2001年北京市高考数学试卷（理）
ID：44746
2021-10-19
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2001年北京市高考数学试卷（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）)1.集合M={1, 2, 3, 4, 5}的子集个数是（）A.32B.31C.16D.152.函数f(x)=ax（a>0且a≠1），对于任意实数x、y都有（ ）A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)3.limn→∞C2nnC2n+2n+1=()A.0B.2C.12D.144.函数y=-1-x(x≤1)的反函数是（）A.y=x2-1(-1≤x≤0)B.y=x2-1(0≤x≤1)C.y=1-x2(x≤0)D.y=1-x2(0≤x≤1)5.极坐标系中，圆ρ=4cosθ+3sinθ的圆心的极坐标是( )A.(52，arcsin35)B.(5,arcsin45)C.(5,arcsin35)D.(52，arcsin45)6.设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是（）A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线7.已知f(x6)=log2x，那么f(8)等于( )A.43B.8C.18D.128.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB-sinA, sinB-cosA)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是( )A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘10.若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A.18B.6C.23D.24311.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60∘角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是试卷第7页，总7页, ( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④12.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似的满足关系式Sn=n90(21n-n2-5)(n=1, 2,3,⋯,12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）A.5，6月B.6，7月C.7，8月D.8，9月二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于________．14.椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是________．15.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于________．16.已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α // β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m // n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β=m，n // m；且n∉α，n∉β，则n // α且n // β．其中正确的命题的序号是________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，满分74分）)17.设函数f(x)=x+ax+b(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．18.已知z7=1(z∈C且z≠1)．（1）证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0；（2）设z的辐角为α，求cosα+cos2α+cos4α的值．19.如图已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上．AB=a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC．（1）证明∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；（2）当∠MDC=∠CVN时，证明VC⊥平面AMB．试卷第7页，总7页, 20.在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，…，an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，…，bn，使这n+2个数成等差数列．记An=a1a2a3...an，Bn=b1+b2+b3+...+bn．（1）求数列{An}和{Bn}的通项；（2）当n≥7时，比较An和Bn的大小，并证明你的结论．21.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(00)．过动点M(a, 0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2001年北京市高考数学试卷（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.A2.C3.D4.D5.A6.B7.D8.B9.C10.B11.C12.C二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.πS2S2414.162515.26916.②④三、解答题（共6小题，满分74分）17.解：函数f(x)=x+ax+b的定义域为(-∞, -b)∪(-b, +∞)．f(x)在(-∞, -b)内是减函数，f(x)在(-b, +∞)内也是减函数．证明f(x)在(-b, +∞)内是减函数．取x1，x2∈(-b, +∞)，且x10，x2-x1>0，(x1+b)(x2+b)>0，∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x)在(-b, +∞)内是减函数．同理可证f(x)在(-∞, -b)内是减函数．18.解：（1）由z(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7=1+z+z2+z3+z4+z5+z6，得(z-1)(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=0．因为z≠1，z-1≠0，所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0．（2）因为z7=1．可知|z|=1，所以z⋅z=1，而z7=1，所以z⋅z6=1，z6=z，同理z2=z5，z4=z3，z+z2+z4=z3+z5+z6由(I)知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1，即z+z2+z4+z+z2+z4=-1，所以z+z2+z4试卷第7页，总7页, 的实部为-12，而z的辐角为α时，复数z+z2+z4的实部为cosα+cos2α+cos4α，所以cosα+cos2α+cos4α=-12．19.（1）证明：如图由已知，CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，AB⊂平面ABC，∴VN⊥AB．∴AB⊥平面VNC．又V、M、N、D都在VNC所在的平面内，所以，DM与VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥CD，∴∠MDC为二面角M-AB-C的平面角．（2）证明：由已知，∠MDC=∠CVN，在△VNC与△DMC中，∠NCV=∠MCD，又∵∠VNC=90∘，∴∠DMC=∠VNC=90∘，故有DM⊥VC，又AB⊥VC，∴VC⊥平面AMB．20.解：（1）∵1，a1，a2，a3，an，2成等比数列，∴a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1=1×2=2，∴An2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(an-1a2)(ana1)=(1×2)n=2n，∴An=2n2．∵1，b1，b2，b3，bn，2成等差数列，∴b1+bn=1+2=3，∴Bn=b1+bn2⋅n=32n．所以，数列{An}的通项An=2n2，数列{Bn}的通项Bn=32n．（2）∵An=2n2，Bn=32n，∴An2=2n，Bn2=94n2，要比较An和Bn的大小，只需比较An2与Bn2的大小，也即比较当n≥7时，2n与94n2的大小．当n=7时，2n=128，94n2=94×49，得知2n>94n2，试卷第7页，总7页, 经验证n=8，n=9时，均有命题2n>94n2成立．猜想当n≥7时有2n>94n2．用数学归纳法证明．①当n=7时，已验证2n>94n2，命题成立．②假设n=k(k≥7)时，命题成立，即2k>94k2，那么2k+1>2×94k2，又当k≥7时，有k2>2k+1，∴2k+1>94×(k2+2k+1)=94×(k+1)2．这就是说，当n=k+1时，命题2n>94n2成立．根据(I)、(II)，可知命题对于n≥7都成立．故当n≥7时，An>Bn．21.解：1由题意得：y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x)(00，00，00x1+x2=2(a+p)x1x2=a2 又y1＝x1-a，y2＝x2-a，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2[(x1+x2)2-4x1x2]=8p(p+2a)．∵0<|AB|≤2p，8p(p+2a)>0，∴0<8p(p+2a)≤2p．解得-p2
2001年北京市高考数学试卷（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）)1.集合M={1, 2, 3, 4, 5}的子集个数是（）A.32B.31C.16D.152.函数f(x)=ax（a>0且a≠1），对于任意实数x、y都有（ ）A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)3.limn→∞C2nnC2n+2n+1=()A.0B.2C.12D.144.函数y=-1-x(x≤1)的反函数是（）A.y=x2-1(-1≤x≤0)B.y=x2-1(0≤x≤1)C.y=1-x2(x≤0)D.y=1-x2(0≤x≤1)5.极坐标系中，圆ρ=4cosθ+3sinθ的圆心的极坐标是( )A.(52，arcsin35)B.(5,arcsin45)C.(5,arcsin35)D.(52，arcsin45)6.设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是（）A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线7.已知f(x6)=log2x，那么f(8)等于( )A.43B.8C.18D.128.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB-sinA, sinB-cosA)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是( )A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘10.若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A.18B.6C.23D.24311.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60∘角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是试卷第7页，总7页, ( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④12.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似的满足关系式Sn=n90(21n-n2-5)(n=1, 2,3,⋯,12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）A.5，6月B.6，7月C.7，8月D.8，9月二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于________．14.椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是________．15.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于________．16.已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α // β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m // n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β=m，n // m；且n∉α，n∉β，则n // α且n // β．其中正确的命题的序号是________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，满分74分）)17.设函数f(x)=x+ax+b(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．18.已知z7=1(z∈C且z≠1)．（1）证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0；（2）设z的辐角为α，求cosα+cos2α+cos4α的值．19.如图已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上．AB=a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC．（1）证明∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；（2）当∠MDC=∠CVN时，证明VC⊥平面AMB．试卷第7页，总7页, 20.在1与2之间插入n个正数a1，a2，a3，…，an，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，b3，…，bn，使这n+2个数成等差数列．记An=a1a2a3...an，Bn=b1+b2+b3+...+bn．（1）求数列{An}和{Bn}的通项；（2）当n≥7时，比较An和Bn的大小，并证明你的结论．21.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．1写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；2为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？22.已知抛物线y2＝2px(p>0)．过动点M(a, 0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值．试卷第7页，总7页, 参考答案与试题解析2001年北京市高考数学试卷（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.A2.C3.D4.D5.A6.B7.D8.B9.C10.B11.C12.C二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.πS2S2414.162515.26916.②④三、解答题（共6小题，满分74分）17.解：函数f(x)=x+ax+b的定义域为(-∞, -b)∪(-b, +∞)．f(x)在(-∞, -b)内是减函数，f(x)在(-b, +∞)内也是减函数．证明f(x)在(-b, +∞)内是减函数．取x1，x2∈(-b, +∞)，且x1<x2，那么f(x1)-f(x2)=x1+ax1+b-x2+ax2+b=(a-b)(x2-x1)(x1+b)(x2+b)，∵a-b>0，x2-x1>0，(x1+b)(x2+b)>0，∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x)在(-b, +∞)内是减函数．同理可证f(x)在(-∞, -b)内是减函数．18.解：（1）由z(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7=1+z+z2+z3+z4+z5+z6，得(z-1)(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=0．因为z≠1，z-1≠0，所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0．（2）因为z7=1．可知|z|=1，所以z⋅z=1，而z7=1，所以z⋅z6=1，z6=z，同理z2=z5，z4=z3，z+z2+z4=z3+z5+z6由(I)知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1，即z+z2+z4+z+z2+z4=-1，所以z+z2+z4试卷第7页，总7页, 的实部为-12，而z的辐角为α时，复数z+z2+z4的实部为cosα+cos2α+cos4α，所以cosα+cos2α+cos4α=-12．19.（1）证明：如图由已知，CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，AB⊂平面ABC，∴VN⊥AB．∴AB⊥平面VNC．又V、M、N、D都在VNC所在的平面内，所以，DM与VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥CD，∴∠MDC为二面角M-AB-C的平面角．（2）证明：由已知，∠MDC=∠CVN，在△VNC与△DMC中，∠NCV=∠MCD，又∵∠VNC=90∘，∴∠DMC=∠VNC=90∘，故有DM⊥VC，又AB⊥VC，∴VC⊥平面AMB．20.解：（1）∵1，a1，a2，a3，an，2成等比数列，∴a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1=1×2=2，∴An2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(an-1a2)(ana1)=(1×2)n=2n，∴An=2n2．∵1，b1，b2，b3，bn，2成等差数列，∴b1+bn=1+2=3，∴Bn=b1+bn2⋅n=32n．所以，数列{An}的通项An=2n2，数列{Bn}的通项Bn=32n．（2）∵An=2n2，Bn=32n，∴An2=2n，Bn2=94n2，要比较An和Bn的大小，只需比较An2与Bn2的大小，也即比较当n≥7时，2n与94n2的大小．当n=7时，2n=128，94n2=94×49，得知2n>94n2，试卷第7页，总7页, 经验证n=8，n=9时，均有命题2n>94n2成立．猜想当n≥7时有2n>94n2．用数学归纳法证明．①当n=7时，已验证2n>94n2，命题成立．②假设n=k(k≥7)时，命题成立，即2k>94k2，那么2k+1>2×94k2，又当k≥7时，有k2>2k+1，∴2k+1>94×(k2+2k+1)=94×(k+1)2．这就是说，当n=k+1时，命题2n>94n2成立．根据(I)、(II)，可知命题对于n≥7都成立．故当n≥7时，An>Bn．21.解：1由题意得：y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x)(0<x<1)，整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1)．2要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当y-(1.2-1)×1000>0，0<x<1，即-60x2+20x>0，0<x<1，解不等式得0<x<13．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0<x<13．22.直线l的方程为y＝x-a将y＝x-a代入y2＝2px，得x2-2(a+p)x+a2＝0．设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为a(x1, y1="">0x1+x2=2(a+p)x1x2=a2 又y1＝x1-a，y2＝x2-a，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2[(x1+x2)2-4x1x2]=8p(p+2a)．∵0<|AB|≤2p，8p(p+2a)>0，∴0<8p(p+2a)≤2p．解得-p2</x<1，解不等式得0<x<13．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0<x<13．22.直线l的方程为y＝x-a将y＝x-a代入y2＝2px，得x2-2(a+p)x+a2＝0．设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为a(x1,></x<1，即-60x2+20x></x<1)，整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1)．2要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当y-(1.2-1)×1000></x2，那么f(x1)-f(x2)=x1+ax1+b-x2+ax2+b=(a-b)(x2-x1)(x1+b)(x2+b)，∵a-b></x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．1写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；2为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？22.已知抛物线y2＝2px(p>
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