2013年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分）)1.如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其左视图是A.B.C.D.2.“兰州市明天降水概率是”，对此消息下列说法中正确的是（）A.兰州市明天将有的地区降水B.兰州市明天将有的时间降水C.兰州市明天降水的可能性较小D.兰州市明天肯定不降水3.二次函数ൌሺ的图象的顶点坐标是（）A.䁞B.ሺ䁞C.䁞ሺD.ሺ䁞ሺ4.的半径为半径，的半径为半径，圆心距ൌ半径，这两圆的位置关系是（）A.相交B.内切C.外切D.内含5.当‴时，函数ൌሺ的图象在（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限6.下列命题中是假命题的是（）A.平行四边形的对边相等B.菱形的四条边相等C.矩形的对边平行且相等D.等腰梯形的对边相等7.某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（）班级班班班班班班人数A.平均数是B.中位数是C.极差是D.众数是8.用配方法解方程ሺሺൌ时，配方后得的方程为（）A.ൌB.ሺൌC.ൌD.ሺൌ试卷第1页，总11页 9.中，、、半分别是、、的对边，如果ൌ半，那么下列结论正确的是（）A.半sinൌB.cosൌ半C.tanൌD.半tanൌ10.据调查，年月兰州市的房价均价为径，年同期将达到径，假设这两年兰州市房价的平均增长率为，根据题意，所列方程为（）A.＝B.ሺ＝C.＝D.ሺ＝径11.已知ሺ䁞，䁞两点在双曲线ൌ上，且‴，则径的取值范围是（）A.径香B.径‴C.径‴ሺD.径香ሺ12.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽为半径，水面最深地方的高度为半径，则该输水管的半径为（）A.半径B.半径C.半径D.半径13.二次函数＝半的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.ሺ半‴B.‴C.半‴D.ሺ香14.圆锥底面圆的半径为半径，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）A.半径B.半径C.半径D.半径15.如图，动点从点出发，沿线段运动至点后，立即按原路返回，点在运动过程中速度不变，则以点为圆心，线段长为半径的圆的面积与点的运动时间的函数图象大致为（）A.B.C.D.试卷第2页，总11页 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）)16.某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是________．17.若ሺሺൌ，且一元二次方程＝有两个实数根，则的取值范围是________．18.如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒，点在量角器上对应的读数是________度．19.如图，在直角坐标系中，已知点ሺ䁞、䁞，对连续作旋转变换，依次得到、、、…，则的直角顶点的坐标为________．20.如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为䁞，若抛物线ൌ与扇形的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是________．三、解答题（本大题共8小题，共70分）)21.（1）计算：ሺሺሺsinሺ21.（2）解方程：ሺሺൌ．22.如图，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要修建一个货站，使货站到两条公路,的距离相等，且到两工厂,的距离相等，试卷第3页，总11页 用尺规作出货站的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）23.在兰州市开展的“体育、艺术”活动中，某校根据实际情况，决定主要开设：乒乓球，：篮球，：跑步，：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图．请你结合图中的信息解答下列问题：样本中喜欢项目的人数百分比是________，其所在扇形统计图中的圆心角的度数是________；把条形统计图补充完整；已知该校有人，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？24.如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离是径，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端在同一条直线上，测得旗杆顶端仰角为；小红眼睛与地面的距离是径，用同样的方法测得旗杆顶端的仰角为．两人相距米且位于旗杆两侧（点、、在同一条直线上）．求出旗杆的高度．（参考数据：，，结果保留整数．）25.已知反比例函数ൌ的图象与一次函数ൌ的图象交于点䁞和点试卷第4页，总11页 径䁞ሺ，（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得‴成立的自变量的取值范围；（3）如果点与点关于轴对称，求的面积．26.如图，在中，ൌ，ൌ，ൌ．以为边，在外作等边，是的中点，连接并延长交于．求证：四边形是平行四边形；如图，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．27.已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作于．求证：是的切线；若ൌ半径，ൌ半径，求的半径．28.如图，在平面直角坐标系中，、为轴上两点，、为轴上的两点，经过点、、的抛物线的一部分与经过点、、的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点的坐标为䁞ሺ，点是抛物线＝径ሺ径ሺ径径香的顶点．试卷第5页，总11页 （1）求、两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当为直角三角形时，求径的值．试卷第6页，总11页 参考答案与试题解析2013年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分）1.B2.C3.A4.B5.A6.D7.A8.D9.A10.C11.D12.C13.D14.B15.B二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）16.17.且18.19.䁞20.ሺ香香三、解答题（本大题共8小题，共70分）21.解：（1）原式ൌሺሺൌ；（2）关于的方程ሺሺൌ的二次项系数ൌ，一次项系数ൌሺ，常数项半ൌሺ，则ሺሺ半ൌൌ，ሺ解得，ൌ，ൌ．22.解：如图所示即为所求，试卷第7页，总11页 和都是所求的点，货站()到两条公路，的距离相等.23.,调查的总人数是：ൌ（人），则喜欢的人数是：ൌ（人），；全校喜欢乒乓球的人数是ൌ（人）．24.旗杆的高度约为米．25.解：（1）∵函数ൌ的图象过点䁞，即ൌ，∴ൌ，即ൌ，又∵点径䁞ሺ在ൌ上，∴径ൌሺ，∴ሺ䁞ሺ，又∵一次函数ൌ过、两点，ሺൌሺ即，ൌൌ解之得．ൌ∴ൌ．试卷第8页，总11页 综上可得ൌ，ൌ．（2）要使‴，即函数的图象总在函数的图象上方，如图所示：当香ሺ或香香时‴．（3）由图形及题意可得：ൌ，ൌ，∴的面积ൌൌൌ．26.证明：∵中，为的中点，∴ൌ，ൌൌ,∴ൌ，∴ൌൌ，ൌ，∴ൌ，又∵为等边三角形，∴ൌൌ，∴，∵ൌൌ，∴，∴四边形是平行四边形.解：设ൌ，由折叠可得：ൌൌሺ，在中，∵ൌ，ൌ，ൌ，ൌ䁞ൌሺൌ.∴ൌ在中，ൌ，ൌሺ，解得：ൌ，∴ൌ．27.证明：连接，如图．∵ൌ，∴ൌ．∵ൌ，∴ൌ．∴．∵，∴ൌൌ，即．∵在上，为的半径，试卷第9页，总11页 ∴是的切线．解：∵ൌ，ൌ，ൌ，∴ൌൌൌ．连接，如图．∵是的直径，∴ൌൌ．∵ൌ，∴．∴ൌ．∴ൌ．则ൌ半径，∴的半径是半径．28.＝径ሺ径ሺ径＝径ሺ，∵径，∴当＝时，＝ሺ，＝，∴ሺ䁞，䁞；设＝半，将、、三点的坐标代入得：ሺ半ൌ半ൌ，半ൌሺൌ解得ൌሺ，半ൌሺ故ൌሺሺ．如图：过点作轴，交于，由、的坐标可得直线的解析式为：ൌሺ，设䁞ሺሺ，则䁞ሺ，ൌሺሺሺሺൌሺ，＝ൌൌሺൌሺሺ，当ൌ时，有最大值，maxൌ，试卷第10页，总11页 ሺሺൌሺ，䁞ሺ；＝径ሺ径ሺ径＝径ሺሺ径，顶点坐标䁞ሺ径，当＝时，＝ሺ径，∴䁞ሺ径，䁞，∴＝ሺሺ径径＝径，＝ሺ径＝径，＝ሺ径＝径，当为时有：＝或＝．①＝时有：径径＝径，解得径＝ሺ（∵径香，∴径＝舍去）；②＝时有：径径＝径，解得径ൌሺ（径ൌ舍去）．综上，径＝ሺ或ሺ时，为直角三角形．试卷第11页，总11页