2005年北京市高考数学试卷（文科）
ID：44759
2021-10-19
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2005年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.设全集U=R，集合M={x|x>l}，P={x|x2>l}，则下列关系中正确的是（）A.M=PB.P⊂MC.M⊂PD.CUM∩P=⌀2.为了得到函数y=2x-3-1的图象，只需把函数y=2x上所有点（）A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度3.“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若|a→|=1，|b→|=2，c→=a→+b→，且c→⊥a→，则向量a→与b→的夹角为( )A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘5.从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（）A.πB.2πC.4πD.6π6.对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)0；④f(x1+x22)0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．（1）分别用不等式组表示W1和W2．（2）若区域W中的动点P(x, y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（3）设不过原点O的直线l与（2）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2005年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.C2.A3.B4.C5.B6.D7.C8.B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.x=-1,(1, 0)10.-2011.[-1, 2)∪(2, +∞)12.213.①③④14.12n(n+3),2n三、解答题（共6小题，15题12分，16、19、20题每题14分，17、18题每题13分，满分80分）15.解：(I)∵tanα2=2，∴tanα=2tanα21-tan2α2=2×21-4=-43∴tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=tanα+11-tanα=-43+11+43=-17(II)由( I)∵tanα=-43∴6sinα+cosα3sinα-2cosα=6tanα+13tanα-2=6(-43)+13(-43)-2=766(-43)+13(-43)-2=7616.(1)证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，且试卷第7页，总7页, BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE // AC1，∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1 // 平面CDB1；(3)解：∵DE // AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=12AC1=52，CD=12AB=52，CE=12CB1=22，∴cos∠CED=82⋅22⋅52=225，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值225．17.解：（1）由a1=1，an+1=13Sn，n=1，2，3，…，得a2=13S1=13a1=13，a3=13S2=13(a1+a2)=49，a4=13S3=13(a1+a2+a3)=1627，由an+1-an=13(Sn-Sn-1)=13an(n≥2)，得an+1=43an(n≥2)，又a2=13，所以an=13(43)n-2(n≥2)，∴数列{an}的通项公式为an=1n=113(43)n-2n≥2；( II)由( I)可知a2，a4，…，a2n是首项为13，公比为(43)2项数为n的等比数列，∴a2+a4+a6+...+a2n=13⋅1-(43)2n1-(43)2=37[(43)2n-1]18.解：(1)乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验，乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次，∴乙至少击中目标2次的概率为C32(23)2⋅(13)+C33(23)3=2027.试卷第7页，总7页, (2)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件，∴P(A)=P(B1)+P(B2)=C32(23)2⋅13⋅C30(12)3+C33(23)3⋅C31(12)3=118+19=16，∴乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16．19.解：(1)f'(x)=-3x2+6x+9．令f'(x)<0，解得x<-1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞, -1)，(3, +∞)．(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a，f(2)=-8+12+18+a=22+a，所以f(2)>f(-2)．因为在(-1, 3)上f'(x)>0，所以f(x)在[-1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[-2, -1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2, 2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．故f(x)=-x3+3x2+9x-2，因此f(-1)=1+3-9-2=-7，即函数f(x)在区间[-2, 2]上的最小值为-7．20.解：（1）根据图象可知阴影区域左半部分，在y=-kx的下方，在y=kx的上边，故y的范围可知kx0∴W1={(x, y)|kx0}，（2）直线l1:kx-y=0，直线l2:kx+y=0，由题意得|kx-y|k2+1⋅|kx+y|k2+1=d2，即|k2x2-y2|k2+1=d2，由P(x, y)∈W，知k2x2-y2>0，所以k2x2-y2k2+1=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；（3）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a(a≠0)．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为(a, 0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为(23a, 0)，即它们的重心重合，当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n(n≠0)．由k2x2-y2-(k2+1)d2=0y=mx+n，得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2-m2≠0且△=(2mn)2+4(k2-m2)×(n2+k2d2+d2)>0设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，则x1+x2=2mnk2-m2，y1+y2=m(x1+x2)+2n，设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，由y=kxy=mx+n得x3=nk-m，x4=-nk+m从而x3+x4=2mnk2-m2=x1+x2，所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2，于是△OM1M2的重心与△OM3M4试卷第7页，总7页, 的重心也重合．试卷第7页，总7页
2005年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.设全集U=R，集合M={x|x>l}，P={x|x2>l}，则下列关系中正确的是（）A.M=PB.P⊂MC.M⊂PD.CUM∩P=⌀2.为了得到函数y=2x-3-1的图象，只需把函数y=2x上所有点（）A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度3.“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若|a→|=1，|b→|=2，c→=a→+b→，且c→⊥a→，则向量a→与b→的夹角为( )A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘5.从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（）A.πB.2πC.4πD.6π6.对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（）A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)<sinα+sinβd.cos(α+β)<cosα+cosβ7.在正四面体p-abc中，d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，下面四个结论中不成立的是（）a.bc>0；④f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2．其中正确的命题序号是________．14.已知n次多项式pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an．如果在一种算法中，计算x0k(k=2, 3="">0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．（1）分别用不等式组表示W1和W2．（2）若区域W中的动点P(x, y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（3）设不过原点O的直线l与（2）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2005年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.C2.A3.B4.C5.B6.D7.C8.B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.x=-1,(1, 0)10.-2011.[-1, 2)∪(2, +∞)12.213.①③④14.12n(n+3),2n三、解答题（共6小题，15题12分，16、19、20题每题14分，17、18题每题13分，满分80分）15.解：(I)∵tanα2=2，∴tanα=2tanα21-tan2α2=2×21-4=-43∴tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=tanα+11-tanα=-43+11+43=-17(II)由( I)∵tanα=-43∴6sinα+cosα3sinα-2cosα=6tanα+13tanα-2=6(-43)+13(-43)-2=766(-43)+13(-43)-2=7616.(1)证明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，且试卷第7页，总7页, BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE // AC1，∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1 // 平面CDB1；(3)解：∵DE // AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=12AC1=52，CD=12AB=52，CE=12CB1=22，∴cos∠CED=82⋅22⋅52=225，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值225．17.解：（1）由a1=1，an+1=13Sn，n=1，2，3，…，得a2=13S1=13a1=13，a3=13S2=13(a1+a2)=49，a4=13S3=13(a1+a2+a3)=1627，由an+1-an=13(Sn-Sn-1)=13an(n≥2)，得an+1=43an(n≥2)，又a2=13，所以an=13(43)n-2(n≥2)，∴数列{an}的通项公式为an=1n=113(43)n-2n≥2；( II)由( I)可知a2，a4，…，a2n是首项为13，公比为(43)2项数为n的等比数列，∴a2+a4+a6+...+a2n=13⋅1-(43)2n1-(43)2=37[(43)2n-1]18.解：(1)乙射击三次，每次击中目标的概率是定值，可以看作是独立重复试验，乙至少击中目标两次包含击中两次和击中三次，∴乙至少击中目标2次的概率为C32(23)2⋅(13)+C33(23)3=2027.试卷第7页，总7页, (2)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，则A=B1+B2，B1，B2为互斥事件，∴P(A)=P(B1)+P(B2)=C32(23)2⋅13⋅C30(12)3+C33(23)3⋅C31(12)3=118+19=16，∴乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16．19.解：(1)f'(x)=-3x2+6x+9．令f'(x)<0，解得x<-1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞, -1)，(3, +∞)．(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a，f(2)=-8+12+18+a=22+a，所以f(2)>f(-2)．因为在(-1, 3)上f'(x)>0，所以f(x)在[-1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[-2, -1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2, 2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．故f(x)=-x3+3x2+9x-2，因此f(-1)=1+3-9-2=-7，即函数f(x)在区间[-2, 2]上的最小值为-7．20.解：（1）根据图象可知阴影区域左半部分，在y=-kx的下方，在y=kx的上边，故y的范围可知kx<y<-kx，且x<0，阴影区域右半部分，在y=kx的下边，y=-kx的上方，x>0∴W1={(x, y)|kx<y<-kx, x="">0}，（2）直线l1:kx-y=0，直线l2:kx+y=0，由题意得|kx-y|k2+1⋅|kx+y|k2+1=d2，即|k2x2-y2|k2+1=d2，由P(x, y)∈W，知k2x2-y2>0，所以k2x2-y2k2+1=d2，即k2x2-y2-(k2+1)d2=0，所以动点P的轨迹C的方程为k2x2-y2-(k2+1)d2=0；（3）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a(a≠0)．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为(a, 0)，所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为(23a, 0)，即它们的重心重合，当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n(n≠0)．由k2x2-y2-(k2+1)d2=0y=mx+n，得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2-m2≠0且△=(2mn)2+4(k2-m2)×(n2+k2d2+d2)>0设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，则x1+x2=2mnk2-m2，y1+y2=m(x1+x2)+2n，设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，由y=kxy=mx+n得x3=nk-m，x4=-nk+m从而x3+x4=2mnk2-m2=x1+x2，所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2，于是△OM1M2的重心与△OM3M4试卷第7页，总7页, 的重心也重合．试卷第7页，总7页</y<-kx,></y<-kx，且x<0，阴影区域右半部分，在y=kx的下边，y=-kx的上方，x></f(x1)+f(x2)2．其中正确的命题序号是________．14.已知n次多项式pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an．如果在一种算法中，计算x0k(k=2,></sinα+sinβd.cos(α+β)<cosα+cosβ7.在正四面体p-abc中，d，e，f分别是ab，bc，ca的中点，下面四个结论中不成立的是（）a.bc>
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