2014年广西南宁市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，其中只有一是正确的．A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形1.如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作9.“黄金号”玉米种子的价格为元/千克，如果一次购买千克以上的种子，超过A.B.C.D.千克部分的种子价格打折，设购买种子数量为千克，付款金额为元，则与2.下列图形中，是轴对称图形的是（）的函数关系的图象大致是（）A.B.C.D.A.B.3.南宁东高铁火车站位于南宁青秀区凤岭北路，火车站总建筑面积约为䁞平方米，其中数据䁞用科学记数法表示为（）A.䁞䁞B.䁞䁞C.䁞䁞D.䁞䁞4.要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（）C.D.A.B.C.D.5.下列运算正确的是（）10.如图，已知二次函数，当时，随的增大而增大，则A.B.C.D.实数的取值范围是6.在直径为Ͳ的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽밧Ͳ，则油的最大深度为()A.B.C.D.A.ͲB.ͲC.ͲD.Ͳ11.如图，在밧䁩在中，点是在的中点，延长밧䁩到点，使䁩밧䁩，连7.数据，，，，，，的中位数和众数分别是（）A.和B.和C.和D.和接在，䁩．若밧，在，sin밧，则在的长等于（）8.如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为밧，再以밧的中点为顶点，把平角밧三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是第1页共26页◎第2页共26页 A.B.C.䁞D.12.已知点在双曲线上，点밧在直线上，且，밧两点关于轴对称．设点的坐标为标，则的值是()A.B.C.D.三、解答题：（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）要求写出解答过二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）程．如果运算结果含有根号，请保留根号．13.比较大小：________（填，或）．19.计算：sin．14.如图，已知直线，，则的度数是20.解方程：．四、解答题：（本大题共2小题，每小题满分16分，共16分）要求写出解答过________．程．如果运算结果含有根号，请保留根号．21.如图，밧䁩三个顶点的坐标分别为标，밧标，䁩标．15.分解因式：________．请画出밧䁩向左平移个单位长度后得到的밧䁩；16.第届世界体操锦标赛将于年月日至日在南宁隆重举行，届时请画出밧䁩关于原点对称的밧䁩；某校将从小记者团内负责体育赛事报道的名同学（男女）中任选名前往采访，那么选出的名同学恰好是一男一女的概率是________．在轴上求作一点，使밧的周长最小，请画出밧，并直接写出的坐标．17.如图，一渔船由西往东航行，在点测得海岛䁩位于北偏东的方向，前进海里到达밧点，此时，测得海岛䁩位于北偏东的方向，则海岛䁩到航线밧的距离䁩在等于________海里．18.如图，밧䁩是等腰直角三角形，䁩밧䁩，以斜边밧上的点为圆心的圆分别与䁩，밧䁩相切于点，，与밧分别交于点，，且的延长线和䁩밧的延长线交于点在，则䁩在的长为________．22.考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图和图两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：第3页共26页◎第4页共26页 这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？次．若该公司购买型和밧型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种请补全条形统计图；购车方案总费用最少？最少总费用是多少？请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；根据调查结果，估计该校九年级名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数．七、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．25.如图，四边形밧䁩在是正方形，点是边밧䁩上一点，点在射线䁩上，，，过点作射线밧䁩的垂线，垂足为，连接䁩．（1）试判断밧与的数量关系，并说明理由；（2）求证：䁩；（3）连接，过、、三点作圆，如图，若䁩，䁩，求的长．五、解答题：（本大题满分8分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．23.如图，밧䁩，在是밧上一点，在交䁩于点，在，分别延长在和䁩밧交于点．八、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．26.在平面直角坐标系中，抛物线＝与直线＝交于，밧两点，点在点밧的左侧．求证：在䁩；若밧，밧䁩，밧在，求밧的长．六、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．24.“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买型和밧型两种环保节能公交车共辆，若购买型公交车辆，밧型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，밧型公交车辆，共需万元．求购买型和밧型公交车每辆各需多少万元？（1）如图，当＝时，直接写出，밧两点的坐标；预计在该线路上型和밧型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人（2）在（1）的条件下，点为抛物线上的一个动点，且在直线밧下方，试求出第5页共26页◎第6页共26页 밧面积的最大值及此时点的坐标；（3）如图，抛物线＝与轴交于点䁩、在两点（点䁩在点在的左侧），在直线＝上是否存在唯一一点，使得䁩＝？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．第7页共26页◎第8页共26页 解：如图：参考答案与试题解析2014年广西南宁市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，其中只有一是正确的．1.A连接，过点作밧，交밧于点，【解答】∵直径为Ͳ，밧Ͳ，解：因为上升记为，所以下降记为，∴Ͳ，Ͳ，所以水位下降时水位变化记作．∴Ͳ，故选．∴Ͳ．2.B故选．【解答】7.D解：，不是轴对称图形，故错误；【解答】밧，是轴对称图形，故밧正确；解：把所有数据从小到大排列：，，，，，，，位置处于中间的是，故中䁩，不是轴对称图形，故䁩错误；位数为；在，不是轴对称图形，故在错误．出现次数最多的是，故众数为，故选밧．故选在．3.C8.A【解答】【解答】解：䁞䁞䁞．解：∵平角밧三等分，故选䁩．∴，4.D∵，【解答】∴剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是的等腰三角形，解：∵二次根式在实数范围内有意义，再沿另一折痕展开得到有一个角是的直角三角形，∴，最后沿折痕밧展开得到等边三角形，解得：，即正三角形．则实数的取值范围是：．故选．故选在．9.B5.B【解答】【解答】解：可知千克以下付款金额为元随购买种子数量为千克增大而增大，解：，，故选项错误；超过千克的部分打折，仍随的增大而增大，不过增加的幅度低一点，밧，，故밧选项正确；故选밧．䁩，，故䁩选项错误；10.B在，，故在选项错误．【解答】故选밧．解：二次函数的对称轴为直线，6.A∵时，随的增大而增大，【解答】∴，第9页共26页◎第10页共26页 ∴．故选.故选밧．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.C【解答】13.证明：如图，【解答】解：∵是负数，是正数；∴；故答案为：．14.在밧䁩在中，밧在䁩，밧䁩在，在밧䁩，且在밧䁩．【解答】∵是在的中点，∴在在．又∵䁩밧䁩，解：∴在䁩，且在䁩，∴四边形䁩在是平行四边形．∵，∴䁩在．∴，过点䁩作䁩在于点．∵，∴，又∵sin밧，故答案为：．䁩䁩15.∴sin䁩在，䁩在【解答】∴䁩．解：．在䁩在中，由勾股定理得到：在䁩在䁩，则，故答案为：．∴在䁩中，由勾股定理得到：䁩䁩䁞，16.则在䁩䁞．故选䁩．【解答】解：列表得：12.A男男女【解答】男--（（解：∵点的坐标为标，，밧两点关于轴对称，-男女∴밧标，，，男男∵点在双曲线上，点밧在直线上，））男（--（∴，，男-女，，即，，男男））∴原式．第11页共26页◎第12页共26页 女（（--∴䁩䁩，男男-，，밧밧䁩䁩䁞，女女，））∵由切割线定理可得밧밧밧，所有等可能的情况有种，其中选出的名同学恰好是一男一女的情况有种，∴밧밧，则，∴밧或밧（舍去），故答案为：.∵在밧，，17.∴밧在，【解答】밧在∴，根据题意可知䁩在＝，䁩밧在＝，밧∵䁩밧在＝䁩在䁩밧，∴밧밧在，∴䁩在＝＝䁩밧，䁩在밧䁩밧在∴밧＝밧䁩＝海里，．䁩在在䁩밧在中，밧在䁩＝，在밧䁩＝，sin在밧䁩，밧䁩故答案为：．䁩在∴sin，밧䁩三、解答题：（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分）要求写出解答过∴䁩在＝sin＝海里，程．如果运算结果含有根号，请保留根号．19.解：原式18.．【解答】【解答】解：如图，连接、，解：原式．20.解：去分母得：，去括号得：，解得：，经检验是分式方程的解．【解答】解：去分母得：，∵由切线的性质可得的半径，䁩䁩䁩，去括号得：，∴䁩是正方形，解得：，∵由밧䁩的面积可知经检验是分式方程的解．䁩밧䁩䁩밧䁩，第13页共26页◎第14页共26页 四、解答题：（本大题共2小题，每小题满分16分，共16分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．21.解：밧䁩如图所示；밧䁩如图所示；밧如图所示，标．“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：䁞；该校九年级名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：人．【解答】解：一共抽查的学生：䁞人；参加“体育活动”的人数为：䁞，补全统计图如图所示：【解答】解：밧䁩如图所示；밧䁩如图所示；밧如图所示，标．“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：䁞；该校九年级名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：人．五、解答题：（本大题满分8分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保22.解：一共抽查的学生：䁞人；参加“体育活动”的人数为：䁞，留根号．补全统计图如图所示：23.证明：∵밧䁩，∴䁩，在在和䁩中，第15页共26页◎第16页共26页 䁩答：购买型公交车每辆需万元，购买밧型公交车每辆需万元．在䁩，设购买型公交车辆，则밧型公交车辆，由题意得在，∴在䁩；，解：∵밧䁩，解得：，∴밧在䁩，所以，䁞，；∴밧䁩밧在䁩，则，，；∵밧，밧䁩，밧在，三种方案：∴䁩，①购买型公交车辆，则밧型公交车辆：万元；∴䁩，②购买型公交车䁞辆，则밧型公交车辆：䁞万元；∵在䁩，③购买型公交车辆，则밧型公交车辆：万元；∴밧在밧在．购买型公交车辆，则밧型公交车辆费用最少，最少总费用为万元．【解答】【解答】证明：∵밧䁩，解：设购买型公交车每辆需万元，购买밧型公交车每辆需万元，由题意得∴䁩，，在在和䁩中，，䁩，在䁩，解得在，∴在䁩；答：购买型公交车每辆需万元，购买밧型公交车每辆需万元．解：∵밧䁩，设购买型公交车辆，则밧型公交车辆，由题意得∴밧在䁩，，∴밧䁩밧在䁩，∵밧，밧䁩，밧在，解得：，∴䁩，所以，䁞，；∴䁩，则，，；∵在䁩，三种方案：∴밧在밧在．①购买型公交车辆，则밧型公交车辆：万元；②购买型公交车䁞辆，则밧型公交车辆：䁞万元；六、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请③购买型公交车辆，则밧型公交车辆：万元；购买型公交车辆，则밧型公交车辆费用最少，最少总费用为万元．保留根号．24.解：设购买型公交车每辆需万元，购买밧型公交车每辆需万元，由七、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请题意得，保留根号．，25.解：（1）밧．证明：∵，밧䁩，，解得∴밧，밧밧，，∴밧，第17页共26页◎第18页共26页 在밧和中，∴밧，밧밧，밧∴밧，밧，在밧和中，밧∴밧밧，∴밧．（2）由（1）得밧，밧，∴밧∵밧䁩밧，∴밧．∴밧䁩，（2）由（1）得밧，밧，∴䁩，∵밧䁩밧，∴䁩，∴밧䁩，∵四边形밧䁩在是正方形，∴䁩，∴䁩밧，∴䁩，∴䁩䁩䁩밧．∵四边形밧䁩在是正方形，∴䁩밧，（3）由（2）知䁩，∴䁩．∴䁩䁩䁩밧．䁩䁩䁩．（3）由（2）知䁩，∴䁩．如图，过点䁩作䁩于，则䁩䁩．䁩䁩䁩．如图，过点䁩作䁩于，则䁩䁩．∵䁩，䁩，∴䁩．∵䁩，䁩，䁩䁩∴，即，∴䁩．∴．䁩䁩∴，即，∵为等腰直角三角形，∴．取中点，连接，则，，∴．t∵为等腰直角三角形，∴．∴的弧长为：t．取中点，连接，则，，【解答】t∴的弧长为：t．解：（1）밧．证明：∵，밧䁩，第19页共26页◎第20页共26页 八、解答题：（本大题满分10分）要求写出解答过程．如果运算结果含有根号，请保留根号．26.当＝时，抛物线解析式为＝，直线解析式为＝．联立两个解析式，得：＝，解得：＝或＝，当＝时，＝＝；当＝时，＝＝，∴标，밧标．设标．如答图所示，过点作轴，交直线밧于点，则标．设点为䁩中点，连接，则，＝䁩＝．∴＝．∵＝，＝＝，∴，∴，即：，解得：＝，∴＝＝＝．∵，밧＝밧밧밧∴．䁞∴밧∴存在唯一一点，使得䁩＝，此时．当时，＝．Ⅱ、若直线밧过点䁩时，此时直线与圆的交点只有另一点点，故亦存在唯一一点䁞，使得䁩＝，∴밧面积最大值为，此时点坐标为标．将䁩标代入＝中，可得＝，＝（舍去），设直线밧＝与轴、轴分别交于点、，故存在唯一一点，使得䁩＝，此时＝．则标，标，，＝．综上所述，或时，存在唯一一点，使得䁩＝．在中，由勾股定理得：．方法二：（1）略．（2）过点作轴垂线，叫直线밧于，设标，则标令＝＝，即＝，解得：＝或＝．∴䁩标，䁩＝．∴밧밧，Ⅰ、假设存在唯一一点，使得䁩＝，如答图所示，则以䁩为直径的圆与直线밧相切于点，根据圆周角定理，此时䁩＝．∴밧，第21页共26页◎第22页共26页 ∴밧，当时，밧有最大值，䁞∴밧．（3）∵＝，∴＝，当＝时，＝，＝，∴䁩标，在标，当点和点䁩重合时，将䁩标代入＝中，∴＝＝＝．可得＝，＝（舍去），밧＝밧밧밧故存在唯一一点，使得䁩＝，此时＝．当点和点䁩不重合时，䁞∴밧∵点在＝上，设标，标，∵䁩＝，当时，＝．∴䁩，∴䁩＝，䁞∴밧面积最大值为，此时点坐标为标．∴设直线밧＝与轴、轴分别交于点、，∴＝有唯一解，∴＝＝，则标，标，，＝．∴，（故舍去），在中，由勾股定理得：．令＝＝，即＝，解得：＝或＝．∴．∴䁩标，䁩＝．Ⅰ、假设存在唯一一点，使得䁩＝，如答图所示，综上所述，或时，存在唯一一点，使得䁩＝．则以䁩为直径的圆与直线밧相切于点，根据圆周角定理，此时䁩＝．【解答】当＝时，抛物线解析式为＝，直线解析式为＝．联立两个解析式，得：＝，解得：＝或＝，当＝时，＝＝；当＝时，＝＝，∴标，밧标．设标．如答图所示，过点作轴，交直线밧于点，则标．设点为䁩中点，连接，则，＝䁩＝．第23页共26页◎第24页共26页 当点和点䁩不重合时，∴＝．∵点在＝上，设标，标，∵＝，＝＝，∵䁩＝，∴，∴䁩，∴䁩＝，∴，即：，∴∴＝有唯一解，解得：＝，∴＝＝，∵，∴，（故舍去），∴．∴．∴存在唯一一点，使得䁩＝，此时．综上所述，或时，存在唯一一点，使得䁩＝．Ⅱ、若直线밧过点䁩时，此时直线与圆的交点只有另一点点，故亦存在唯一一点，使得䁩＝，将䁩标代入＝中，可得＝，＝（舍去），故存在唯一一点，使得䁩＝，此时＝．综上所述，或时，存在唯一一点，使得䁩＝．方法二：（1）略．（2）过点作轴垂线，叫直线밧于，设标，则标∴밧밧，∴밧，∴밧，当时，밧有最大值，䁞∴밧．（3）∵＝，∴＝，当＝时，＝，＝，∴䁩标，在标，当点和点䁩重合时，将䁩标代入＝中，可得＝，＝（舍去），故存在唯一一点，使得䁩＝，此时＝．第25页共26页◎第26页共26页