2004年北京市春季高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）)1.在函数y=sin2x,y=sinx,y=cosx,y=tgx2中，最小正周期为π的函数是（）A.y=sin2xB.y=sinxC.y=cosxD.y=tgx22.当23<m<1时，复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于(    )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.双曲线x24-y29=1的渐近线方程是（）A.y=±23xB.y=±49xC.y=±32xD.y=±94x4.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）A.30∘B.45∘C.60∘D.75∘5.在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为（）A.ρ=22cosθB.ρ=-22cosθC.ρ=22sinθD.ρ=-22sinθ6.已知sin(θ+π)<0，cos(θ-π)>0，则下列不等关系中必定成立的是（）A.tanθ2<cotθ2B.tanθ2>cotθ2C.sinθ2<cosθ2D.sinθ2>cosθ27.已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0，ca-db>0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.38.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们重叠在一起组成一个新的长方体，在这些长方体中，最长对角线的长度是（）A.77cmB.72cmC.55cmD.102cm9.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A.C61C942B.C61C992C.C1003-C943D.P1003-P94310.期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（）A.4041B.1C.4140D.2二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）)11.若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f-1(x)的值域为________．12.sin(α+30∘)-sin(α-30∘)cosα的值为________．试卷第5页，总6页 13.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2008年的垃圾量为________吨．14.若直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为________；以(m, n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆x27+y23=1的公共点有________个．三、解答题（共6小题，满分84分）)15.当0<a<1时，解关于x的不等式a2x-1<ax-2．16.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，求∠A的大小及bsinBc的值．17.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC⊥SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．18.已知点A(2, 8)，B(x1, y1)，C(x2, y2)在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标（3）求BC所在直线的方程．19.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价-成本）20.下表给出一个“等差数阵”：试卷第5页，总6页 47（）（）（）…a1j…712（）（）（）…a2j…（）（）（）（）（）…a3j…（）（）（）（）（）…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(Ⅰ)写出a45的值；(Ⅱ)写出aij的计算公式；(Ⅲ)证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．试卷第5页，总6页 参考答案与试题解析2004年北京市春季高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1.A2.D3.C4.C5.B6.B7.D8.C9.C10.B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）11.(-1, +∞)12.113.a(1+b),a(1+b)5．14.0<m2+n2<3,2三、解答题（共6小题，满分84分）15.解：由0<a<1，原不等式可化为2x-1>x-2这个不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：2x-1≥0x-2<0(1)或2x-1≥0x-2≥02x-1>(x-2)2(2)解不等式组(1)得解集{x|12≤x<2}解不等式组(2)得解集{x|2≤x<5}所以原不等式的解集为：{x|12≤x<5}16.解：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac．又a2-c2=ac-bc，∴b2+c2-a2=bc．在△ABC中，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，∴∠A=60∘．在△ABC中，由正弦定理得sinB=bsinAa，∵b2=ac，∠A=60∘，∴bsinBc=b2sin60∘ac=sin60∘=32．17.（1）证明：如图1∵底面ABCD是正方形；∴BC⊥DC；∵SD⊥底面ABCD；∴试卷第5页，总6页 DC是SC在平面ABCD上的射影由三垂线定理得BC⊥SC（2）解：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，∴可以把四棱锥S-ABCD补形为长方体A1B1C1S-ABCD，如图2面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，∵SC⊥BC，BC // A1S∴SC⊥A1S又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=2在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1，∴∠CSD=45∘即面ASD与面BSC所成的二面角为45∘18.解：（1）由点A(2, 8)在抛物线y2=2px上，有82=2p⋅2解得p=16所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为(8, 0)（2）如图，由F(8, 0)是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得AFFM=2；设点M的坐标为(x0, y0)，则2+2x01+2=8，8+2y01+2=0解得x0=11，y0=-4所以点M的坐标为(11, -4)（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．设BC所成直线的方程为y+4=k(x-11)(k≠0)由y+4=k(x-11)y2=32x消x得ky2-32y-32(11k+4)=0试卷第5页，总6页 所以y1+y2=32k由（2）的结论得y1+y22=-4解得k=-4因此BC所在直线的方程为y+4=-4(x-11)即4x+y-40=0．19.设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0=100+60-510.02=550因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．当0<x≤100时，P＝60当100<x<550时，P=60-0.02(x-100)=62-x50当x≥550时，P＝51所以P=f(x)=600<x≤10062-x50100<x<550(x∈N)51x≥550设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L=(P-40)x=20x0<x≤10022x-x250100<x<500(x∈N) 当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．20.(I)a45＝49．(II)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j＝4+3(j-1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j＝7+5(j-1)，第i行是首项为4+3(i-1)，公差为2i+1的等差数列，因此aij＝4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)，＝2ij+i+j＝i(2j+1)+j．(III)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得N＝i(2j+1)+j，从而2N+1＝2i(2j+1)+2j+1＝(2i+1)(2j+1)，即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得2N+1＝(2k+1)(2l+1)，从而N＝k(2l+1)+l＝akl，可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．试卷第5页，总6页