2020年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）数学1.设集合，，则（）A.B.C.D.答案：C解析：由题可知，∴选C.2.（）A.B.C.D.答案：D解析：.3.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（）A.种B.种C.种D.种答案：C解析：.4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间，把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（） A.B.C.D.答案：B解析：如图所示,由题意可知直线与夹角，即为所求角，∴，故选B.5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.B.C.D.答案：C解析：由图可知，既喜欢足球又喜欢游泳的学生所占比，故选C.6.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（）A.天B.天C.天D.天答案：B解析：，，，∴，得，∴，∴，∴，.7.已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是（）A.B.C.D.答案：A解析：如图，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，设，则，∵，∴，∴的取值范围是.8.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A.B. C.D.答案：D解析：∵为上奇函数，在单调递减，∴，上单调递减.由，∴，由，得或，解得或，∴的取值范围是，∴选D.9.已知曲线（）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若，则是圆，其半径为C.若，则是双曲线，其渐近线方程为D.若，，则是两条直线答案：A、C、D解析：由曲线，得其标准形式为，A中，若，则，表示焦点在轴上；B中，若，则，表示圆心在原点，半径为的圆；C中，若，则，异号，表示双曲线，渐近线方程为；D中，若，，则，表示两条直线.10.右图是函数的部分图像，则（） A.B.C.D.答案：B、C解析：由图易知，则，，由题意结合图像知，，故，则.11.已知，，且，则（）A.B.C.D.答案：A、B、D解析：∵，，且，因为，∴，A：，A对，B：，，∵，∴，∴，B对. C：，C错.D：，∴，D对.12.信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵（）A.若，则B.若，则随着的增大而增大C.若，则随着的增大而增大D.若，随机变量所有可能的取值为，，…，，且，则答案：A、C解析：A中：当时，则，.B中：若，由题知，，，∴，∴B错误.C中：，，∴，∴随着的增大而增大，∴C正确.D中：令，则， 此时，，此时，∴，∴D错误.∴正确选项为A、C.13.斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则.答案：解析：由题抛物线，可知其焦点为，准线为，如图所示.作，，直线准线交于点，由，∴倾斜角，∴，由抛物线定义知：，，又∵，∴为中点，∵，∴，∵，∴，∴，∴.14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为. 答案：解析：∵，，∴数列与的公共项是的非负整数倍加，即，也就是首项为，公差为的等差数列，∴，∴的前项和为.15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为.答案：解析：过作交于，交于，过作交于，设，由已知可得，，∴，∴，∴，，，∴，，又∵，∴，解得.∴扇形面积，，设圆孔的半径为，则半圆孔的面积为,则，∴阴影部分面积为， ∴面积为.16.已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为.答案：解析：在直四棱柱中，取中点为，中点为，中点为，由题意易知，又，则面，在面内取一点，使，且，∴，又，，∴以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心，以为半径的圆弧，由题意易得，故该交线长为.17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值，若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且 ，？答案：见解析解析：①选条件，∵，∴，∵，∴，，，又，即，∴，∴，得，②选条件，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又，∴，③选条件，∵，∵，∴，又，∴，得，不成立.所以三角形不存在.18.已知公比大于的等比数列满足，.（1）求的通项公式;（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和.答案：见解析解析：（1）设公比为，∴，，解得或（舍），∴.（2）由（1）可得，∴，，…，，，∴当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.∴.19..为加强环境保护，治理空气污染，环境检测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率.（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，答案：见解析解析：（1）由表格可得浓度不超过且浓度不超过的天数有天. ∴概率为.（2）（3）.∴有的把握认为的浓度与浓度有关.20.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，设平面与平面的交线为.（1）证明：平面.（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.答案：见解析解析：（1）平面平面，平面，∴，∵平面，∴，∵正方形，∴，又，∴平面，∴平面.（2）以为原点，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，点坐标为，∴，即，令，得，∴，∵，∴， 得，令，得，有，得，∴的最大值为，∴与平面所成角的正弦最大值为.21.已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.（1）求的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.答案：见解析解答：（1）根据题意，把点代入椭圆得到①，设，又，∴，代入①式，求得，∴椭圆的方程为.（2）由题意，可知的直线方程为，设直线与椭圆相切于点，，联立方程组得，，得，由题意可知时，面积最大，直线与直线距离，，∴.22.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积. （2）若，求的取值范围.答案：见解析解析：（1）当时，，∵，∴，又，则在点处的切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.（2）∵，即，∴，∴，∴，故，令，则上式转化为，又，∴在单调递增，由可知总有，则，令，则，∴当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，∴，∴.