.解：（1）由题意，䁨，䳌，∴䳌䁨是二面角䳌ሀሀ䁨是直二面角，又∵二面角䳌ሀሀ䁨是直二面角，∴䁨䳌，又∵䳌，试卷第5页，总9页,∴䁨平面䳌，又䁨平面䁨，∴平面䁨平面䳌．（2）解法一：作䳌，垂足为，连接䁨（如图），则，∴䁨是异面直线与䁨所成的角．晦在䁨中，䁨䳌，䳌晦，∴䁨䁨．晦又．∴䁨䁨晦∴在䁨中，cos䁨．䁨晦∴异面直线与䁨所成角的余弦值大小为．解法二：建立空间直角坐标系ሀ，如图，则䁢䁢，䁢䁢，䁨䁢䁢，䁢晦䁢，∴䁢䁢，䁨ሀ䁢晦䁢，晦晦∴cos，䁨ݔȁȁȁ䁨ȁ．晦∴异面直线与䁨所成角的余弦值为．（3）由（1）知，䁨平面䳌，∴䁨是䁨与平面䳌所成的角，试卷第6页，总9页,䁨且tan䁨．当最小时，䁨最大，这时，䳌，垂足为，䳌，tan䁨，䳌∴䁨与平面䳌所成角的最大时的正切值为．17.解：（1）因为䳌边所在直线的方程为ሀሀ晦，且与䳌垂直，所以直线的斜率为ሀ又因为点ሀ晦䁢晦在直线上，所以边所在直线的方程为ሀ晦ሀ晦．．ሀሀ晦（2）由解得点的坐标为䁢ሀ，因为矩形䳌䁨两条对角线的交点为䁢．所以为矩形䳌䁨外接圆的圆心．又ȁȁሀ．从而矩形䳌䁨外接圆的方程为ሀ．（3）因为动圆过点，所以ȁȁ是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以ȁȁȁȁ，即ȁȁሀȁȁ．故点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长ሀ．从而动圆的圆心的轨迹方程为ሀ晦ሀ．18.该合唱团学生参加活动的人均次数为晦晦．晦晦从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为晦晦．晦从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加晦次活动，另一人参加次活动”为事件，“这两人中一人参加次活动，另一人参加次活动”为事件䳌，“这两人中一人参加晦次活动，另一人参加次活动”为事件䁨．易知䁨晦晦䁨晦䁨晦䁨晦＝晦＝䳌；䁨䁨晦晦䁨晦晦䁨晦＝＝䁨；䁨晦的分布列：晦的数学期望：＝晦．19.解：（1）依题意，以䳌的中点为原点建立直角坐标系ሀ（如图），则点䁨的横坐标为，试卷第7页，总9页,点䁨的纵坐标满足方程晦，解得ሀ晦ሀሀ，其定义域为ȁ．（2）记ሀ，，则̵ሀ．晦令̵，得．因为当时，̵ݔ；当时，晦̵，所以是的最大值．晦晦因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．20.（I）集合䁢晦䁢䁢不具有性质．集合ሀ晦䁢䁢具有性质，其相应的集合和是＝ሀ晦䁢䁢䁢ሀ晦，＝䁢ሀ晦䁢䁢．‸‸证明：首先，由中元素构成的有序数对䁢共有个．因为，所以䁢＝晦䁢䁢；又因为当时，ሀ时，ሀ，所以当䁢时，䁢䁢＝晦䁢䁢．晦ሀ晦从而，集合中元素的个数最多为ሀ，ሀ晦即．‸‸‸＝，证明如下：（1）对于䁢，根据定义，，，且，从而䁢．如果䁢与䁢是的不同元素，那么＝与＝中至少有一个不成立，从而＝与＝中也至少有一个不成立．故䁢与䁢也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于䁢，根据定义，，，且ሀ，从而ሀ䁢．如果䁢与䁢是的不同元素，试卷第8页，总9页,那么＝与＝中至少有一个不成立，从而ሀ＝ሀ与＝中也至少有一个不成立，故ሀ䁢与ሀ䁢也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，＝．试卷第9页，总9页