2022人教版高考数学(浙江版)一轮复习训练:第二章第3讲函数的奇偶性及周期性(含解析)
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[A级 基础练]1.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f+f(1)=( )A.-2 B.0C.2D.1解析:选A.因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,且周期为2,所以f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),所以f(1)=0,f=f=-f=-4=-2,所以f+f(1)=-2.2.(一题多解)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是( )A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)解析:选B.通解:设所求函数的图象上的任意一点坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数y=lnx的图象上,所以y=ln(2-x).故选B.优解:由题意知,对称轴x=1上的点(1,0)既在函数y=lnx的图象上也在所求函数的图象上,将点(1,0)代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D.故选B.3.若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则( )A.f(3)<f(1)<f(-2)B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(-2)<f(1)解析:选D.因为∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,所以当x≥0时,函数f(x)为减函数,因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,所以f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(-2)<f(1).4.已知函数f(x)满足f(x-1)=f(5-x),且对任意的x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,都有<0成立,若p=f(7),q=f(-8),m=f(-2),则p,q,m的大小关系为 ( )A.q<m<pB.p<m<qC.q<p<mD.p<q<m解析:选C.因为f(x-1)=f(5-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称.又对任意的x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,都有<0成立,所以f(x)在区间[2,+∞)上单调递减,在(-∞,2)上单调递增.q=f(-8)=f(12),m=f(-2)=f(6),则f(6)>f(7)>f(12),即m>p>q,故选C.5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=-f(x-1),若f(-1)>1,f(5)=a2-2a-4,则实数a的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)解析:选A.由f(x+1)=-f(x-1),可得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4,则f(5)=f(1)=a2-2a-4,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)>1,所以f(1)<-1,所以a2-2a-4<-1,解得-1<a<3,故选A.6.若函数f(x)=为奇函数,则a=________,f(g(-2))=________.解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,即a=0,若x<0,则-x>0,
则f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x),则g(2x)=-(x2-2x-1),令x=-1,则g(-2)=-(1+2-1)=-2,f(-2)=-f(2)=-(4+4-1)=-7,故f(g(-2))=-7.答案:0 -77.设函数f(x)=+1在x∈[-9,9]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.解析:f(x)=+1,其中上奇下偶明显是奇函数,最大、最小值之和为零,那么f(x)的最大值与最小值之和就是2×1=2.答案:28.已知函数f(x)=则f(2019)=________.解析:当x>0时,f(x)=f(x-2)+1,则f(2019)=f(2017)+1=f(2015)+2=…=f(1)+1009=f(-1)+1010,而f(-1)=0,故f(2019)=1010.答案:10109.已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.(1)试求f(x)在R上的解析式;(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.解:(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,则f(0)=0.设x<0,则-x>0,因为x>0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3.于是有f(x)=
(2)先画出函数在y轴右侧的图象,再根据对称性画出y轴左侧的图象,如图.由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间是(-1,0),(0,1).[B级 综合练]10.(2020·新高考卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]解析:选D.通解:由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],选D.优解:当x=3时,f(3-1)=0,符合题意,排除B;当x=4时,f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意,排除选项A,C.故选D.11.已知函数f(x)与g(x)是定义在{x∈R|x≠0}上的奇函数,且xf(x)+g(x)=1-x2+bsin2x,则f(3)=________;若f()+g()=,则b=________.解析:因为f(x)与g(x)都是定义在{x∈R|x≠0}上的奇函数,且xf(x)+g(x)=1-x2+bsin2x,所以-xf(-x)+g(-x)=xf(x)-g(x)=1-x2-bsin2x,得f(x)=-
x(x≠0),g(x)=bsin2x(x≠0),所以f(3)=-3=-,由f+g=+bsin=,解得b=1.答案:- 112.已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意的实数x,y∈R,有f(x-y+1)=f(x)·f(y)+f(1-x)f(1-y);②f(x)在区间[0,1]上单调递增.(1)求f(0)的值;(2)求证:f(x)是图象关于直线x=1对称的奇函数.解:(1)令x=y=0,则f(1)=f2(0)+f2(1), ①再令x=0,y=可得f=f(0)·f+f(1)f.若f=0,则f(1)=f2+f2=0,这与f(x)在区间[0,1]上单调递增矛盾,故f≠0,故1=f(0)+f(1). ②联立①②解得f(0)=0且f(1)=1,或f(0)=且f(1)=(舍去).综上,f(0)=0.(2)证明:用y代替1-y得f(x+y)=f(x)·f(1-y)+f(1-x)f(y). ③在③中令y=-x,可得f(0)=f(x)f(1+x)+f(1-x)f(-x). ④由③式可知f(x+1)=f(x)f(0)+f(1-x)·f(1)=f(1-x),即f(x+1)=f(1-x),故f(x)的图象关于直线x=1对称,将上式带入④可得0=f(x)f(1+x)+f(1+x)f(-x).
又f(x+1)不恒为0,故f(x)+f(-x)=0恒成立,故f(x)为奇函数.13.已知函数f(x)=(其中a,b,c,d是实数常数,x≠-d).(1)若a=0,函数f(x)的图象关于点(-1,3)成中心对称,求b,d的值;(2)若函数f(x)满足条件(1),且对任意x0∈[3,10],总有f(x0)∈[3,10],求c的取值范围.解:(1)因为a=0,所以f(x)==b+.我们知道函数y=(x≠0)的图象关于点(0,0)对称,而f(x)=b+相当于将f(x)=向左平移d个单位,再向上平移b个单位得到,因此f(x)的对称中心是(-d,b).又因为函数f(x)的图象的对称中心是(-1,3),所以(2)由(1)知,f(x)=3+.依据题意,对任意x0∈[3,10],恒有f(x0)∈[3,10].①c=3,f(x)=3,符合题意.②c≠3,c<3时,对任意x∈[3,10],恒有f(x)=3+<3,不符合题意.所以c>3,函数f(x)=3+在[3,10]上是单调递减函数,且满足f(x)>3.因此,当且仅当f(3)≤10,即3<c≤31时符合题意.综上,所求实数c的取值范围是[3,31].
[C级 提升练]14.如果定义在R上的奇函数y=f(x),对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数y=f(x)为“H函数”.下列函数为“H函数”的是( )A.f(x)=sinxB.f(x)=exC.f(x)=x3-3xD.f(x)=x|x|解析:选D.根据题意,对于任意的不相等实数x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,即函数f(x)是定义在R上的增函数,则“H函数”为奇函数且在R上为增函数.对于A,f(x)=sinx为正弦函数,为奇函数但不是增函数,不符合题意;对于B,f(x)=ex为指数函数,不是奇函数,不符合题意;对于C,f(x)=x3-3x为奇函数,但在R上不是增函数,不符合题意;对于D,f(x)=x|x|=为奇函数且在R上为增函数,符合题意.故选D.15.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f=-f(x),且函数y=f为奇函数.给出以下四个命题:①函数f(x)是周期函数;②函数f(x)的图象关于点对称;③函数f(x)为R上的偶函数;④函数f(x)为R上的单调函数.其中真命题的序号为________.解析:由f=-f(x),得f(x+3)=-f,即f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是周期为3的周期函数,①正确.由函数y=f为奇函数,得f=-
f,所以函数y=f的图象关于点对称,②正确.由f=-f(x),得f=-f.又f=-f,所以f=f,即f(x)=f(-x),故③正确.由①知f(x)为周期函数,所以f(x)不可能单调,故④错误.因此真命题的序号为①②③.答案:①②③