2006年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.在复平面内，复数1+ii对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若a→与b→-c→都是非零向量，则“a→⋅b→=a→⋅c→”是“a→⊥(b→-c→)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A.36个B.24个C.18个D.6个4.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（）A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支5.已知f(x)=(3a-1)x+4a,x≤1，logax，x>1是(-∞, +∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )A.(0, 1)B.(0,13)C.[17，13)D.[17，1)6.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1, 2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的只有（）A.f(x)=1xB.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x27.设f(n)＝2+24+27+210+...+23n+10(n∈N)，则f(n)等于（）A.27(8n-1)B.27(8n+1-1)C.27(8n+3-1)D.27(8n+4-1)8.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A.x1>x2>x3B.x1>x3>x2C.x2>x3>x1D.x3>x2>x1试卷第5页，总6页, 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.limx→-1x2+3x+2x2-1的值等于________．10.在(x-2x)7的展开式中，x2的系数为________（用数字作答）．11.若三点A(2, 2)，B(a, 0)，C(0, b)(ab≠0)共线，则1a+1b的值为________．12.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则∠B的大小是________．13.已知点P(x, y)的坐标满足条件x+y≤4y≥xx≥1，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________．14.已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A，B两点的球面距离为________，球心到平面ABC的距离为________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知函数f(x)=1-2sin(2x-π4)cosx，(I)求f(x)的定义域；(II)设α是第四象限的角，且tanα=-43，求f(α)的值．16.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f'(x)的图象经过点(1, 0)，(2, 0)，如图：(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值．17.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB // 平面AEC；（2）求二面角E-AC-B的大小．试卷第5页，总6页, 18.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(I)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；(II)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）19.已知点M(-2, 0)，N(2, 0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=22．记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA→⋅OB→的最小值．20.在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，则称{an}为“绝对差数列”．（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）若“绝对差数列”{an}中，a20=3，a21=0，数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．试卷第5页，总6页, 参考答案与试题解析2006年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.D2.C3.B4.A5.C6.A7.D8.C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.-1210.-1411.1212.π313.2,1014.π3R,32R三、解答题（共6小题，满分80分）15.(1)解：∵依题意，有cosx≠0，∴解得x≠kπ+π2，∴f(x)的定义域为{x|x∈R, 且x≠kπ+π2, k∈Z}．(2)解：∵f(x)=1-2sin(2x-π4)cosx=-2sinx+2cosx，∴f(α)=-2sinα+2cosα，∵α是第四象限的角，且tanα=-43，∴sinα=-45，cosα=35，∴f(α)=-2sinα+2cosα=145．16.解：(1)由图象可知，在(-∞, 1)上f'(x)>0，在(1, 2)上f'(x)<0．在(2, +∞)上f'(x)>0．故f(x)在(-∞, 1)，(2, +∞)上递增，在(1, 2)上递减．因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1．试卷第5页，总6页, (2)f'(x)=3ax2+2bx+c，由f'(1)=0，f'(2)=0，f(1)=5，得3a+2b+c=012a+4b+c=0a+b+c=5解得a=2，b=-9，c=12．17.解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO // PB∴PB // 平面AEC（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF // PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO // AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．又FO=12AB=12PA=EF∴∠EOF=45∘而二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补，故所求二面角E-AC-B的大小为135∘．18.解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b，c(1)考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为ABC+ABC+ABC+ABC，设其概率为P1，则P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2，则P2=13ab+13ac+13bc(2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-(13ab+13ac+13bc)=23ab+23ac+23bc-2abc=23(ab+ac+bc-3abc)=23〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)〕>0∴P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率．19.解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x22-y22=1(x>0)（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，此时A(x0, x02-2)，B(x0, -x02-2)，OA→⋅OB→=2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程x22-y22=1中，得：(1-k2)x2-2kbx-b2-2=01∘依题意可知方程1∘有两个不相等的正数根，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则△=4k2b2-4(1-k2)⋅(-b2-2)>0x1+x2=2kb1-k2>0x1x2=b2+2k2-1>0，解得|k|>1又OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=2k2+2k2-1=2+4k2-1>2综上可知OA→⋅OB→的最小值为试卷第5页，总6页, 2．20.解：（1）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1．（答案不惟一）（2）因为在绝对差数列{an}中a20=3，a21=0．所以自第20项开始，该数列是a20=3，a21=0，a22=3，a22=3，a24=0，a25=3，a26=3，a27=o，即自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n→∞时，an的极限不存在．当n≥20时，bn=an+an+1+an+2=6，所以limn→∞bn=6（3）证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项．证明如下：假设{an}中没有零项，由于an=|an-1-an-2|，所以对于任意的n，都有an≥1，从而当an-1>an-2时，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3)；当an-1
a2n)a2n(a2n-10(n=1, 2, 3,,)矛盾．从而{an}必有零项．若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即an+3k=0an+3k+1=A，k=0，1，2，3an+3k+2=A所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项．试卷第5页，总6页
2006年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.在复平面内，复数1+ii对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若a→与b→-c→都是非零向量，则“a→⋅b→=a→⋅c→”是“a→⊥(b→-c→)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A.36个B.24个C.18个D.6个4.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（）A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支5.已知f(x)=(3a-1)x+4a,x≤1，logax，x>1是(-∞, +∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )A.(0, 1)B.(0,13)C.[17，13)D.[17，1)6.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1, 2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的只有（）A.f(x)=1xB.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x27.设f(n)＝2+24+27+210+...+23n+10(n∈N)，则f(n)等于（）A.27(8n-1)B.27(8n+1-1)C.27(8n+3-1)D.27(8n+4-1)8.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A.x1>x2>x3B.x1>x3>x2C.x2>x3>x1D.x3>x2>x1试卷第5页，总6页, 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.limx→-1x2+3x+2x2-1的值等于________．10.在(x-2x)7的展开式中，x2的系数为________（用数字作答）．11.若三点A(2, 2)，B(a, 0)，C(0, b)(ab≠0)共线，则1a+1b的值为________．12.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则∠B的大小是________．13.已知点P(x, y)的坐标满足条件x+y≤4y≥xx≥1，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________．14.已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A，B两点的球面距离为________，球心到平面ABC的距离为________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.已知函数f(x)=1-2sin(2x-π4)cosx，(I)求f(x)的定义域；(II)设α是第四象限的角，且tanα=-43，求f(α)的值．16.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f'(x)的图象经过点(1, 0)，(2, 0)，如图：(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值．17.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB // 平面AEC；（2）求二面角E-AC-B的大小．试卷第5页，总6页, 18.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(I)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；(II)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）19.已知点M(-2, 0)，N(2, 0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=22．记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA→⋅OB→的最小值．20.在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，则称{an}为“绝对差数列”．（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）若“绝对差数列”{an}中，a20=3，a21=0，数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．试卷第5页，总6页, 参考答案与试题解析2006年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.D2.C3.B4.A5.C6.A7.D8.C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.-1210.-1411.1212.π313.2,1014.π3R,32R三、解答题（共6小题，满分80分）15.(1)解：∵依题意，有cosx≠0，∴解得x≠kπ+π2，∴f(x)的定义域为{x|x∈R, 且x≠kπ+π2, k∈Z}．(2)解：∵f(x)=1-2sin(2x-π4)cosx=-2sinx+2cosx，∴f(α)=-2sinα+2cosα，∵α是第四象限的角，且tanα=-43，∴sinα=-45，cosα=35，∴f(α)=-2sinα+2cosα=145．16.解：(1)由图象可知，在(-∞, 1)上f'(x)>0，在(1, 2)上f'(x)<0．在(2, +∞)上f'(x)>0．故f(x)在(-∞, 1)，(2, +∞)上递增，在(1, 2)上递减．因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1．试卷第5页，总6页, (2)f'(x)=3ax2+2bx+c，由f'(1)=0，f'(2)=0，f(1)=5，得3a+2b+c=012a+4b+c=0a+b+c=5解得a=2，b=-9，c=12．17.解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO // PB∴PB // 平面AEC（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF // PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO // AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．又FO=12AB=12PA=EF∴∠EOF=45∘而二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补，故所求二面角E-AC-B的大小为135∘．18.解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b，c(1)考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为ABC+ABC+ABC+ABC，设其概率为P1，则P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2，则P2=13ab+13ac+13bc(2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-(13ab+13ac+13bc)=23ab+23ac+23bc-2abc=23(ab+ac+bc-3abc)=23〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)〕>0∴P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率．19.解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x22-y22=1(x>0)（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，此时A(x0, x02-2)，B(x0, -x02-2)，OA→⋅OB→=2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程x22-y22=1中，得：(1-k2)x2-2kbx-b2-2=01∘依题意可知方程1∘有两个不相等的正数根，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则△=4k2b2-4(1-k2)⋅(-b2-2)>0x1+x2=2kb1-k2>0x1x2=b2+2k2-1>0，解得|k|>1又OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=2k2+2k2-1=2+4k2-1>2综上可知OA→⋅OB→的最小值为试卷第5页，总6页, 2．20.解：（1）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1．（答案不惟一）（2）因为在绝对差数列{an}中a20=3，a21=0．所以自第20项开始，该数列是a20=3，a21=0，a22=3，a22=3，a24=0，a25=3，a26=3，a27=o，即自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n→∞时，an的极限不存在．当n≥20时，bn=an+an+1+an+2=6，所以limn→∞bn=6（3）证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项．证明如下：假设{an}中没有零项，由于an=|an-1-an-2|，所以对于任意的n，都有an≥1，从而当an-1>an-2时，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3)；当an-1<an-2时，an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3)即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1．令cn=a2n-1(a2n-1>a2n)a2n(a2n-1<a2n)n=1，2，3，，则0<ca≤cn-1-1(n=2, 3="">0(n=1, 2, 3,,)矛盾．从而{an}必有零项．若第一次出现的零项为第n项，记an-1=A(A≠0)，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，即an+3k=0an+3k+1=A，k=0，1，2，3an+3k+2=A所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项．试卷第5页，总6页</a2n)n=1，2，3，，则0<ca≤cn-1-1(n=2,></an-2时，an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3)即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1．令cn=a2n-1(a2n-1>
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