2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）
ID：51396
2021-10-08
14页1111
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2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.)1..的相反数是（）A.B..C..D...2.如图，直线，被直线所截，，＝，则.＝（）A.香B..C.D.3.计算：.香A.香B..香C.香D.香4.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.5.是关于的一元二次方程..的解，则.（）A..B.香C.D.6.如图，四边形᠀輒닿内接于，若＝，则輒＝（）A.B..C.香䁛D...7.化简：试卷第1页，总14页
A.B.C.D.᠀輒᠀，则᠀輒()8.已知᠀輒，᠀，᠀輒A..B.C.香D.香9.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为䁛，䁛，A.B.䁛䁛䁛，䁛，C.D.䁛䁛10.如图，在平面直角坐标系中，将四边形᠀輒닿先向上平移，再向左平移得到四边形᠀輒닿，已知香䁛，᠀香，香香，则点᠀的坐标为()A..B..C.D.11.已知点，᠀.在抛物线..上，则下列结论正确的是.()A...B...C...D...12.如图，边长为.的正方形᠀輒닿的对角线輒与᠀닿交于点，将正方形᠀輒닿沿直线닿折叠，点輒落在对角线᠀닿上的点处，折痕닿交輒于点，则等于().A.B.C.香D....试卷第2页，总14页
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.)13.因式分解：香..________．14.在᠀輒中，᠀＝輒，＝，则᠀＝________．15.如图，矩形᠀輒的顶点᠀在反比例函数的图象上，＝，矩形᠀輒则＝________．16.如图，矩形᠀輒닿，᠀輒＝，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交᠀，輒于点，两点，再分别以点，为圆心，以大于的长作半径作弧交于点.，作射线交᠀輒于点，若᠀＝，则矩形᠀輒닿的面积等于________．三、解答题：本大题共12小题，共86分.)17.计算：.香..tan䁛．18.化简：..．.䁛19.解不等式组：．香20.如图，᠀닿，᠀輒，᠀，求证：輒닿．21..年䁛月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强—国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用.香表示)；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用᠀᠀.᠀香表示).请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；试卷第3页，总14页
.求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22.如图，輒＝，分别以、輒为圆心，以长度䁛为半径作弧，两条弧分别相交于点᠀和닿．依次连接、᠀、輒、닿，连接᠀닿交輒于点．（1）判断四边形᠀輒닿的形状并说明理由；（2）求᠀닿的长．23.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边三角形᠀輒的顶点᠀，輒.，点在反比例函数图象上，点輒在轴负半轴上，连接輒，．求反比例函数的表达式；.若四边形輒᠀的面积是香香，求点的坐标．24.为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级班和.班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级班全班学生（.䁛名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分数段䁪䁪班级八年级班䁪䁛香分析数据：表二试卷第4页，总14页
统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级班䁪䁛香䁛.小丽用同样的方法对八年级.班全班学生（.䁛名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级.班䁪䁛䁪䁪香根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级班学生的成绩在这一组的数据如下：䁛，䁪，，，.，䁛，香，䁛，䁪，䁛根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25.某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图.，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面輒的遮阳蓬輒닿．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线닿与遮阳蓬輒닿的夹角닿輒最大닿輒＝䁪䁪；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线닿᠀与遮阳蓬輒닿的夹角᠀닿輒最小᠀닿輒＝香䁛．窗户的高度᠀＝.．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬輒닿的长．（结果精确到，参考数据：sin香䁛䁛，cos香䁛，tan香䁛䁛，sin䁪䁪，cos䁪䁪..，tan䁪䁪）26.如图，在᠀輒中，᠀＝輒＝，᠀輒＝，点닿为᠀輒的中点，᠀＝닿，将᠀닿绕点닿顺时针旋转度香，角的两边分别交直线᠀于、两点，设᠀、两点间的距离为，，两点间的距离为．试卷第5页，总14页
小涛根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是________，________两点间的距离________进行取点、画图、测量，分别得到了________与________的几组对应值：________/________香䁛䁛..䁛香香䁛香香香香香________/_______________香_....䁪.香䁛________香䁛䁛.䁪䁪.䁪䁪䁪请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象．（3）探究性质：随着自变量________的不断增大，函数________的变化趋势：________________．（4）解决问题：当＝.᠀时，᠀的长度大约是香香或．（保留两位小数）．试卷第6页，总14页
27.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在᠀輒，輒᠀＝，将斜边᠀绕点顺时针旋转得到닿，过点닿作닿輒于点，可以推理得到᠀輒닿，进而得到輒＝닿，᠀輒＝．我们把这个数学模型称为“型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在᠀輒内接于，輒᠀＝，᠀輒＝.，将斜边᠀绕点顺时针旋转一定的角度得到닿，过点닿作닿輒于点，닿＝᠀輒，닿＝，连接닿交于点．（1）求证：닿是的切线；（2）连接輒交᠀于点，连接᠀．求证：.＝᠀．28.二次函数..的图象交轴于点，᠀两点，交轴于点輒．动点从点出发，以每秒.个单位长度的速度沿᠀方向运动，过点作轴交直线᠀輒于点，交抛物线于点닿，连接輒，设运动的时间为秒．求二次函数..的表达式；试卷第7页，总14页
香.连接᠀닿，当时，求닿᠀的面积；.香在直线上存在一点，当᠀輒是以᠀輒为直角的等腰直角三角形时，求此时点닿的坐标；䁛当时，在直线上存在一点，使得輒輒，求点的坐标．试卷第8页，总14页
参考答案与试题解析2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1.B2.D3.A4.C5.A6.D7.A8.B9.C10.B11.A12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13..14.䁪15.16.香香三、解答题：本大题共12小题，共86分.17.原式＝.＝．18.解：原式............䁛19.香解不等式①得：，解不等式②得：.，所以，不等式组的解集为.．20.证明：∵᠀輒，∴᠀輒輒輒，∴᠀輒.在᠀輒和닿中，᠀닿᠀᠀輒∴᠀輒닿，∴輒᠀닿，∴輒닿．21.解：画树状图为：试卷第9页，总14页
共有.种等可能的结果数；.小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的结果数为.，所以小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概.率．.22.四边形᠀輒닿为菱形；由作法得᠀＝닿＝輒᠀＝輒닿＝䁛，所以四边形᠀輒닿为菱形；∵四边形᠀輒닿为菱形，∴＝輒＝，᠀＝닿，輒᠀닿，在᠀中，᠀䁛..香，∴᠀닿＝.᠀＝．23.解：作᠀닿輒于닿，∵᠀輒是等边三角形，∴᠀輒.，닿輒，.∴᠀닿᠀.닿.香，香∴᠀닿닿᠀닿，..᠀닿，.∴香.∵反比例函数的图象在一、三象限，∴香，香∴反比例函数的表达式为..∵᠀輒輒᠀닿.香香，..∴輒香香香.香.∵輒輒.香，.∴.香，试卷第10页，总14页
香把.香代入，解得，.∴点的坐标为.香．.24.共有.䁛个数据，第香个数落在这一组中，此组最小的数为第香个数，所以八年级班学生的成绩的中位数为；故答案为；八年级班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级班学生的成绩的平均数比.班高，班的中位数比.班的中位数大，并且班的众数为䁛，比.班的众数大，班的方差比.班小，比较稳定．25.遮阳蓬輒닿的长约为䁛26.᠀,,,,,,,,,香,香描点出如下图象，,,䁛时，随最大而减小，,当䁛时，随最大而增大方法一：＝.᠀，即＝.，在上图中作直线＝.，直线与曲线交点的横坐标香香和故答案为：香香或．方法二：如图香，닿与輒的延长线交于点．设᠀＝，＝.＝香香，＝香∵닿᠀＝輒（外角的性质）试卷第11页，总14页
닿᠀＝닿᠀닿∴닿᠀닿＝輒∴닿᠀＝，᠀＝輒∴닿᠀닿輒輒닿輒∴᠀닿᠀輒∴，輒，＝輒輒又∵닿∴닿香∴香香香香香＝解得＝，.．香故答案为：香香或．27.∵为᠀輒的外接圆∴为斜边᠀中点，᠀为直径∵輒᠀＝∴᠀輒᠀輒＝∵닿＝᠀輒∴닿᠀輒＝∴᠀닿＝닿᠀輒＝∴닿᠀∴닿是的切线延长닿交᠀輒于点，连接輒∵닿輒于点∴닿＝∵᠀绕点旋转得到닿∴᠀＝닿在닿与輒᠀中닿輒᠀닿᠀輒닿᠀∴닿輒᠀∴＝᠀輒＝.，輒＝닿＝∴닿＝᠀輒.᠀輒.䁛∵为᠀中点䁛∴᠀..䁛닿∴닿.∵닿＝닿＝∴닿닿∴닿＝닿∴닿∴᠀＝輒᠀＝，即닿᠀輒试卷第12页，总14页
∵᠀＝輒∴平分᠀輒，即᠀᠀輒.∵＝᠀，᠀᠀輒.∴＝᠀∵＝᠀∴᠀∴᠀∴.＝᠀28.解：将点，᠀代入..，香∴，，...香∴....香.，.香.又，..设᠀輒的解析式为，将輒.，᠀，代入得到.，，..，∴᠀輒的直线解析式为.，.香当时，香，.∵᠀䁛，∴᠀.，∴.，.，닿.香，∴닿᠀的面积닿᠀的面积᠀的面积᠀닿᠀.......香假设过点作轴的平行线，交轴于点，过点᠀作轴的平行线，交的延长线于点，如图，试卷第13页，总14页
.香设닿，.，..，，，.由题意可得，輒᠀，᠀，輒，.，，点닿的坐标为：닿，香.䁛香当时，，.香∴点在抛物线对称轴上，.香如图：过点作輒的垂线，以为圆心᠀为直径构造圆，圆与的交点分别为.与.，∵᠀䁛，䁛∴，.∵輒輒，輒，∴輒.又∵輒輒，香䁛∴，..∵与.关于轴对称，香䁛∴.，..香䁛香䁛∴点坐标分别为，.....试卷第14页，总14页
2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.)1..的相反数是（）A.B..C..D...2.如图，直线，被直线所截，，＝，则.＝（）A.香B..C.D.3.计算：.香A.香B..香C.香D.香4.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.5.是关于的一元二次方程..的解，则.（）A..B.香C.D.6.如图，四边形᠀輒닿内接于，若＝，则輒＝（）A.B..C.香䁛D...7.化简：试卷第1页，总14页
A.B.C.D.᠀輒᠀，则᠀輒()8.已知᠀輒，᠀，᠀輒A..B.C.香D.香9.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为䁛，䁛，A.B.䁛䁛䁛，䁛，C.D.䁛䁛10.如图，在平面直角坐标系中，将四边形᠀輒닿先向上平移，再向左平移得到四边形᠀輒닿，已知香䁛，᠀香，香香，则点᠀的坐标为()A..B..C.D.11.已知点，᠀.在抛物线..上，则下列结论正确的是.()A...B...C...D...12.如图，边长为.的正方形᠀輒닿的对角线輒与᠀닿交于点，将正方形᠀輒닿沿直线닿折叠，点輒落在对角线᠀닿上的点处，折痕닿交輒于点，则等于().A.B.C.香D....试卷第2页，总14页
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.)13.因式分解：香..________．14.在᠀輒中，᠀＝輒，＝，则᠀＝________．15.如图，矩形᠀輒的顶点᠀在反比例函数的图象上，＝，矩形᠀輒则＝________．16.如图，矩形᠀輒닿，᠀輒＝，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交᠀，輒于点，两点，再分别以点，为圆心，以大于的长作半径作弧交于点.，作射线交᠀輒于点，若᠀＝，则矩形᠀輒닿的面积等于________．三、解答题：本大题共12小题，共86分.)17.计算：.香..tan䁛．18.化简：..．.䁛19.解不等式组：．香20.如图，᠀닿，᠀輒，᠀，求证：輒닿．21..年䁛月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强—国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用.香表示)；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用᠀᠀.᠀香表示).请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；试卷第3页，总14页
.求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．22.如图，輒＝，分别以、輒为圆心，以长度䁛为半径作弧，两条弧分别相交于点᠀和닿．依次连接、᠀、輒、닿，连接᠀닿交輒于点．（1）判断四边形᠀輒닿的形状并说明理由；（2）求᠀닿的长．23.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边三角形᠀輒的顶点᠀，輒.，点在反比例函数图象上，点輒在轴负半轴上，连接輒，．求反比例函数的表达式；.若四边形輒᠀的面积是香香，求点的坐标．24.为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级班和.班本门课程的期末成绩进行了调查分析．小佳对八年级班全班学生（.䁛名）的成绩进行分析，过程如下：收集、整理数据：表一分数段䁪䁪班级八年级班䁪䁛香分析数据：表二试卷第4页，总14页
统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级班䁪䁛香䁛.小丽用同样的方法对八年级.班全班学生（.䁛名）的成绩进行分析，数据如下：表三统计量平均数中位数众数极差方差班级八年级.班䁪䁛䁪䁪香根据以上信息，解决下列问题：（1）已知八年级班学生的成绩在这一组的数据如下：䁛，䁪，，，.，䁛，香，䁛，䁪，䁛根据上述数据，将表二补充完整；（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．25.某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：问题提出：如图是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．方案设计：如图.，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面輒的遮阳蓬輒닿．数据收集：通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线닿与遮阳蓬輒닿的夹角닿輒最大닿輒＝䁪䁪；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线닿᠀与遮阳蓬輒닿的夹角᠀닿輒最小᠀닿輒＝香䁛．窗户的高度᠀＝.．问题解决：根据上述方案及数据，求遮阳蓬輒닿的长．（结果精确到，参考数据：sin香䁛䁛，cos香䁛，tan香䁛䁛，sin䁪䁪，cos䁪䁪..，tan䁪䁪）26.如图，在᠀輒中，᠀＝輒＝，᠀輒＝，点닿为᠀輒的中点，᠀＝닿，将᠀닿绕点닿顺时针旋转度香，角的两边分别交直线᠀于、两点，设᠀、两点间的距离为，，两点间的距离为．试卷第5页，总14页
小涛根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小涛的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是________，________两点间的距离________进行取点、画图、测量，分别得到了________与________的几组对应值：________/________香䁛䁛..䁛香香䁛香香香香香________/_______________香_....䁪.香䁛________香䁛䁛.䁪䁪.䁪䁪䁪请你通过计算，补全表格；（2）描点、连线，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象．（3）探究性质：随着自变量________的不断增大，函数________的变化趋势：________________．（4）解决问题：当＝.᠀时，᠀的长度大约是香香或．（保留两位小数）．试卷第6页，总14页
27.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】如图，在᠀輒，輒᠀＝，将斜边᠀绕点顺时针旋转得到닿，过点닿作닿輒于点，可以推理得到᠀輒닿，进而得到輒＝닿，᠀輒＝．我们把这个数学模型称为“型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在᠀輒内接于，輒᠀＝，᠀輒＝.，将斜边᠀绕点顺时针旋转一定的角度得到닿，过点닿作닿輒于点，닿＝᠀輒，닿＝，连接닿交于点．（1）求证：닿是的切线；（2）连接輒交᠀于点，连接᠀．求证：.＝᠀．28.二次函数..的图象交轴于点，᠀两点，交轴于点輒．动点从点出发，以每秒.个单位长度的速度沿᠀方向运动，过点作轴交直线᠀輒于点，交抛物线于点닿，连接輒，设运动的时间为秒．求二次函数..的表达式；试卷第7页，总14页
香.连接᠀닿，当时，求닿᠀的面积；.香在直线上存在一点，当᠀輒是以᠀輒为直角的等腰直角三角形时，求此时点닿的坐标；䁛当时，在直线上存在一点，使得輒輒，求点的坐标．试卷第8页，总14页
参考答案与试题解析2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1.B2.D3.A4.C5.A6.D7.A8.B9.C10.B11.A12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13..14.䁪15.16.香香三、解答题：本大题共12小题，共86分.17.原式＝.＝．18.解：原式............䁛19.香解不等式①得：，解不等式②得：.，所以，不等式组的解集为.．20.证明：∵᠀輒，∴᠀輒輒輒，∴᠀輒.在᠀輒和닿中，᠀닿᠀᠀輒∴᠀輒닿，∴輒᠀닿，∴輒닿．21.解：画树状图为：试卷第9页，总14页
共有.种等可能的结果数；.小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的结果数为.，所以小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概.率．.22.四边形᠀輒닿为菱形；由作法得᠀＝닿＝輒᠀＝輒닿＝䁛，所以四边形᠀輒닿为菱形；∵四边形᠀輒닿为菱形，∴＝輒＝，᠀＝닿，輒᠀닿，在᠀中，᠀䁛..香，∴᠀닿＝.᠀＝．23.解：作᠀닿輒于닿，∵᠀輒是等边三角形，∴᠀輒.，닿輒，.∴᠀닿᠀.닿.香，香∴᠀닿닿᠀닿，..᠀닿，.∴香.∵反比例函数的图象在一、三象限，∴香，香∴反比例函数的表达式为..∵᠀輒輒᠀닿.香香，..∴輒香香香.香.∵輒輒.香，.∴.香，试卷第10页，总14页
香把.香代入，解得，.∴点的坐标为.香．.24.共有.䁛个数据，第香个数落在这一组中，此组最小的数为第香个数，所以八年级班学生的成绩的中位数为；故答案为；八年级班学生的成绩更为优异．理由如下：八年级班学生的成绩的平均数比.班高，班的中位数比.班的中位数大，并且班的众数为䁛，比.班的众数大，班的方差比.班小，比较稳定．25.遮阳蓬輒닿的长约为䁛26.᠀,,,,,,,,,香,香描点出如下图象，,,䁛时，随最大而减小，,当䁛时，随最大而增大方法一：＝.᠀，即＝.，在上图中作直线＝.，直线与曲线交点的横坐标香香和故答案为：香香或．方法二：如图香，닿与輒的延长线交于点．设᠀＝，＝.＝香香，＝香∵닿᠀＝輒（外角的性质）试卷第11页，总14页
닿᠀＝닿᠀닿∴닿᠀닿＝輒∴닿᠀＝，᠀＝輒∴닿᠀닿輒輒닿輒∴᠀닿᠀輒∴，輒，＝輒輒又∵닿∴닿香∴香香香香香＝解得＝，.．香故答案为：香香或．27.∵为᠀輒的外接圆∴为斜边᠀中点，᠀为直径∵輒᠀＝∴᠀輒᠀輒＝∵닿＝᠀輒∴닿᠀輒＝∴᠀닿＝닿᠀輒＝∴닿᠀∴닿是的切线延长닿交᠀輒于点，连接輒∵닿輒于点∴닿＝∵᠀绕点旋转得到닿∴᠀＝닿在닿与輒᠀中닿輒᠀닿᠀輒닿᠀∴닿輒᠀∴＝᠀輒＝.，輒＝닿＝∴닿＝᠀輒.᠀輒.䁛∵为᠀中点䁛∴᠀..䁛닿∴닿.∵닿＝닿＝∴닿닿∴닿＝닿∴닿∴᠀＝輒᠀＝，即닿᠀輒试卷第12页，总14页
∵᠀＝輒∴平分᠀輒，即᠀᠀輒.∵＝᠀，᠀᠀輒.∴＝᠀∵＝᠀∴᠀∴᠀∴.＝᠀28.解：将点，᠀代入..，香∴，，...香∴....香.，.香.又，..设᠀輒的解析式为，将輒.，᠀，代入得到.，，..，∴᠀輒的直线解析式为.，.香当时，香，.∵᠀䁛，∴᠀.，∴.，.，닿.香，∴닿᠀的面积닿᠀的面积᠀的面积᠀닿᠀.......香假设过点作轴的平行线，交轴于点，过点᠀作轴的平行线，交的延长线于点，如图，试卷第13页，总14页
.香设닿，.，..，，，.由题意可得，輒᠀，᠀，輒，.，，点닿的坐标为：닿，香.䁛香当时，，.香∴点在抛物线对称轴上，.香如图：过点作輒的垂线，以为圆心᠀为直径构造圆，圆与的交点分别为.与.，∵᠀䁛，䁛∴，.∵輒輒，輒，∴輒.又∵輒輒，香䁛∴，..∵与.关于轴对称，香䁛∴.，..香䁛香䁛∴点坐标分别为，.....试卷第14页，总14页
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