2003年北京市春季高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）)1.设，，，．且ᦙ，ᦙ，且下列结论中正确的是（）A.ᦙB.െᦙെC.ᦙD.ᦙ2.设和分别表示函数cosെ的最大值和最小值，则等于（）A.B.െC.െD.െെ3.若ሺݔሺ程方则，ݔ＝的根是（）A.B.െC.D.െ4.若集合െ，，െ，则ሺݔA.ᦙݕ.D.Cᦙ.Bݕ5.若，，是的三个内角，且൏൏ሺݔ，则下列结论中正确的是（）A.sin൏sinB.cos൏cosC.݃൏݃D.݃൏݃6.在等差数列中，已知＝ݕ，那么＝（）A.B.C.D.7.设复数െ，，则argሺݔA.B.C.D.െ8.函数ሺݔെሺݔሺ݃和ݔ的递增区间依次是（）A.ሺെݔ,ݕെሺ.Bെሺ，ݕC.ݔ，ݔݕ.Dെሺݔݕ9.在同一坐标系中，方程与ݕሺᦙᦙݕݔ的曲线大致是（）A.B.C.D.试卷第1页，总6页
10.某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A.B.C.D.ݕ11.如图，在正三角形中，，，分别为各边的中点，，，，分别为，，、的中点．将沿，，折成三棱锥以后，与所成角的度数为（）A.ݕ.D.Cݕ.Bݕ12.已知直线ݕሺݕݔ与圆相切，则三条边长分别为，，的三角形（）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.函数sin的最小正周期为________．14.如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高，则________．15.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内．年龄（岁）ݕݕݕݕ收缩压（水银柱毫米）ݔ________ሺݕݕݕ舒张压（水银柱毫米）ݔ________ሺݕݕ试卷第2页，总6页
16.如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是________．三、解答题（共6小题，满分74分）)17.解不等式：logሺെെݔെሺlogᦙݔ．cosെcos18.已知函数ሺݔሺ求，ݔ的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．cos19.如图，െ是正四棱柱，侧棱长为，底面边长为，是棱的中点．（1）求三棱锥െ的体积；（2）证明平面；（3）求面与面所成二面角的正切值．20.设ሺെݔݕᦙሺݔݕሺ、ݔݕ为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值ሺᦙݔݕ，求点的轨迹．21.某租赁公司拥有汽车ݕݕݕ为金租月的车辆每当．辆ݕݕ元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加ݕ元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费ݕ费护维要需月每辆每车的出租未，元ݕ元．（1）当每辆车的月租金定为ݕݕ元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？22.如图，在边长为的等边中，圆为的内切圆，圆与圆外切，且与，相切，…，圆与圆外切，且与，相切，如此无限继续下去．记圆的面积为ሺݔ．（1）证明是等比数列；lim（2）求ሺǤǤǤݔ的值．试卷第3页，总6页
参考答案与试题解析2003年北京市春季高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.C2.D3.A4.C5.A6.A7.C8.C9.A10.D11.B12.B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.14.15.ݕ,16.三、解答题（共6小题，满分74分）17.解：原不等式变形为െെᦙݕെᦙݕെെᦙെሺെݕᦙݔሺݔ∴െᦙݕെᦙݕᦙ∴，൏ݕ或ᦙ∴ᦙ∴原不等式的解集是：ᦙ18.解：由cosݔሺ，得解，，得ݕ，∴函数ሺݔ的定义域为；∵ሺݔ的定义域关于原点对称，cosሺെݔെሺcosെݔcosെcos且ሺെݔሺݔ，cosሺെݔcos∴ሺݔ是偶函数．试卷第4页，总6页
cosെcos又∵当，时，ሺݔcosሺcosെݔെcosሺݔcosെ，cos∴ሺݔ的值域为െ൏或൏．19.解：（1）∵∴又∵∴三棱锥െ的体积（2）设连接∵为的中点为的中点∴是的中位线∴又在平面外，在平面内∴平面（3）过作交于，连接则∴是二面角െെ的一个平面角在中，，，∴又∵是直角三角形∴tan20.解：设动点的坐标为ሺݔ，ሺݔ由ሺᦙݕݔ得，ሺെݔ化简可得ሺെݕݔെሺݔെሺݔሺݔ．当时，方程化为ݕ．当时，方程化为ሺെݔሺݔ．െെ所以当时，点的轨迹为轴；当时，点的轨迹是以点ሺݕݔ为圆心，为半径的圆．െെ21.解：（1）当每辆车的月租金定为ݕݕ元时，ݕݕݕെݕݕ未租出的车辆数为，ݕ所以这时租出了辆车．（2）设每辆车的月租金定为元，െݕݕݕെݕݕݕ则租赁公司的月收益为ሺݕെݔݕെሺݔെݕݕሺݔ，ݕݕ整理得ሺݕݕݕݔݕݕെሺെݕݕݕെെݔ．ݕݕ所以，当ݕݕݕݔݕݕሺ为值大最，大最ݔሺ，时ݕݕ，即当每辆车的月租金定为ݕݕݕ为益收月大最，大最益收月的司公赁租，时元ݕݕ元．试卷第5页，总6页
22.（1）证明：记为圆的半径，则tanݕ，െെsinݕ．െ所以െሺݔ，于是，ሺݔെെ故成等比数列．െ（2）解：因为ሺݔሺݔ，lim所以ሺݔ．െ试卷第6页，总6页
2003年北京市春季高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）)1.设，，，．且ᦙ，ᦙ，且下列结论中正确的是（）A.ᦙB.െᦙെC.ᦙD.ᦙ2.设和分别表示函数cosെ的最大值和最小值，则等于（）A.B.െC.െD.െെ3.若ሺݔሺ程方则，ݔ＝的根是（）A.B.െC.D.െ4.若集合െ，，െ，则ሺݔA.ᦙݕ.D.Cᦙ.Bݕ5.若，，是的三个内角，且൏൏ሺݔ，则下列结论中正确的是（）A.sin൏sinB.cos൏cosC.݃൏݃D.݃൏݃6.在等差数列中，已知＝ݕ，那么＝（）A.B.C.D.7.设复数െ，，则argሺݔA.B.C.D.െ8.函数ሺݔെሺݔሺ݃和ݔ的递增区间依次是（）A.ሺെݔ,ݕെሺ.Bെሺ，ݕC.ݔ，ݔݕ.Dെሺݔݕ9.在同一坐标系中，方程与ݕሺᦙᦙݕݔ的曲线大致是（）A.B.C.D.试卷第1页，总6页
10.某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A.B.C.D.ݕ11.如图，在正三角形中，，，分别为各边的中点，，，，分别为，，、的中点．将沿，，折成三棱锥以后，与所成角的度数为（）A.ݕ.D.Cݕ.Bݕ12.已知直线ݕሺݕݔ与圆相切，则三条边长分别为，，的三角形（）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.函数sin的最小正周期为________．14.如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高，则________．15.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内．年龄（岁）ݕݕݕݕ收缩压（水银柱毫米）ݔ________ሺݕݕݕ舒张压（水银柱毫米）ݔ________ሺݕݕ试卷第2页，总6页
16.如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是________．三、解答题（共6小题，满分74分）)17.解不等式：logሺെെݔെሺlogᦙݔ．cosെcos18.已知函数ሺݔሺ求，ݔ的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．cos19.如图，െ是正四棱柱，侧棱长为，底面边长为，是棱的中点．（1）求三棱锥െ的体积；（2）证明平面；（3）求面与面所成二面角的正切值．20.设ሺെݔݕᦙሺݔݕሺ、ݔݕ为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值ሺᦙݔݕ，求点的轨迹．21.某租赁公司拥有汽车ݕݕݕ为金租月的车辆每当．辆ݕݕ元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加ݕ元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费ݕ费护维要需月每辆每车的出租未，元ݕ元．（1）当每辆车的月租金定为ݕݕ元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？22.如图，在边长为的等边中，圆为的内切圆，圆与圆外切，且与，相切，…，圆与圆外切，且与，相切，如此无限继续下去．记圆的面积为ሺݔ．（1）证明是等比数列；lim（2）求ሺǤǤǤݔ的值．试卷第3页，总6页
参考答案与试题解析2003年北京市春季高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.C2.D3.A4.C5.A6.A7.C8.C9.A10.D11.B12.B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.14.15.ݕ,16.三、解答题（共6小题，满分74分）17.解：原不等式变形为െെᦙݕെᦙݕെെᦙെሺെݕᦙݔሺݔ∴െᦙݕെᦙݕᦙ∴，൏ݕ或ᦙ∴ᦙ∴原不等式的解集是：ᦙ18.解：由cosݔሺ，得解，，得ݕ，∴函数ሺݔ的定义域为；∵ሺݔ的定义域关于原点对称，cosሺെݔെሺcosെݔcosെcos且ሺെݔሺݔ，cosሺെݔcos∴ሺݔ是偶函数．试卷第4页，总6页
cosെcos又∵当，时，ሺݔcosሺcosെݔെcosሺݔcosെ，cos∴ሺݔ的值域为െ൏或൏．19.解：（1）∵∴又∵∴三棱锥െ的体积（2）设连接∵为的中点为的中点∴是的中位线∴又在平面外，在平面内∴平面（3）过作交于，连接则∴是二面角െെ的一个平面角在中，，，∴又∵是直角三角形∴tan20.解：设动点的坐标为ሺݔ，ሺݔ由ሺᦙݕݔ得，ሺെݔ化简可得ሺെݕݔെሺݔെሺݔሺݔ．当时，方程化为ݕ．当时，方程化为ሺെݔሺݔ．െെ所以当时，点的轨迹为轴；当时，点的轨迹是以点ሺݕݔ为圆心，为半径的圆．െെ21.解：（1）当每辆车的月租金定为ݕݕ元时，ݕݕݕെݕݕ未租出的车辆数为，ݕ所以这时租出了辆车．（2）设每辆车的月租金定为元，െݕݕݕെݕݕݕ则租赁公司的月收益为ሺݕെݔݕെሺݔെݕݕሺݔ，ݕݕ整理得ሺݕݕݕݔݕݕെሺെݕݕݕെെݔ．ݕݕ所以，当ݕݕݕݔݕݕሺ为值大最，大最ݔሺ，时ݕݕ，即当每辆车的月租金定为ݕݕݕ为益收月大最，大最益收月的司公赁租，时元ݕݕ元．试卷第5页，总6页
22.（1）证明：记为圆的半径，则tanݕ，െെsinݕ．െ所以െሺݔ，于是，ሺݔെെ故成等比数列．െ（2）解：因为ሺݔሺݔ，lim所以ሺݔ．െ试卷第6页，总6页
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