2002年北京市春季高考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）)香䁕组1.不等式组的解集（）͵䁕组A.香䁕䁕香൏B.组䁕䁕͵൏C.组䁕䁕香൏D.香䁕䁕͵൏2.已知三条直线、、，三个平面、、，下列四个命题中，正确的是（）thA.B.tthththC.D.hth3.已知椭圆的焦点是香，，是椭圆上的一个动点，如果延长香到，使得，那么动点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线4.如果䁟那么复数香䁃cos䁃sin的辐角的主值是（）A.䁃B.䁃C.D.䁃5.若角满足条件sin䁕组，cossin䁕组，则在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.从名志愿者中选出人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A.组种B.组种C.香组种D.种7.在䳌䁨中，䳌＝，䳌䁨＝香㤵㐠，䳌䁨＝香组，若将䳌䁨绕直线䳌䁨旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）㐠͵A.B.C.D.8.圆䁃香与直线sin䁃香组的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离或相切D.不能确定9.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）A.组B.䁃组C.组D.组10.在极坐标系中，如果一个圆的方程cos䁃sin，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（）A.sin͵B.sin͵C.cosD.cos11.函数sin的单调增区间是（）͵A.䁢䁟䁢䁃䁢B.䁢䁃䁟䁢䁃䁢C.䁢䁟䁢䁢D.䁢䁟䁢䁃䁢香͵12.对于二项式䁃的展开式，四位同学作出了四种判断：①存在，展开式中有常数项；②对任意，展开式中没有常数项；试卷第1页，总7页 ③对任意，展开式中没有的一次项；④存在，展开式中有的一次项．上述判断中正确的是（）A.①与③B.②与③C.①与④D.②与④13.在香䁃的展开式中，͵的系数和常数项依次是（）A.组，组B.香㐠，组C.组，香㐠D.香㐠，香㐠14.若一个等差数列前͵项的和为͵，最后͵项的和为香，且所有项的和为͵组，则这个数列有（）A.香͵项B.香项C.香香项D.香组项15.用一张钢板制作一个容积为͵的无盖长方体水箱．可用的长方形钢板有四种不同的规格（长宽的尺寸如各选项所示，单位均为），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是()A.㐠B.㐠㤵㐠C.㤵香D.͵㐠二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）)͵16.若双曲线香的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是________．香͵17.如果cos，䁟，那么cos䁃的值等于________．香͵18.已知，䳌，䁨三点在球心为，半径为香的球面上，且几何体䳌䁨为正四面体，那么点到平面䳌䁨的距离为________．19.对于任意两个复数香香䁃香，䁃(香、香、、)，定义运算“”：香香䁃香．设非零复数香、在复平面内对应的点分别为香、，点为为坐标原点．若香组，则在香中，香的大小为________．三、解答题（共6小题，满分70分）)䁨䁨20.在䳌䁨中，已知、䳌、䁨成等差数列，求䁃͵䁃的值．21.已知函是偶函数，而且在组䁟䁃上是增函数，判断在䁟组上是增函数还是减函数，并证明你的判断．22.在三棱锥䳌䁨中，如图，䳌䁨䁨䳌组，䁨，䳌䁨香͵，䳌．（1）证明：䁨t䳌䁨；（2）求侧面䳌䁨与底面䳌䁨所成的二面角大小；（3）（理）求异面直线䁨与䳌所成的角的大小（用反三角函数表示）．（文）求三棱锥的体积䳌䁨．23.假设型进口车关税税率在组组年是香组组，在组组年是㐠，组组年型进口车每辆价格为万元（其中含͵万元关税税款）．试卷第2页，总7页 （1）已知与型车性能相近的䳌型国产车，组组年每辆价格为万元，若型车的价格只受关税降低的影响，为了保证组组年䳌型车的价格不高于型车价格的组，䳌型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（2）某人在组组年将͵͵万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为香㤵（㐠年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么㐠年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的䳌型车一辆？24.已知点的序列䁟组，，其中组，组，是线段的中͵点，是线段͵的中点，…，是线段香的中点，…．（1）写出与香、之间的关系式͵；（2）设䁃香，计算，，͵，由此推测数列൏的通项公式，并加以证明．25.已知某椭圆的焦点是香䁟组、䁟组，过点，并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为䳌，且香䳌䁃䳌香组．椭圆上不同的两点香䁟香、䁨䁟满足条件：、䳌、䁨成等差数列．（1）求该椭圆的方程；（2）求弦䁨中点的横坐标；（3）设弦䁨的垂直平分线的方程为䁢䁃，求的取值范围．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2002年北京市春季高考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1.C2.D3.A4.B5.B6.B7.D8.C9.D10.A11.A12.C13.C14.A15.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16.，组17.18.͵19.三、解答题（共6小题，满分70分）20.解：∵、䳌、䁨成等差数列，∴䁃䳌䁃䁨͵䳌香组∴䳌组∴䁃䁨香组䁨䁃䁨tan䁃tan∴tan䁨tan组͵香tantan䁨䁨∴䁃͵䁃͵21.解：在䁟组上是减函数证明：设香䁕䁕组则香组∵在组䁟䁃上是增函数∴香又是偶函数试卷第4页，总7页 ∴香香，∴香∴在䁟组上是减函数22.解：（1）证明：如图，∵䳌䁨组∴t底面䁨䳌又∵䳌䁨底面䁨䳌∴t䳌䁨又∵䁨䳌组∴䁨t䳌䁨又∵䁨∴䳌䁨t面䁨又∵䁨面䁨∴䁨t䳌䁨（2）解：∵䁨䳌组∴䁨t䳌䁨又∵䁨t䳌䁨∴䁨即为侧面䳌䁨与底面䳌䁨所成的二面角的平面角在䁨䳌中，䁨，䳌䁨香͵，∴䳌香在䳌中，䳌香，䳌，∴͵在䁨中，͵，䁨，∴䁨组，即侧面䳌䁨与底面䳌䁨所成的二面角的大小为组（3）（理）分别取䁨、䳌、䁨䳌、䁨的中点、、、，连接、、、、，则：䁨䳌，䁨，䳌，所以异面直线䁨与䳌所成的角的大小即为的大小．∵䁨䳌，䳌䁨t面䁨∴t面䁨香͵㐠∴t，又，͵，则香又∵，䁃香∴cos香香∴异面直线䁨与䳌所成的角的大小为arccos．香香（文）∵䁨䳌䁨䳌䁨香͵，͵，香͵∴䳌䁨香͵͵．͵͵23.解：（1）组组年型车价为͵䁃͵㐠组（万元）设䳌型车每年下降万元，组组，组组͵组组年䳌型车价格为：（公差为）香，，…，，∴组组∴㐠͵故每年至少下降万元（2）组组年到期时共有钱͵͵香䁃香㤵㐠͵͵香䁃组㤵组䁃组㤵组组͵䁃…͵㤵组͵（万元）故㐠年到期后这笔钱够买一辆降价后的䳌型车．试卷第5页，总7页 24.解：（1）根据题意，是线段香的中点，则有香䁃当͵时，．䁃香香香（2）香香，͵香，͵䁃香香香香͵͵͵͵，香香由此推测：．䁃香香证明如下：因为香组，且䁃香香香香香，香香所以．25.（1）解：由椭圆定义及条件知香䳌䁃䳌香组，得㐠．又，所以͵．故椭圆方程为䁃香．㐠（2）解：由点䳌䁟䳌在椭圆上，得䳌䳌．㐠㐠因为椭圆右准线方程为，离心率为．㐠㐠㐠根据椭圆定义，有香，䁨．㐠㐠㐠㐠由、䳌、䁨成等差数列，得香䁃．㐠㐠㐠由此得出香䁃．设弦䁨的中点为组䁟组，香䁃则组．（3）解：由香䁟香，䁨䁟在椭圆上，得䁃㐠㐠，④香香䁃㐠㐠．⑤由④-⑤得䁃㐠组，香香香䁃香䁃香即䁃㐠组香．香香䁃香䁃香香将组，组，䁢组代入上式，得香䁢香䁃㐠组组䁢组．䁢㐠由上式得䁢组（当䁢组时也成立）．͵由点䁟组在弦䁨的垂直平分线上，得试卷第6页，总7页 组䁢䁃，㐠香所以组䁢组组组．由䁟组在线段䳌䳌段（䳌段与䳌关于轴对称）的内部，得䁕组䁕．㐠㐠香香所以䁕䁕．㐠㐠试卷第7页，总7页