2014年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）)1.＀4的相反数是（）＀＀A.＀4B.＀4C.D.＀4＀42.如图，由4个相同的小立方块组成一个立体图形，它的主视图是（）A.B.C.D.3.为迎接“＀4丹东港鸭绿江国际马拉松赛”，丹东新区今年投入约4万元用于绿化美化．4万用科学记数法表示为（）A.4＀B.4＀C.4＀D.쳌4＀4.下列事件中，是必然事件的是()A.抛掷一枚硬币，正面朝上B.打开电视，正在播放广告C.体育课上，小刚跑完＀所用时间为＀℄D.袋中只有4个球，且都是红球，任意摸出一球是红球5.如图，在香䁨中，香䁨，4，香的垂直平分线交香于点，交䁨于点，连接香，则䁨香的度数为（)A.B.C.4D.6.下列计算正确的是（）A.＀B.4C.D.＀7.如图，反比例函数＀和一次函数ݔ的图象交于、香两点．、香两点的横坐标分别为，．通过观察图象，若＀，则的取值范围是()试卷第1页，总14页 A.൏൏B.൏൏或C.൏൏或൏D.൏൏8.如图，在香䁨中，䁨＝䁨香，䁨香＝，香＝，点为香的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形形，点䁨恰在弧形上，则图中阴影部分的面积为（）＀＀＀＀A.ݔ.C.BݔD.444二、填空题（每小题3分，共24分）)9.如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线上，＀，则________．10.一组数据，，，，的平均数是4，则这组数据的众数是________．11.若式子有意义，则实数的取值范围是________．12.分解因式：4ݔ4＝________．ݔ13.不等式组的解集是________．൏414.小明和小丽到文化用品商店帮助同学们买文具．小明买了支笔和个圆规共花＀元；小丽买了支笔和4个圆规共花元．设每支笔元，每个圆规元．请列出满足题意的方程组________．15.如图，在菱形香䁨中，香＝4㤵，䁨＝＀，点、形同时由、䁨两点出发，分别沿香、䁨香方向向点香匀速移动（到点香为止），点的速度为＀㤵，点形的速度为㤵，经过秒形为等边三角形，则的值为________．试卷第2页，总14页 16.如图，在平面直角坐标系中，，香两点分别在轴和轴上，＀，香，连接香，过香中点䁨＀分别作轴和轴的垂线，垂足分别是点＀，香＀，连接＀香＀，再过＀香＀中点䁨作轴和轴的垂线，照此规律依次作下去，则点䁨℄的坐标为________．三、解答题（每小题8分，共16分）)17.计算：ݔ＀tanݔ．18.如图，在平面直角坐标系中，香䁨的三个顶点坐标为＀ܥ4，香ܥ，䁨＀ܥ＀．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）（1）将香䁨沿轴方向向上平移个单位，画出平移后得到的＀香＀䁨＀；（2）将香䁨绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的香䁨，并直接写出点旋转到点所经过的路径长．四、（每小题10分，共20分）)19.某中学开展“阳光体育一小时”活动，根据学校实际情况，决定开设：踢毽子；香：篮球；䁨：跳绳；：乒乓球四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两个统计图．请结合图中的信息解答下列问题：试卷第3页，总14页 （1）本次共调查了多少名学生？（2）请将两个统计图补充完整．（3）若该中学有＀名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？20.某服装厂接到一份加工件服装的订单．应客户要求，需提前供货，该服装厂决定提高加工速度，实际每天加工的件数是原计划的＀쳌倍，结果提前＀天完工．原计划每天加工多少件服装？五、（每小题10分，共20分）)21.甲、乙两人用如图的两个分格均匀的转盘、香做游戏，游戏规则如下：分别转动两个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜．请你解决下列问题：（1）用列表格或画树状图的方法表示游戏所有可能出现的结果．（2）求甲、乙两人获胜的概率．22.如图，在香䁨中，香䁨，以香为直径的与䁨边交于点，过点的直线交香䁨边于点，香．＀判断直线与的位置关系，并说明理由．若的半径，tan，求线段䁨的长．4试卷第4页，总14页 六、（每小题10分，共20分）)23.如图，禁渔期间，我渔政船在处发现正北方向香处有一艘可疑船只，测得、香两处距离为海里，可疑船只正沿南偏东方向航行．我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截，小时后刚好在䁨处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．＀4（参考数据：sin，cos，tan，sin，cos，tan＀4）24.在＀4年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为4元的球服，如果按单价元销售，那么一个月内可售出4套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高元，销售量相应减少套．设销售单价为元，销售量为套．（1）求出与的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为＀4元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？4㤵参考公式抛物线＝ݔݔ㤵的顶点坐标是ܥ．4七、（本题12分）)25.在四边形香䁨中，对角线䁨、香相交于点，将䁨绕点按逆时针方向旋转得到䁨，旋转角为൏൏，连接䁨、香，䁨与香交于点．＀＀＀＀＀＀（1）如图＀，若四边形香䁨是正方形．①求证：䁨＀香＀．②请直接写出䁨＀与香＀的位置关系．（2）如图，若四边形香䁨是菱形，䁨＝，香＝，设䁨＀＝香＀．判断䁨＀与香＀的位置关系，说明理由，并求出的值．（3）如图，若四边形香䁨是平行四边形，䁨＝，香＝＀，连接＀，设䁨＀＝香．请直接写出的值和䁨ݔ的值．＀＀＀试卷第5页，总14页 八、（本题14分）)26.如图＀，抛物线ݔ＀经过＀ܥ、香ܥ两点，交轴于点䁨．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线交直线香䁨于点，交轴于点．（1）请直接写出抛物线表达式和直线香䁨的表达式．（2）如图＀，当点的横坐标为时，求证：香香䁨．（3）如图，若点在第四象限内，当时，求的面积．（4）当以点、䁨、为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点的坐标．试卷第6页，总14页 参考答案与试题解析2014年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）1.A2.C3.B4.D5.D6.B7.C8.连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴＀＀DCAB＝1，四边形DMCN是正方形，DM则扇形FDE的面积是：∵4CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN，则在△DMGᦙ䁡ᦙ䁡和△DNH中，䁡ᦙ䁡ᦙ，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S＝四边形䁡䁨䁡ᦙᦙ＀＀S则阴影部分的面积是：四边形ᦙ䁨ᦙ4二、填空题（每小题3分，共24分）9.10.11.且12.13.＀൏൏ݔ＀ܥ14.ݔ4쳌415.＀16.，℄℄三、解答题（每小题8分，共16分）17.原式＝＀ݔݔ．18.如图，＀香＀䁨＀即为所求；如图，香䁨即为所求；由勾股定理得，＀ݔ4＀，＀＀点旋转到点所经过的路径长为：．＀试卷第7页，总14页 四、（每小题10分，共20分）19.解：（1）4（人）故本次共调查名学生．（2）4（人），＀＀，补全如图：（3）＀＀＀（人）故该学校喜欢篮球项目的学生约有＀人．20.解：该服装厂原计划每天加工件服装，则实际每天加工＀쳌件服装，根据题意，得＀，＀쳌解这个方程得＀，经检验，＀是所列方程的根．故该服装厂原计划每天加工＀件服装．五、（每小题10分，共20分）21.所有可能出现的结果如图：4＀＀ܥ4＀ܥ＀ܥ＀ܥܥ4ܥܥܥܥ4ܥܥܥ从上面的表格（或树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有＀种，且每种结果出现的可能性相同，其中积是奇数的结果有4种，即、、＀、＀，积是偶数的结果有试卷第8页，总14页 种，即4、、、＀、＀、＀4、＀、＀，∴甲、乙两人获胜的概率分别为：4＀（甲获胜），＀（乙获胜）．＀22.解：＀直线与相切．理由如下：连接．∵∴又∵香∴香∵香是直径∴香即ݔ香∴香ݔ香∴∴∴与相切；∵，∴香＀，在香䁨中香䁨∵tan香4＀∴香䁨香tan＀，4＀∴䁨香ݔ＀䁨香ݔ，∵香䁨香䁨，香䁨䁨香∴香䁨䁨香䁨䁨香∴䁨香䁨＀䁨香∴䁨．䁨六、（每小题10分，共20分）23.如图，根据题意可得，在香䁨中，香＝海里，香䁨＝，香䁨＝，过点䁨作䁨香，垂足为点．设香＝海里，则＝海里，试卷第9页，总14页 䁨在香䁨中，tan，香䁨则tan，4䁨＝tan（海里）．＀在䁨中，则䁨＝tan，4＀则，解得，＝，即香＝．香在香䁨中，cos，香䁨香则香䁨4，cos4＝쳌（海里/时），则该可疑船只的航行速度约为쳌海里/时．24.4，∴＝4ݔ4；根据题意可得，4ݔ4＝＀4，解得，＀＝，＝（不合题意舍去），∴当销售价为元时，月销售额为＀4元．设一个月内获得的利润为元，根据题意，得＝44ݔ4，＝4ݔ4＀，＝4ݔ4，当＝时，的最大值为4∴当销售单价为元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是4元．七、（本题12分）25.①证明：如图＀，∵四边形香䁨是正方形，∴䁨＝＝＝香，䁨香，∴香＝䁨＝，∵䁨绕点按逆时针方向旋转得到䁨＀＀，试卷第10页，总14页 ∴䁨＀＝䁨，＀＝，䁨䁨＀＝＀，∴䁨＝，䁨＝香＝ݔ，＀＀＀＀＀在䁨＀和香＀中香䁨＀香＀，䁨＀＀∴䁨＀香＀ܵܵ；②䁨＀香＀；䁨＀香＀．理由如下：如图，∵四边形香䁨是菱形，＀＀∴䁨＝䁨，＝香香，䁨香，∴香＝䁨＝，∵䁨绕点按逆时针方向旋转得到䁨＀＀，∴䁨＀＝䁨，＀＝，䁨䁨＀＝＀，∴䁨＀＝，＀＝香，䁨＀＝香＀，䁨＀∴，＀香∴䁨＀香＀，∴䁨＀＝香＀，又∵香＝，∴香ݔ香ݔ香＝，＀∴香ݔ香ݔ䁨＝，＀∴香＝∴䁨＀香＀；∵䁨＀香＀，＀䁨＀䁨䁨∴＀，香＀香香香∴；如图，与（2）一样可证明䁨＀香＀，䁨＀䁨＀∴，香＀香香＀∴；∵䁨绕点按逆时针方向旋转得到䁨＀＀，∴＀＝，而＝香，∴＀＝香＝，∴香＀为直角三角形，在香＀中，香ݔ＝香＝＀，＀＀∴䁨ݔ＝＀，＀＀∴䁨ݔ＝．＀＀试卷第11页，总14页 八、（本题14分）26.方法一：解：（1）由抛物线ݔ＀可知䁨ܥ＀，∵ݔ＀经过＀ܥ、香ܥ两点，＀∴，4ݔ＀＀解得＀＀＀∴抛物线表达式：＀＀；设直线香䁨的解析式为ݔ，ݔ则，＀＀解得．＀＀∴直线香䁨的表达式：＀．＀＀＀故抛物线表达式：＀＀；直线香䁨的表达式：＀．试卷第12页，总14页 （2）如图＀，当点的横坐标为时，把＀代入＀，＀得＀，∴又∵，∴∵∴4又∵䁨＀，䁨∴䁨4∴䁨又∵香香䁨香香䁨．＀＀（3）如图，设点的坐标为ܥ＀＀＀＀＀∴，＀ݔݔ＀又∵＀＀∴ݔݔ＀解得＀，（不合题意舍去），∴、两点坐标分别为，，，，∴＀＀＀∴ܵ＀，4ݔ（4）＀＀ܥ＀，ܥ，ܥ，4ܥ．＀设ܥ＀，＀则ݔ＀ݔ＀，4䁨＀，䁨＀ݔ＀ݔ＀，4当䁨时，则ݔ＀，解得＀＀，444当䁨时，则ݔ＀＀，解得，4当䁨䁨时，则＀，解得，4，4试卷第13页，总14页 4ݔ∴＀＀ܥ＀，ܥ，ܥ，4ܥ．方法二：（1）略．＀（2）∵香䁨＀，把代入，∴，即ܥ，∵ܥ，∴tan＀，∵＀ܥ，䁨ܥ＀，∴tan䁨＀，∴䁨，∴䁨，∴香香䁨．＀＀（3）设ܥ＀，ܥ，∵，＀＀∴ݔݔ＀，解得：＀，（舍），∴、两点坐标分别为，，，，∴＀＀＀∴ܵ＀．＀＀＀（4）设ܥ＀，ܥ＀，ܥ，䁨ܥ＀，∵䁨是等腰三角形，∴䁨，䁨䁨，䁨，＀4ݔ＀ݔ＀，∴＀（舍），，＀ݔ＀ݔ＀ݔ＀，∴＀，，＀＀ݔ＀ݔ＀ݔ＀，∴＀，4ݔ∴＀＀ܥ＀，ܥ，ܥ，4ܥ．试卷第14页，总14页