2013年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）)1.与的差为的数是（）A.B.C.D.2.在我国南海某海域探明可燃冰储量约有亿立方米．亿用科学记数法表示为A.香B.香C.香D.香3.某班七个合作学习小组人数如下：、、、、、、，已知这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是（）A.B.香C.D.4.在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（）A.B.C.D.5.如图，在平面直角坐标系中，经过原点，并且分别与轴、轴交于、两点，已知⸶，⸶，则的半径为（）A.B.C.D.6.如图，在平行四边形中，＝，＝，的平分线交于，交的延长线于，于，㜵，则的周长为（）A.B.C.D.7.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（）试卷第1页，总13页 A.B.C.D.8.如图，将一张边长为的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（）A.B.C.D.9.如图，点是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点（使该角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能取值的个数是（）A.B.C.D.10.如图，已知、是反比例函数㜵⸶上的两点，轴，交轴于，动点从坐标原点出发，沿匀速运动，终点为，过运动路线上任意一点作轴于，轴于，设四边形的面积为，点运动的时间为，则关于的函数图象大致是（）A.B.C.D.二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）)11.多项式与多项式ݔ的公因式是________．12.计算：ݔsin㜵________．13.如图，边长为的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的余弦值是________．试卷第2页，总13页 14.已知关于的方程ݔݔ㜵，⸶是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①；②；③ݔݔ．则正确结论的序号是________．（填上你认为正确结论的所有序号）15.如图，在函数㜵的图象上有点、、…、、ݔ，点的横坐标为，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是，过点、、…、、ݔ分别作轴、轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为、、…、，则㜵________，㜵________．（用含的代数式表示）三、解答题（共2个题，每题8分，共16分）)16.解不等式组：ݔ并写出它的所有的整数解．17.先化简，然后从、、中选取一个你认为合适的数作为ݔ的值代入求值．四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）)18.用配方法解关于的一元二次方程ݔݔ＝．19.某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生人，使用了间大寝室和间小寝室，正好住满；女生人，使用了大寝室间和小寝室间，也正好住满．（1）求该校的大小寝室每间各住多少人？（2）预测该校今年招收的高一新生中有不少于名女生将入住寝室间，问该校有多少种安排住宿的方案？五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）)20.为配合我市创建省级文明城市，某校对八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计，各班统计人数有名、名、名、名、名、名共计六种情况，并制作如下两幅不完整的统计图．试卷第3页，总13页 （1）求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？并将条形图补充完整；（2）该校决定本周开展主题实践活动，从八年级只有名文明行为劝导志愿者的班级中任选两名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率．21.如图，点,，都在上，过点作交延长线于点，连接，且㜵㜵，㜵．求证：是的切线；求由弦,与弧所围成的阴影部分的面积．（结果保留）六、解答题（本题满分12分）)22.在东西方向的海岸线上有一长为的码头（如图），在码头西端的正西香处有一观察站．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于的北偏西，且与相距的处；经过小时分钟，又测得该轮船位于的北偏东，且与相距的处．求该轮船航行的速度（保留精确结果）；如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由．试卷第4页，总13页 七、解答题（本题满分12分）)23.将两块全等的三角板如图①摆放，其中㜵㜵，㜵㜵．（1）将图①中的顺时针旋转得图②，点是与的交点，点是与的交点，求证：㜵；（2）在图②中，若㜵，则等于多少？（3）如图③，在上取一点，连接、，设㜵，当时，求面积的最大值．八、解答题（本题满分14分）)24.如图，已知抛物线＝ݔ与轴交于、两点，与轴交于点，直线交抛物线于点，并且⸶，tan㜵．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点、、、，求四边形面积的最大值；（3）在（2）中四边形面积最大的条件下，过点作直线平行于轴，在这条直线上是否存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．试卷第5页，总13页 参考答案与试题解析2013年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1.B2.A3.C4.D5.C6.D7.B8.B9.B10.A二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）11.12.13.14.①②15.,ݔ三、解答题（共2个题，每题8分，共16分）16.解：ݔ，解不等式①得，，解不等式②得，，所以，不等式组的解集是，所以，不等式组的所有整数解是、、．17.解：ݔݔ㜵ݔݔ㜵ݔݔ㜵㜵，由于，所以当㜵时，原式㜵㜵．四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）18.∵关于的方程ݔݔ＝是一元二次方程，试卷第6页，总13页 ∴．∴由原方程，得ݔ㜵，等式的两边都加上，得ݔ㜵ݔݔ，配方，得ݔ㜵，当时，开方，得：ݔ㜵，ݔ解得㜵，㜵，当＝时，解得：＝㜵；当时，原方程无实数根．19.该校的大寝室每间住人，小寝室每间住人；共有种安排住宿的方案五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）20.由得只有名文明行为劝导志愿者的班级有个，共名学生．设，来自一个班，，来自一个班，由树状图可知，共有种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有种情况，则所选两名文明行为劝导志愿者来自同一个班级的概率为：㜵．21.证明：如图，连接，，，设与交于点．试卷第7页，总13页 根据圆周角定理得：㜵㜵㜵，∵，∴㜵㜵，∴㜵㜵，即，∵为半径，∴是的切线；解：由知，为的切线，∴．∵，∴．由垂径定理可知，㜵㜵㜵．在中，㜵，㜵㜵㜵．cos在与中，㜵㜵㜵㜵㜵∴，∴㜵∴阴影部分的面积㜵㜵㜵．阴影扇形六、解答题（本题满分12分）22.解：如图所示：∵㜵，㜵，∴为直角三角形．∵㜵，㜵，∴㜵ݔ㜵ݔ㜵．∵小时分钟㜵分钟，小时㜵分钟，∴㜵（千米/小时）．能．试卷第8页，总13页 理由：作线段于，作线段于，延长交于．∵㜵，∴㜵㜵．∵㜵，∴㜵sin㜵．∴㜵cos㜵㜵．又∵㜵，∴㜵㜵．∵㜵，∴㜵sin㜵．∴㜵cos㜵㜵．易得，，所以㜵，㜵，ݔݔ解得：㜵．所以㜵ݔ㜵．又因为㜵香，长为，∴㜵香，∵香香故轮船能够正好行至码头靠岸．七、解答题（本题满分12分）23.（1）证明：∵㜵，㜵，∴㜵㜵，∵在和中，㜵㜵，㜵∴，∴㜵；（2）作于，试卷第9页，总13页 ∵㜵，∴㜵㜵，∵㜵，∴㜵sin㜵，∴㜵㜵，又∵㜵，∴㜵；（3）∵㜵，㜵，∴㜵㜵，∴㜵，由旋转的性质可得：㜵，∴，∴㜵㜵，设㜵，则㜵，在中，㜵，∴㜵㜵，∴㜵㜵ݔ㜵ݔ，故当㜵时，㜵．（max）八、解答题（本题满分14分）24.如答图所示，过点作轴于点，则＝，＝．∵tan㜵㜵，∴＝，∴＝＝，∴⸶．∵点⸶、⸶在抛物线＝ݔ上，㜵∴，ݔ㜵㜵解得，㜵试卷第10页，总13页 ∴抛物线的解析式为：㜵ݔ．抛物线的解析式为：㜵ݔ，令＝，得＝，∴⸶，令＝，得＝或，∴⸶．设点坐标为⸶⸶，如答图所示，过点作轴于点，则＝，＝，＝ݔ．四边形＝ݔ形梯ݔ㜵ݔݔݔ㜵ݔݔݔݔ＝ݔ∵点⸶在抛物线㜵ݔ上，∴㜵ݔ，代入上式得：＝ݔݔ＝ݔ，四边形∴当＝时，四边形面积有最大值，最大值为．假设存在这样的．如答图所示，设直线＝与轴交于点，与直线交于点．设直线的解析式为＝ݔ，将⸶、⸶代入得：ݔ㜵，㜵解得：＝，＝，∴直线解析式为：＝，令＝，得＝，∴⸶，＝．在中，由勾股定理得：㜵ݔ㜵ݔ㜵．设⸶，则在中，由勾股定理得：㜵ݔ㜵ݔ．设与直线相切于点，则＝㜵ݔ．在与中，∵＝＝，＝，∴，∴㜵，即㜵，ݔݔ化简得：＝，解得＝或＝．∴存在一个以点为圆心，为半径且与直线相切的圆，点的坐标为⸶或⸶．方法二：（1）略．（2）∵㜵ݔ，∴⸶，⸶，连接，过点作轴垂线，交于，设⸶ݔ，∵⸶，⸶，试卷第11页，总13页 ∴㜵，∴⸶，㜵㜵ݔ＝，∴当＝时，有最大值等于，㜵＝，∴四边形面积最大值等于．（3）若存在，设圆心为⸶，切点为，则，∴＝，∵＝，∴＝，㜵，∴设㜵ݔ，把⸶代入，∴＝，∴㜵ݔ，∵＝，∴㜵ݔ，㜵，∴ݔ⸶，⸶，⸶，∵＝，∴ݔݔݔ＝ݔ，∴＝，∴＝，＝，∴⸶，⸶．试卷第12页，总13页 试卷第13页，总13页