2009年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）)1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.和的半径分别为和，圆心距香，那么两圆的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离3.如图所示的几何体的主视图是（）A.B.C.D.4.下列说法正确的是()A.一个游戏的中奖概率是，则做次这样的游戏一定会中奖B.为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C.一组数据，，，，，，的众数和中位数都是D.若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳甲乙定5.在函数中，自变量的取值范围是（）香A.B.㌳C.香D.6.如图，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线㌳上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（）试卷第1页，总13页
A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小7.年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为元，连续两次降价后售价为售元，下面所列方程正确的是A.ሺ售B.香售C.香售D.香售8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为售米，拱的半径为米，则拱高为（）A.香米B.米C.米D.香米9.在同一平面坐标系中，函数ሺ和香ሺሺ(是常数，且的图象可能是（）A.B.C.D.10.如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是香，两个路灯的高度都是，则两路灯之间的距离是（）A.售B.香C.D.11.把抛物线香向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（)试卷第2页，总13页
A.香香香B.香ሺ香C.香香ሺD.香ሺሺ12.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为售．如果在坡度为香的山坡上种树，也要求株距为售，那么相邻两树间的坡面距离为（）A.香B.C.D.13.二次函数ሺܾሺ的图象如图所示，则下列关系式不正确的是A.香B.ܾ㌳C.ሺܾሺ㌳D.ܾ香售㌳14.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是A.B.C.D.15.如图，，，，为的四等分点，动点从圆心出发，沿香香香路线作匀速运动，设运动时间为时．＝，则下列图象中表示与之间函数关系最恰当的是（）A.B.C.D.试卷第3页，总13页
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）)16.如图所示，边长为的小正方形构成的网格中，半径为的的圆心在格点上，则ᦙ的正切值等于________．17.翔宇中学的铅球场如图所示，已知扇形的面积是米，弧的长度为米，那么半径________米．18.如图，若正方形的顶点和正方形ᦙ形的顶点ᦙ都在函数㌳的图象上，则点ᦙ的坐标是________,________．19.阅读材料：设一元二次方程ሺܾሺ的两根为，，则两根与方ܾ程系数之间有如下关系：ሺ香，，根据该材料填空：已知，是方程ሺሺ的两实数根，则ሺ的值为________．20.二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，，，，…，在轴的正半轴上，，，，…，在二次函数第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，请计算的边长________；的边长________；的边长试卷第4页，总13页
________．三、解答题（共9小题，满分70分）)香21.（1）计算：香ȁ香ሺtan售香ȁሺ香售；21.（2）用配方法解一元二次方程：ሺ．22.如图，要在一块形状为直角三角形（为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段上，且与、都相切．请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．23.今年兰州市在全市中小学中开展以感恩和生命为主题的教育活动，各中小学结合学生实际，开展了形式多样的感恩教育活动．下面图①，图②分别是某校调查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形统计图和条形统计图．根据图上信息，解答下列问题：（1）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有名学生，你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日？（3）通过对以上数据的分析，你有何感想（用一句话回答）．24.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．五月初五早晨，妈妈为洋洋准备了四只粽子：一只香肠馅，一只红枣馅，两只什锦馅，四只粽子除内部馅料不同外，其他均一切相同，洋洋喜欢吃什锦馅的粽子．（1）请你用树状图或列表法为洋洋预测一下吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率；（2）在吃粽子之前，洋洋准备用如图所示的转盘进行吃粽子的模拟试验（此转盘被等试卷第5页，总13页
分成四个扇形区域，指针的位置是固定的，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．若指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），规定：连续转动两次转盘表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率．你认为这种模拟试验的方法正确吗？试说明理由．25.如图，已知香售，香售是一次函数＝ሺܾ的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积；（3）求方程ሺܾ香的解（请直接写出答案）；（4）求不等式ሺܾ香香的解集（请直接写出答案）．26.如图，在四边形中，ᦙ为上一点，ᦙ和ᦙ都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、，试判断四边形为怎样的四边形，并证明你的结论．27.如图，在以为圆心的两个同心圆中，经过圆心，且与小圆相交于点，与大圆相交于点．小圆的切线与大圆相交于点，且平分．试判断所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；试卷第6页，总13页
若，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留）28.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为米，底部宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．直接写出点及抛物线顶点的坐标；求这条抛物线的解析式；若要搭建一个矩形“支撑架”香香，使、点在抛物线上，，点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？29.如图①，正方形中，点、的坐标分别为，售，点在第一象限．动点在正方形的边上，从点出发沿匀速运动，同时动点以相同速度在轴正半轴上运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．当点在边上运动时，点的横坐标（长度单位）关于运动时间（秒）的函数图象如图②所示，请写出点开始运动时的坐标及点运动速度；求正方形边长及顶点的坐标；在中当为何值时，的面积最大，并求此时点的坐标；售如果点、保持原速度不变，当点沿匀速运动时，与能否相等？若能，写出所有符合条件的的值；若不能，请说明理由．试卷第7页，总13页
参考答案与试题解析2009年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1.B2.A3.C4.C5.D6.C7.B8.B9.D10.D11.D12.A13.C14.D15.C二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16.17.香ሺ香香18.19.20.,,三、解答题（共9小题，满分70分）21.解：（1）原式香ȁ香ሺȁሺ香香ሺሺ．（2）移项得：香香，二次项系数化为得：香香，配方得：香ሺ香ሺ香，售售售∴香，售售解得，．22.解：作出角平分线得，作出半圆再得，小结，共．试卷第8页，总13页
上图即为所求图形．23.解：（1）∵（名），∴本次调查了名学生；补全的条形统计图如下：香香售（2）∵香名，∴估计这所学校有香名学生知道母亲的生日；（3）尊敬父母是中华民族的传统美德，我们应把这一美德继续发扬光大．24.解：（1）树状图如图：∴（吃到两只粽子都是什锦馅）；（2）模拟试验的树状图为：售∴（吃到两只粽子都是什锦馅），售∴这样模拟试验不正确．25.∵香售在函数的图象上，试卷第9页，总13页
∴＝香．∴反比例函数的解析式为：香．∵点香售在函数香的图象上，∴＝，∴香售，∵＝ሺܾ经过香售，香售，香售ሺܾ香∴，解之得：．ሺܾ香售ܾ香∴一次函数的解析式为：＝香香．∵是直线与轴的交点，∴当＝时，＝香．∴点香，∴＝．∴＝ሺሺ售ሺ售＝．方程ሺܾ香的解，相当于一次函数＝ሺܾ的图象和反比例函数的图象的交点的横坐标，即＝香售，＝．不等式ሺܾ香香的解集相当于一次函数＝ሺܾ的函数值小于反比例函数的函数值，从图象可以看出：香售香香或㌳．26.解：四边形为菱形．证明：如图，连接、．∵、的中点分别为、，∴为的中位线，∴，，同理，．∴，∴四边形为平行四边形．在ᦙ和ᦙ中，ᦙᦙ，ᦙᦙ，ᦙᦙ，即ᦙᦙ．∴ᦙᦙ．∴．∴试卷第10页，总13页
∴四边形为菱形．27.解：所在直线与小圆相切．理由如下：过圆心作ᦙ，垂足为ᦙ.∵是小圆的切线，经过圆心，∴.又∵平分，ᦙ，∴ᦙ，∴所在直线是小圆的切线．ሺ．理由如下：连接．∵切小圆于点，切小圆于点ᦙ，∴ᦙ，ᦙ∴在和ᦙ中，∴ᦙሺ，∴ᦙ.ᦙ∵在与ᦙ中，∴ᦙሺ，∴ᦙ.∵ᦙሺᦙ，∴ሺ．∵，，，∴.∵ሺ，∴香售，试卷第11页，总13页
∵圆环的面积为：香香，又∵香，∴售．28.解：由图象和题意可得：，．设抛物线解析式为：香ሺ∵抛物线香ሺ经过点，∴香ሺ，即香.∴抛物线解析式为：香香ሺ，即香ሺ．设，则香，香香ሺ香ሺ．∴“支撑架”总长ሺሺ香ሺሺ香ሺ香ሺ香ሺሺ香香ሺ香．∵此二次函数的图象开口向下．∴当米时，ሺሺ有最大值为香米．29.解：的图象是一条直线，且过点．且点运动速度每秒钟个单位长度．过点作形轴于点形，ᦙ轴于点ᦙ，则形，形ᦙ售．∴形香售．在形中，ሺ，过点作轴于点，与形的延长线交于点．∵，，∴形．∴形形．∴形ሺ售，ሺ售．∴所求点的坐标为售．过点作轴于点，轴于点，则形．∴，形形∴．售∴，，香香售∴香，．香香设的面积为（平方单位），试卷第12页，总13页
售∴香ሺ香ሺ香，香说明：未注明自变量的取值范围不扣分．∵香香，售售∴当香时，的面积最大．香售香此时的坐标为．香售与相等，组成等腰三角形，即当点的横坐标等于点的横坐标的一半时，当在上时，ሺ香ሺ，解得：香香（舍去）香售香当在上时，售香香ሺ，解得：，香香即当时，与相等．香当在上时，，与相等，香香∴当或时，与相等．试卷第13页，总13页
2009年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）)1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.B.C.D.2.和的半径分别为和，圆心距香，那么两圆的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离3.如图所示的几何体的主视图是（）A.B.C.D.4.下列说法正确的是()A.一个游戏的中奖概率是，则做次这样的游戏一定会中奖B.为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C.一组数据，，，，，，的众数和中位数都是D.若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳甲乙定5.在函数中，自变量的取值范围是（）香A.B.㌳C.香D.6.如图，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线㌳上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（）试卷第1页，总13页
A.逐渐增大B.不变C.逐渐减小D.先增大后减小7.年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为元，连续两次降价后售价为售元，下面所列方程正确的是A.ሺ售B.香售C.香售D.香售8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为售米，拱的半径为米，则拱高为（）A.香米B.米C.米D.香米9.在同一平面坐标系中，函数ሺ和香ሺሺ(是常数，且的图象可能是（）A.B.C.D.10.如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行到达点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是香，两个路灯的高度都是，则两路灯之间的距离是（）A.售B.香C.D.11.把抛物线香向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（)试卷第2页，总13页
A.香香香B.香ሺ香C.香香ሺD.香ሺሺ12.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为售．如果在坡度为香的山坡上种树，也要求株距为售，那么相邻两树间的坡面距离为（）A.香B.C.D.13.二次函数ሺܾሺ的图象如图所示，则下列关系式不正确的是A.香B.ܾ㌳C.ሺܾሺ㌳D.ܾ香售㌳14.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞，则纸片展开后是A.B.C.D.15.如图，，，，为的四等分点，动点从圆心出发，沿香香香路线作匀速运动，设运动时间为时．＝，则下列图象中表示与之间函数关系最恰当的是（）A.B.C.D.试卷第3页，总13页
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）)16.如图所示，边长为的小正方形构成的网格中，半径为的的圆心在格点上，则ᦙ的正切值等于________．17.翔宇中学的铅球场如图所示，已知扇形的面积是米，弧的长度为米，那么半径________米．18.如图，若正方形的顶点和正方形ᦙ形的顶点ᦙ都在函数㌳的图象上，则点ᦙ的坐标是________,________．19.阅读材料：设一元二次方程ሺܾሺ的两根为，，则两根与方ܾ程系数之间有如下关系：ሺ香，，根据该材料填空：已知，是方程ሺሺ的两实数根，则ሺ的值为________．20.二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，，，，…，在轴的正半轴上，，，，…，在二次函数第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，请计算的边长________；的边长________；的边长试卷第4页，总13页
________．三、解答题（共9小题，满分70分）)香21.（1）计算：香ȁ香ሺtan售香ȁሺ香售；21.（2）用配方法解一元二次方程：ሺ．22.如图，要在一块形状为直角三角形（为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段上，且与、都相切．请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．23.今年兰州市在全市中小学中开展以感恩和生命为主题的教育活动，各中小学结合学生实际，开展了形式多样的感恩教育活动．下面图①，图②分别是某校调查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形统计图和条形统计图．根据图上信息，解答下列问题：（1）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有名学生，你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日？（3）通过对以上数据的分析，你有何感想（用一句话回答）．24.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．五月初五早晨，妈妈为洋洋准备了四只粽子：一只香肠馅，一只红枣馅，两只什锦馅，四只粽子除内部馅料不同外，其他均一切相同，洋洋喜欢吃什锦馅的粽子．（1）请你用树状图或列表法为洋洋预测一下吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率；（2）在吃粽子之前，洋洋准备用如图所示的转盘进行吃粽子的模拟试验（此转盘被等试卷第5页，总13页
分成四个扇形区域，指针的位置是固定的，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．若指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），规定：连续转动两次转盘表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率．你认为这种模拟试验的方法正确吗？试说明理由．25.如图，已知香售，香售是一次函数＝ሺܾ的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积；（3）求方程ሺܾ香的解（请直接写出答案）；（4）求不等式ሺܾ香香的解集（请直接写出答案）．26.如图，在四边形中，ᦙ为上一点，ᦙ和ᦙ都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、，试判断四边形为怎样的四边形，并证明你的结论．27.如图，在以为圆心的两个同心圆中，经过圆心，且与小圆相交于点，与大圆相交于点．小圆的切线与大圆相交于点，且平分．试判断所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；试卷第6页，总13页
若，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留）28.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为米，底部宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．直接写出点及抛物线顶点的坐标；求这条抛物线的解析式；若要搭建一个矩形“支撑架”香香，使、点在抛物线上，，点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？29.如图①，正方形中，点、的坐标分别为，售，点在第一象限．动点在正方形的边上，从点出发沿匀速运动，同时动点以相同速度在轴正半轴上运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．当点在边上运动时，点的横坐标（长度单位）关于运动时间（秒）的函数图象如图②所示，请写出点开始运动时的坐标及点运动速度；求正方形边长及顶点的坐标；在中当为何值时，的面积最大，并求此时点的坐标；售如果点、保持原速度不变，当点沿匀速运动时，与能否相等？若能，写出所有符合条件的的值；若不能，请说明理由．试卷第7页，总13页
参考答案与试题解析2009年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1.B2.A3.C4.C5.D6.C7.B8.B9.D10.D11.D12.A13.C14.D15.C二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）16.17.香ሺ香香18.19.20.,,三、解答题（共9小题，满分70分）21.解：（1）原式香ȁ香ሺȁሺ香香ሺሺ．（2）移项得：香香，二次项系数化为得：香香，配方得：香ሺ香ሺ香，售售售∴香，售售解得，．22.解：作出角平分线得，作出半圆再得，小结，共．试卷第8页，总13页
上图即为所求图形．23.解：（1）∵（名），∴本次调查了名学生；补全的条形统计图如下：香香售（2）∵香名，∴估计这所学校有香名学生知道母亲的生日；（3）尊敬父母是中华民族的传统美德，我们应把这一美德继续发扬光大．24.解：（1）树状图如图：∴（吃到两只粽子都是什锦馅）；（2）模拟试验的树状图为：售∴（吃到两只粽子都是什锦馅），售∴这样模拟试验不正确．25.∵香售在函数的图象上，试卷第9页，总13页
∴＝香．∴反比例函数的解析式为：香．∵点香售在函数香的图象上，∴＝，∴香售，∵＝ሺܾ经过香售，香售，香售ሺܾ香∴，解之得：．ሺܾ香售ܾ香∴一次函数的解析式为：＝香香．∵是直线与轴的交点，∴当＝时，＝香．∴点香，∴＝．∴＝ሺሺ售ሺ售＝．方程ሺܾ香的解，相当于一次函数＝ሺܾ的图象和反比例函数的图象的交点的横坐标，即＝香售，＝．不等式ሺܾ香香的解集相当于一次函数＝ሺܾ的函数值小于反比例函数的函数值，从图象可以看出：香售香香或㌳．26.解：四边形为菱形．证明：如图，连接、．∵、的中点分别为、，∴为的中位线，∴，，同理，．∴，∴四边形为平行四边形．在ᦙ和ᦙ中，ᦙᦙ，ᦙᦙ，ᦙᦙ，即ᦙᦙ．∴ᦙᦙ．∴．∴试卷第10页，总13页
∴四边形为菱形．27.解：所在直线与小圆相切．理由如下：过圆心作ᦙ，垂足为ᦙ.∵是小圆的切线，经过圆心，∴.又∵平分，ᦙ，∴ᦙ，∴所在直线是小圆的切线．ሺ．理由如下：连接．∵切小圆于点，切小圆于点ᦙ，∴ᦙ，ᦙ∴在和ᦙ中，∴ᦙሺ，∴ᦙ.ᦙ∵在与ᦙ中，∴ᦙሺ，∴ᦙ.∵ᦙሺᦙ，∴ሺ．∵，，，∴.∵ሺ，∴香售，试卷第11页，总13页
∵圆环的面积为：香香，又∵香，∴售．28.解：由图象和题意可得：，．设抛物线解析式为：香ሺ∵抛物线香ሺ经过点，∴香ሺ，即香.∴抛物线解析式为：香香ሺ，即香ሺ．设，则香，香香ሺ香ሺ．∴“支撑架”总长ሺሺ香ሺሺ香ሺ香ሺ香ሺሺ香香ሺ香．∵此二次函数的图象开口向下．∴当米时，ሺሺ有最大值为香米．29.解：的图象是一条直线，且过点．且点运动速度每秒钟个单位长度．过点作形轴于点形，ᦙ轴于点ᦙ，则形，形ᦙ售．∴形香售．在形中，ሺ，过点作轴于点，与形的延长线交于点．∵，，∴形．∴形形．∴形ሺ售，ሺ售．∴所求点的坐标为售．过点作轴于点，轴于点，则形．∴，形形∴．售∴，，香香售∴香，．香香设的面积为（平方单位），试卷第12页，总13页
售∴香ሺ香ሺ香，香说明：未注明自变量的取值范围不扣分．∵香香，售售∴当香时，的面积最大．香售香此时的坐标为．香售与相等，组成等腰三角形，即当点的横坐标等于点的横坐标的一半时，当在上时，ሺ香ሺ，解得：香香（舍去）香售香当在上时，售香香ሺ，解得：，香香即当时，与相等．香当在上时，，与相等，香香∴当或时，与相等．试卷第13页，总13页
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