2003年北京市高考数学试卷（理科）
ID：44752
2021-10-19
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2003年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)1.设集合A={x|x2-1>0}，B={x|log2x>0|}，则A∩B等于（）A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x>1或x<-1}2.设y1=40.9，y2=80.48，y3=(12)-1.5，则（）A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y23.“cos2α=-32”是“α=2kπ+5π12，k∈Z”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4.已知α，β是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是（）A.若m // α，α∩β=n，则m // nB.若m // n，m⊥α，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥β，则α // βD.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β5.极坐标方程ρ2cos2θ-2ρcosθ=1表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若z∈C，且|z+2-2i|=1，则|z-2-2i|的最小值是（）A.2B.3C.4D.57.如果圆台的母线与底面成60∘角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A.2πB.32πC.233πD.12π8.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种9.若数列{an}的通项公式是an=3-n+2-n+(-1)n(3-n-2-n)2，n=1，2，…，则limn→∞(a1+a2+...+an)等于（）A.1124B.1724C.1924D.252410.某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令aij=1，第i号同学同意第j号同学当选.0，第i号同学不同意第j号同学当选.其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A.a11+a12+...+a1k+a21+a22+...+a2kB.a11+a21+...+ak1+a12+a22+...+ak2C.a11a12+a21a22+...+ak1ak2试卷第7页，总7页, D.a11a21+a12a22+...+a1ka2k二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.)11.函数f(x)=lg(1+x2)，g(x)=x+2x<-10|x|≤1-x+2x>1.，h(x)=tan2x中，________是偶函数．12.已知双曲线方程为x216-y29=1，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为________．13.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．14.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=anxn(x∈R)，求数列{bn}前n项和的公式．17.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=332，D是CB延长线上一点，且BD=BC．（1）求证：直线BC1 // 平面AB1D；（2）求二面角B1-AD-B的大小；（3）求三棱锥C1-ABB1的体积．试卷第7页，总7页, 18.如图，已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M(0, r)(b>r>0（1）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（2）设直线y=k1x与椭圆交于C(x1, y1)，D(x2, y2)(y2>0)，直线y=k2x与椭圆次于G(x3, y3)，H(x4, y4)(y4>0)．求证：k1x1x2x1+x2=k1x3x4x3+x4；（3）对于（2）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）19.有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）．（1）若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？20.设y=f(x)是定义在区间[-1, 1]上的函数，且满足条件，①f(-1)=f(1)=0，②对任意的u、v∈[-1, 1]，都有|f(u)-f(V)|≤|u-v|（1）证明：对任意x∈[-1, 1]，都有x-1≤f(x)≤1-x（2）证明：对任意的u，v∈[-1, 1]都有|f(u)-f(V)|≤1（3）在区间[-1, 1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)且使得|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,12]|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[12，1]；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2003年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.A2.D3.A4.A5.D6.B7.C8.B9.C10.C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11.f(x)、g(x)12.y2=36(x+4)13.12πr2(a+b)14.4π+4三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.解：（1）由题意知，f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+π4)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．（2）∵0≤x≤π2，∴π4≤2x+π4≤5π4当2x+π4=π4时，f(x)取最大值为22，当2x+π4=π时，f(x)取最小值为-1∴f(x)=2cos(2x+π4)的最大值为1，最小值为-216.解：（1）设数列{an}的公差为d，则a1+a2+a3=3a1+3d=12．又a1=2，得d=2．∴an=2n．（2）当x=0时，bn=0，Sn=0，当x≠0时，令Sn=b1+b2+...+bn，则由bn=anxn=2nxn，得Sn=2x+4x2++(2n-2)xn-1+2nxn，①xSn=2x2+4x3++(2n-2)xn+2nxn+1．②当x≠1时，①式减去②式，得(1-x)Sn=2(x+x2++xn)-2nxn+1=2x(1-xn)1-x-2nxn+1．∴Sn=2x(1-xn)(1-x)2-2nxn+11-x．当x=1时，Sn=2+4++2n=n(n+1)．综上可得，当x=1时，Sn=n(n+1)；试卷第7页，总7页, 当x≠1时，Sn=2x(1-xn)(1-x)2-2nxn+11-x．17.解：（1）∵CB // C1B1，且BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，可得BC1 // DB1．又B1D⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴直线BC1 // 平面AB1D（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB1∵BB1⊥平面ABD，∴BE是B1E在平面ABD内的射影结合BE⊥AD，可得B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角．∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，得BE是三角形ACD的中位线，所以BE=12AC=32．在Rt△BB1E中，tan∠B1BE=B1BBE=32332=3∴∠B1EB=60∘，即二面角B1-AD-B的大小为60∘（3）过A作AF⊥BC于F，∵BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面BB1C1C∴平面BB1C1C⊥平面ABC∵AF⊥BC，平面BB1C1C∩平面ABC=BC∴AF⊥平面BB1C1C，即AF为点A到平面BB1C1C的距离．∵正三角形ABC中，AF=32×3=332，∴三棱锥C1-ABB1的体积VC1-ABB1=VA-C1BB1=13×934×332=278．18.（1）解：∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M(0, r)，∴椭圆方程为x2a2+(y-r)2b2=1焦点坐标为F1(-a2-b2,r)，F2(a2-b2,r)试卷第7页，总7页, 离心率e=a2-b2a（2）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程x2a2+(y-r)2b2=1，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根据韦达定理，得x1+x2=2k1a2rb2+a2k12，x1x2=a2r2-a2b2b2+a2k12，所以 x1x2x1+x2=r2-b22k1r①将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程x2a2+(y-r)2b2=1，同理可得x3x4x3+x4=r2-b22k2r②由 ①、②得 k1x1x2x1+x2=r2-b22r=k2x3x4x3+x4所以结论成立（3）证明：设点P(p, 0)，点Q(q, 0)由C、P、H共线，得 x1-px4-p=k1x1k2x4解得 p=(k1-k2)x1x4k1x1-k2x4由D、Q、G共线，同理可得 x2-px3-p=k1x2k2x3∴q=(k1-k2)x2x3k1x2-k2x3由k1x1x2x1+x2=k2x3x4x3+x4变形得-(k1-k2)x1x4k1x1-k2x4=(k1-k2)x2x3k1x2-k2x3所以|p|=|q|即|OP|=|OQ|19.点P的坐标是(0,a2-b23)（2）记h=a2-b2P至三镇的最远距离为g(x)=b2+y2，当b2+y2≥|h-y||h-y|，当b2+y2<|h-y|.由b2+y2≥|h-y|解得y≥h2-b22h，记y*=h2-b22h，于是g(x)=b2+y2，当y≥y*|h-y|，当yb，所以y=0时，函数g(y)取得最小值．答：当h≥b时，点P的坐标是(0,h2-b22h)；当h1时，u⋅v<0，不妨设u∈[-1, 0), v∈(0, 1]，则v-u>1从而有|f(u)-f(V)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(V)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=2-(v-u)<1综上可知，对任意的u，v∈[-1, 1]，都有|f(u)-f(V)|≤1（3）解：这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由|f(u)-f(V)|=|u-v|．u,v∈[12，1]得|f(12)-f(1)|=|12-1|=12又f(1)=0，所以|f(12)|=12①又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，由条件|f(u)-f(V)|<|u-v|．u,v∈[0,12]得|f(12)|=|f(12)-f(0)|<|12-0|=12所以|f(12)|<12②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．试卷第7页，总7页
2003年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)1.设集合A={x|x2-1>0}，B={x|log2x>0|}，则A∩B等于（）A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x>1或x<-1}2.设y1=40.9，y2=80.48，y3=(12)-1.5，则（）A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y23.“cos2α=-32”是“α=2kπ+5π12，k∈Z”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4.已知α，β是平面，m，n是直线，下列命题中不正确的是（）A.若m // α，α∩β=n，则m // nB.若m // n，m⊥α，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥β，则α // βD.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β5.极坐标方程ρ2cos2θ-2ρcosθ=1表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若z∈C，且|z+2-2i|=1，则|z-2-2i|的最小值是（）A.2B.3C.4D.57.如果圆台的母线与底面成60∘角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A.2πB.32πC.233πD.12π8.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种9.若数列{an}的通项公式是an=3-n+2-n+(-1)n(3-n-2-n)2，n=1，2，…，则limn→∞(a1+a2+...+an)等于（）A.1124B.1724C.1924D.252410.某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令aij=1，第i号同学同意第j号同学当选.0，第i号同学不同意第j号同学当选.其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A.a11+a12+...+a1k+a21+a22+...+a2kB.a11+a21+...+ak1+a12+a22+...+ak2C.a11a12+a21a22+...+ak1ak2试卷第7页，总7页, D.a11a21+a12a22+...+a1ka2k二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.)11.函数f(x)=lg(1+x2)，g(x)=x+2x<-10|x|≤1-x+2x>1.，h(x)=tan2x中，________是偶函数．12.已知双曲线方程为x216-y29=1，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为________．13.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．14.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=anxn(x∈R)，求数列{bn}前n项和的公式．17.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=332，D是CB延长线上一点，且BD=BC．（1）求证：直线BC1 // 平面AB1D；（2）求二面角B1-AD-B的大小；（3）求三棱锥C1-ABB1的体积．试卷第7页，总7页, 18.如图，已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M(0, r)(b>r>0（1）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（2）设直线y=k1x与椭圆交于C(x1, y1)，D(x2, y2)(y2>0)，直线y=k2x与椭圆次于G(x3, y3)，H(x4, y4)(y4>0)．求证：k1x1x2x1+x2=k1x3x4x3+x4；（3）对于（2）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）19.有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）．（1）若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？20.设y=f(x)是定义在区间[-1, 1]上的函数，且满足条件，①f(-1)=f(1)=0，②对任意的u、v∈[-1, 1]，都有|f(u)-f(V)|≤|u-v|（1）证明：对任意x∈[-1, 1]，都有x-1≤f(x)≤1-x（2）证明：对任意的u，v∈[-1, 1]都有|f(u)-f(V)|≤1（3）在区间[-1, 1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)且使得|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,12]|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[12，1]；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2003年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.A2.D3.A4.A5.D6.B7.C8.B9.C10.C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11.f(x)、g(x)12.y2=36(x+4)13.12πr2(a+b)14.4π+4三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.解：（1）由题意知，f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+π4)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．（2）∵0≤x≤π2，∴π4≤2x+π4≤5π4当2x+π4=π4时，f(x)取最大值为22，当2x+π4=π时，f(x)取最小值为-1∴f(x)=2cos(2x+π4)的最大值为1，最小值为-216.解：（1）设数列{an}的公差为d，则a1+a2+a3=3a1+3d=12．又a1=2，得d=2．∴an=2n．（2）当x=0时，bn=0，Sn=0，当x≠0时，令Sn=b1+b2+...+bn，则由bn=anxn=2nxn，得Sn=2x+4x2++(2n-2)xn-1+2nxn，①xSn=2x2+4x3++(2n-2)xn+2nxn+1．②当x≠1时，①式减去②式，得(1-x)Sn=2(x+x2++xn)-2nxn+1=2x(1-xn)1-x-2nxn+1．∴Sn=2x(1-xn)(1-x)2-2nxn+11-x．当x=1时，Sn=2+4++2n=n(n+1)．综上可得，当x=1时，Sn=n(n+1)；试卷第7页，总7页, 当x≠1时，Sn=2x(1-xn)(1-x)2-2nxn+11-x．17.解：（1）∵CB // C1B1，且BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，可得BC1 // DB1．又B1D⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴直线BC1 // 平面AB1D（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB1∵BB1⊥平面ABD，∴BE是B1E在平面ABD内的射影结合BE⊥AD，可得B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角．∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，得BE是三角形ACD的中位线，所以BE=12AC=32．在Rt△BB1E中，tan∠B1BE=B1BBE=32332=3∴∠B1EB=60∘，即二面角B1-AD-B的大小为60∘（3）过A作AF⊥BC于F，∵BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面BB1C1C∴平面BB1C1C⊥平面ABC∵AF⊥BC，平面BB1C1C∩平面ABC=BC∴AF⊥平面BB1C1C，即AF为点A到平面BB1C1C的距离．∵正三角形ABC中，AF=32×3=332，∴三棱锥C1-ABB1的体积VC1-ABB1=VA-C1BB1=13×934×332=278．18.（1）解：∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M(0, r)，∴椭圆方程为x2a2+(y-r)2b2=1焦点坐标为F1(-a2-b2,r)，F2(a2-b2,r)试卷第7页，总7页, 离心率e=a2-b2a（2）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程x2a2+(y-r)2b2=1，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根据韦达定理，得x1+x2=2k1a2rb2+a2k12，x1x2=a2r2-a2b2b2+a2k12，所以 x1x2x1+x2=r2-b22k1r①将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程x2a2+(y-r)2b2=1，同理可得x3x4x3+x4=r2-b22k2r②由 ①、②得 k1x1x2x1+x2=r2-b22r=k2x3x4x3+x4所以结论成立（3）证明：设点P(p, 0)，点Q(q, 0)由C、P、H共线，得 x1-px4-p=k1x1k2x4解得 p=(k1-k2)x1x4k1x1-k2x4由D、Q、G共线，同理可得 x2-px3-p=k1x2k2x3∴q=(k1-k2)x2x3k1x2-k2x3由k1x1x2x1+x2=k2x3x4x3+x4变形得-(k1-k2)x1x4k1x1-k2x4=(k1-k2)x2x3k1x2-k2x3所以|p|=|q|即|OP|=|OQ|19.点P的坐标是(0,a2-b23)（2）记h=a2-b2P至三镇的最远距离为g(x)=b2+y2，当b2+y2≥|h-y||h-y|，当b2+y2<|h-y|.由b2+y2≥|h-y|解得y≥h2-b22h，记y*=h2-b22h，于是g(x)=b2+y2，当y≥y*|h-y|，当y<y*.当y*=h2-b22h≥0，即h≥b时，因为b2+y2在[y*,>b，所以y=0时，函数g(y)取得最小值．答：当h≥b时，点P的坐标是(0,h2-b22h)；当h<b时，点p的坐标是(0, 0="">1时，u⋅v<0，不妨设u∈[-1, 0), v∈(0, 1]，则v-u>1从而有|f(u)-f(V)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(V)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=2-(v-u)<1综上可知，对任意的u，v∈[-1, 1]，都有|f(u)-f(V)|≤1（3）解：这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由|f(u)-f(V)|=|u-v|．u,v∈[12，1]得|f(12)-f(1)|=|12-1|=12又f(1)=0，所以|f(12)|=12①又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，由条件|f(u)-f(V)|<|u-v|．u,v∈[0,12]得|f(12)|=|f(12)-f(0)|<|12-0|=12所以|f(12)|<12②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．试卷第7页，总7页</b时，点p的坐标是(0,></y*.当y*=h2-b22h≥0，即h≥b时，因为b2+y2在[y*,>
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